2019学年高二数学下学期期末考试试题 理新人教 版新版

2019学年高二数学下学期期末考试试题 理新人教 版新版

‎2019学年度下学期高二期末考试 数学试题（理科）‎ 本试卷共23题，时间：120分钟，共150分，共4页 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 是虚数单位，复数（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知集合，，则中元素个数为（ ）‎ ‎ A．3 B．4 C．6 D．9‎ ‎3. 设，则“”是“” 的 （ ） ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎5.钝角三角形的面积是， ，‎ 则 ( ) ‎ A．5 B． C．2 D．1‎ ‎6. 双曲线：的渐近线方程为，‎ 则的离心率为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.某数列满足：第1项是0，第2项是1， 从第三项开始，‎ 每一项都等于前两项之和．某同学设计了一个求这个数列的前 ‎10项和的程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入 的语句是（ ） ‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎8. 二项式的展开式的常数项是（ ） ‎ - 8 -‎ A．56 B．28 C．14 D．7‎ ‎9. 某群体中的每位成员使用微信支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，，则 （ ） ‎ A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3‎ ‎10. 直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成的角的余弦值为（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数的导数，且，则函数 的最小值为（ ）‎ A. B. 0 C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知向量，的夹角是，若，，则 ‎ ‎14. 若满足约束条件，设的最大值为，最小值为，则________. ‎ ‎15. 已知，则______． ‎ ‎16. 已知实数、、、满足：，，，‎ 则的最大值为_________. ‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）设等差数列满足，.‎ - 8 -‎ ‎ （1）求的通项公式； ‎ ‎ （2）求的前项和及使得最大的序号的值.‎ ‎18．（12分）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），‎ 结果如下：‎ 甲品种：271　273　280　285　285 287　292　294　295　301　303　303　307‎ ‎ 308　310　314　319　323　325　325 328　331　334　337　352‎ 乙品种：284　292　295　304　306　307　312　313　315　315　316　318　318‎ ‎ 320　322　322　324　327　329　331　333　336　337　343　356‎ ‎（1）根据以上数据，完成两品种的棉花的纤维长度的茎叶图.‎ ‎(2) 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：‎ ‎①　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________‎ ‎②　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________‎ ‎19．（12分）抛物线：上的点到其焦点的距离是.‎ ‎（1）求的方程．‎ ‎（2）过点作圆：的两条切线，分别交于两点，‎ 若直线的斜率是，求实数的值．‎ ‎20． （12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，‎ AB⊥AD，，AB= 2AD =2CD =2．‎ E是PB的中点．‎ ‎（1）求证：平面EAC⊥平面PBC;‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，‎ - 8 -‎ 求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）求证：（自然对数的底数）．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（2）设为上任意两点，且，求的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] （10分）‎ 设．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围．‎ - 8 -‎ ‎2017-2018学年度下学期高二期末考试 数学（理科）参考答案 BCABB ABDCD AD ‎13. 14. 6 15. 16. ‎ ‎17. 解：（1）由得 可解得 数列的通项公式为…………（6分）‎ ‎ （2）由（1）知 因为 所以当n=5时，取得最大值. …………（12分）‎ ‎18.解：（1）‎ ‎…………（4分）‎ ‎（2）①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．‎ ‎②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．‎ ‎③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm．‎ ‎④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．‎ ‎…………（12分）（以上答出其中任何两条即可）‎ ‎19. 解：（1）的准线是，根据抛物线定义有，．‎ 故的方程是． …………（4分）‎ - 8 -‎ ‎（2）设，，则，所以．‎ ‎ …………（6分）‎ 因为，所以斜率，同理斜率，所以． …………（8分）‎ 可设经过点的圆切线方程是，即，则，得，故．‎ 因此，． …………（12分）‎ ‎20. 解：（1）∵PC⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，∴AC⊥PC，‎ ‎∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，‎ ‎∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，‎ 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，‎ ‎∵ACÌ平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． …（4分）‎ ‎（2）如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．‎ 设P(0，0，a)（a＞0），‎ 则E(，－，)， …（6分）‎ ＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，‎ ＝(，－，)，取m＝(1，－1，0)，则 m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．‎ 设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，‎ 即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，‎ 依题意，|cosám，nñ|＝＝＝，则a＝2． …（10分）‎ 于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．‎ 设直线PA与平面EAC所成角为θ，‎ - 8 -‎ 则sinθ＝|cosá，nñ|＝＝，‎ 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为． …（12分）‎ ‎21. 解：（1）定义域，， …………（2分）‎ 当时，，在是减函数， ……（4分）‎ 当时，的两根是和，‎ ‎∴时，，单调递减，‎ 时，，单调递增； ………（6分）‎ ‎（2）当时，由（1），在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，即，‎ 用替换得，因此， ………（8分）‎ 设，‎ 即，∴，‎ ‎∴时，，单调递增，‎ 时，，单调递减，‎ ‎∴， ……（10分）‎ ‎∴‎ ‎ ………（12分）‎ ‎22. 解：（1）曲线的普通方程是，代入，化简得的极坐标方程是． …………（5分）‎ - 8 -‎ ‎（2）不妨设射线：，射线：，则，．所以 ‎．‎ 当，即，时，取最大值．‎ ‎ …………（10分）‎ ‎23. 解：（1）f(x)＝|x|＋2|x－1|＝ …（2分）‎ 当x＜0时，由2－3x≤4，得－≤x＜0；‎ 当0≤x≤1时，1≤2－x≤2；‎ 当x＞1时，由3x－2≤4，得1＜x≤2．‎ 综上，不等式f(x)≤4的解集为[－，2]． …（5分）‎ ‎（2）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ …（7分）‎ 可见，f(x)在(－∞，a]单调递减，在(a，＋∞)单调递增．‎ 当x＝a时，f(x)取最小值a．‎ 所以，a取值范围为[4，＋∞)． …（10分）‎ - 8 -‎