2020高中数学 第三章几个常用函数的导数

2020高中数学 第三章几个常用函数的导数

‎3.2.1　‎几个常用函数的导数 ‎3.2.2　‎基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)‎ 学习目标：1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0‎ f(x)＝x f′(x)＝1‎ f(x)＝x2‎ f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ ‎2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝nxn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a>0)‎ f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a>0，且a≠1)‎ f(x)＝ln x f′(x)＝ 思考：你能根据导数公式(xn)′＝nxn－1，求f(x)＝的导数吗？‎ ‎[提示]　f(x)＝＝x，则f′(x)＝x＝x＝.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)(log3π)′＝. (　　)‎ ‎(2)若f(x)＝，则f′(x)＝ln x． (　　)‎ ‎(3)因为(sin x)′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1. (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×‎ 5‎ ‎2．函数f(x)＝0的导数是(　　)‎ A．0　　　　B．‎1　‎　　　C．不存在　　　　D．不确定 A　[由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝(　　)‎ A．4 　　　　B. 　　　　C．－4 　　　　D．－ D　[f′(x)＝－，所以f′(2)＝－＝－，故选D.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 利用导数公式求函数的导数 ‎　(1)函数y＝在点处切线的倾斜角α为(　　) ‎ ‎【导学号：97792133】‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. ‎(2)求下列函数的导数：‎ ‎①y＝x20；②y＝；③y＝log6x；④y＝sin .‎ ‎[解析]　(1)y＝＝x，则y′＝，从而y′|x＝＝＝1，‎ 即切线的斜率为1，故切线的倾斜角α＝.‎ ‎[答案] B ‎(2)①y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19.‎ ‎②y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5.‎ ‎③y′＝(log6x)′＝.‎ ‎④y′＝′＝0.‎ ‎[规律方法]　1.用导数公式求函数导数的方法 ‎(1)若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解．‎ ‎(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝可以写成y＝x－4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．‎ 5‎ ‎2．已知f(x)，求f′(x0)的方法 先求f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)求f′(x0)．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)若f(x)＝cos x，则f′＝(　　)‎ A．0　　　　B．‎1　‎　　　C．－1　　　　D. ‎[解析]　∵f(x)＝cos x，∴f′(x)＝－sin x.‎ 故f′＝－sin＝－1.‎ ‎[答案]　C ‎(2)求下列函数的导数：‎ ‎①y＝5x；②y＝－；‎ ‎③y＝ln 3；④y＝x. ‎ ‎【导学号：97792134】‎ ‎[解]　①y′＝(5x)′＝5xln 5.‎ ‎②y′＝－(x－5)′＝5x－6＝.‎ ‎③y′＝(ln 3)′＝0.‎ ‎④∵y＝x，∴y＝x，‎ ‎.‎ 利用导数公式求曲线的切线方程 ‎[探究问题]‎ 已知曲线的切线的斜率，如何求切线方程？‎ 提示：先求切点坐标，再求切线方程．‎ ‎　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．‎ ‎[思路探究]　直线PQ的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程．‎ ‎[解]　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，‎ 又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，即x0＝.‎ 5‎ 所以切点为M.‎ 所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.‎ 母题探究：1.是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．‎ ‎[解]　假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k＝＝1，‎ 所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1，‎ 设切点为(x1，y1)，则y′|x＝x1＝2x1，‎ 令2x1＝－1，则x1＝－，y1＝，‎ 切线方程为y－＝－，即4x＋4y＋1＝0.‎ ‎2．若本例中曲线改为y＝ln x，试求与直线PQ平行的切线方程．‎ ‎[解]　设切点为(a，b)，因为kPQ＝1，‎ 则由f′(a)＝＝1，得a＝1，故b＝ln 1＝0，则与直线PQ平行的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.‎ ‎[规律方法]　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：‎ ‎(1)切点处的导数是切线的斜率；‎ ‎(2)切点在切线上；‎ ‎(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．下列结论：‎ 其中正确的有(　　)‎ A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个 C　[，(log3x)′＝，故②③错误．]‎ ‎2．质点的运动方程是s＝(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t＝3 s时的速度为(　　)‎ A．－4×3－‎4 m/s B．－3×3－‎4 m/s 5‎ C．－5×3－‎5 m/s D．－4×3－‎5 m/s D　[s＝＝t－4，则s′＝－4t－5，从而s′|t＝3＝－4×3－5，故选D.]‎ ‎3．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为__________．‎ x－y＋1＝0　[y′＝ex，y′|x＝0＝e0＝1，故切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝x2在点(x0，y0)处的导数为1，则x0＋y0＝________.‎ 　[由题意可知，f′(x0)＝1，‎ 又f′(x)＝2x，所以2x0＝1，‎ 所以x0＝，y0＝，x0＋y0＝.]‎ ‎5．求下列函数的导数. ‎ ‎【导学号：97792135】‎ ‎(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos.‎ ‎[解]　(1)y′＝0.‎ ‎(2)∵y＝＝x－5，‎ ‎∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－.‎ ‎(4)y′＝.‎ ‎(5)y′＝5xln 5.‎ ‎(6)∵y＝cos＝sin x，‎ ‎∴y′＝(sin x)′＝cos x．‎ 5‎