【推荐】专题10-4+直线与圆锥曲线的位置关系-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学
真题回放
1. 【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.
【答案】（1）（2）
【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系
【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.
2. 【2015高考山东，文15】过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点的横坐标为,则的离心率为 .
【答案】
【解析】双曲线的右焦点为.不妨设所作直线与双曲线的渐近线平行，其方程为，代入求得点的横坐标为，由，得，解之得，（舍去，因为离心率），故双曲线的离心率为.
【考点定位】1.双曲线的几何性质；2.直线方程.
【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质及直线方程，解答本题的关键，首先是将问题进一步具体化，即确定所作直线与哪一条渐近线平行，事实上，由双曲线的对称性可知，两种情况下结果相同；其次就是能对所得数学式子准确地变形，利用函数方程思想，求得离心率.
本题属于小综合题，也是一道能力题，在较全面考查直线、双曲线等基础知识的同时，考查考生的计算能力及函数方程思想.
3. 【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【考点】直线与圆锥曲线的位置关系
【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值．
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
直线与圆锥曲线的位置关系
B
高考中对“直线与圆锥曲线的位置关系”的考查主要集中在这样两个方面：1、能解决直线与圆锥曲线的位置关系（代数方法、几何方法）；2、理解数形结合的思想。
知识链接
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；
②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；
③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．
(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.
【知识拓展】
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；
过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
融会贯通
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
典例1 (2016·烟台模拟)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【答案】见解析
【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
解题技巧与方法总结
(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．
【变式训练】 (2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)由已知得M(0，t)，P，
又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点．
题型二 弦长问题
典例2 (2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积．
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：
b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
【答案】（1） （2）＋＝1.
题型三 中点弦问题
命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程
典例3 (1)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．
【答案】 (1)D (2)x＋2y－8＝0
【解析】 (1)因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，选D.
(2)设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，且＋＝1，
两式相减得＝－.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，
故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
命题点2 由中点弦解决对称问题
典例4 (2015·浙江)如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
【答案】（1）m＜－或m＞. （2）
(2)令t＝∈∪，则
|AB|＝·.
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤.
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
解题技巧与方法总结
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，
三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．
【变式训练】已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
【答案】 0或－8
【解析】 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2.∴·＝3，即kMN·＝3，
∵M，N关于直线y＝x＋m对称，
∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.
又∵y0＝x0＋m，∴P，
代入抛物线方程得m2＝18·，
解得m＝0或－8，经检验都符合．
练习检测
1．（安徽省合肥市2018届高三调研性检测）已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点，且与轴平行，在直线上分别取点（分别在点的右侧），分别作和的平行线且相交于点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：本题在求解时，充分借助题设条件及抛物线的定义求出两横坐标之间的关系，然后再设直线代入整理可得，则由根与系数的关系可得，联立可得，代入可解得，进而求出弦长。
2．（黑龙江省大庆市大庆实验中学2018届高三上学期期初考试）斜率为的直线与双曲线
恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可重，即双曲线的其中一条（k>0）渐近线斜率大于,选D.
3．（山东省青岛市2017届高三期初调研检测）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．
2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
4. （河南省林州市第一中学2018届高三8月调研）已知双曲线： 上的四点满足，若直线的斜率与直线的斜率之积为2，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．
5. （河南省林州市第一中学2018届高三8月调研）已知抛物线： 的焦点为，点为抛物线上的一点，点处的切线与直线平行，且，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6.（河南省名校联盟2018届高三第一次段考）过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于， 两点向轴引垂线交轴于， ，若梯形的面积为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】设，抛物线焦点，直线AB方程为，联立 ， ，所以，则，则题型ABCD的面积 ，所以 ，选A.
点睛：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题。本题注重数形结合以及转化和化归思想的运用。
7、（福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考）已知椭圆： ，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系．
【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解．点在椭圆上，则点一定满足椭圆的定义，同时点的坐标适合方程；（2）过焦点的所有弦中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而它的长为把这个弦叫作椭圆的通径．
8、（贵州省铜仁一中2016-2017学年高二下学期期末）已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线相交于两点，且点在第一象限，若,则直线的斜率是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
点晴：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合考查，其中解答中涉及到直线与抛物线的位置关系的应用，直线方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线方程代入抛物线方程，转化为根与系数的关系，以及韦达定理的应用是解答的关键。
9、（湖南省岳阳市一中2018届高三上学期第一次月考）过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时， .
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线的斜率为2，问抛物线上是否存在一点，使得，并说明理由.
【答案】（1）；（2）存在点.
【解析】【试题分析】（1）运用抛物线的定义建立方程求出；（2）借助题设条件建立方程，再运用根与系数的关系得到方程，通过对判别式的研究发现有解，即所设的点存在：
解：（1）由抛物线的定义可得，故抛物线方程为；
（2）假设存在满足题设条件的点，则设直线代入可得设，则。因为
，则由： ，即，也即，所以，由于判别式，此时，则存在点，即存在点满足题设。
10、（黑龙江省大庆市大庆实验中学2018届高三上学期期初考试）已知椭圆，其离心率，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为.
求椭圆的方程；
过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点, 为坐标原点，若为锐角，求直线斜率的取值范围.
【答案】（1）（2）
设直线的方程为，
联立，得
则 ，解得
解得
，即
