2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-1-1集合与常用逻辑用语
专题一 集合、常用逻辑用语、向量、复数、
算法、合情推理、不等式及线性规划
第一讲 集合与常用逻辑用语
[必记公式]
1．A∩B＝A⇔A⊆B.
2．A∪B＝A⇔B⊆A.
3．若集合A的元素有n个，则A的子集个数是2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
[重要结论]
1．四种命题间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；
(2)一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．
2．充分、必要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有
从逻辑观点看
从集合观点看
p是q的充分不必要条件(p⇒q，qp)
AB
p是q的必要不充分条件(q⇒p，pq)
BA
p是q的充要条件(p⇔q)
A＝B
p是q的既不充分也不必要条件
(pq，qp)
A与B互不包含
3.简单的逻辑联结词
(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．
(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．
4．全称命题与特称命题
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．
[失分警示]
1．忽略空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“∅优先”的原则．
2．集合含义理解错误：集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}中代表元素意义不同，前两个是数集，第三个是点集．
3．判断充分条件和必要条件时，不能准确判断哪个是“条件”，哪个是“结论”．
4．对全称命题和特称命题进行否定时，忘记“∀”与“∃”的变化；混淆命题的否定与否命题．
考点 集合的概念及运算
典例示法
题型1 集合的交、并、补运算
典例1 (1)[2016·四川高考]设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1，0,1,2}，故选C.
[答案] C
(2)[2015·浙江高考]已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1
0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．
其中正确的结论是( )
A．②③ B．②④
C．③④ D．①②③
[解析] ∵>1，∴命题p是假命题．
∵x2＋x＋1＝2＋≥>0，∴命题q是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧(綈q)”为假，“(綈p)∨q”为真，“(綈p)∨(綈q)”为真，所以只有②③正确，故选A.
[答案] A
命题真假的判定方法
(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．
(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．
(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．
(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：
①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；
②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．
针对训练
1．[2014·辽宁高考]设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c
＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
答案 A
解析 由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A.
2．[2016·贵州七校联考]以下四个命题中，真命题的个数是( )
①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；
②存在正实数a，b，使得lg (a＋b)＝lg a＋lg b；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
④在△ABC中，A25，∴“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
[答案] A
(2)题中将“k<9”改为“k>9”，将“双曲线”改为“椭圆”，那么正确答案是( )
答案 B
解析 方程＋＝1表示椭圆，
则即99是方程＋＝1为椭圆的必要不充分条件，故选B.
判断充分、必要条件的方法及关注点
(1)充分、必要条件的判断方法
先判断p⇒q与q⇒p是否成立，然后再确定p是q的什么条件．
(2)判断充分、必要条件时的关注点
①要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，可以尝试通过举出恰当的反例来说明．
③要注意转化：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．
针对训练
1．[2015·天津高考]设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 |x－2|<1⇔－10⇔x<－2或x>1.
由于(1,3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
2．[2015·北京高考]设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
[全国卷高考真题调研]
1．[2016·全国卷Ⅰ]设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由题意得A＝{x|12n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
答案 C
解析 命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.
3．[2014·全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p1，p4 D．p1，p3
答案 B
解析 不等式组表示的平面区域D如下图阴影区域所示．
设z＝x＋2y，作出基本直线l0：x＋2y＝0，经平移可知直线l：z＝x＋2y经过点A(2，－1)时z取得最小值0，无最大值．对于命题p1：由于z的最小值为0，所以∀(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立，因此命题p1为真命题；由于∀(x，y)∈D，x＋2y≥0，故∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，因此命题p2为真命题；由于z＝x＋2y的最小值为0，无最大值，故命题p3与p4错误，故选B.
[其它省市高考题借鉴]
4．[2016·浙江高考]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n1，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 q：2x>1⇔x>0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p是q的充分不必要条件．
一、选择题
1．[2016·郑州质检]设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{1,3,4} D．{2,3,4}
答案 A
解析 因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.
2．[2016·沈阳质检]设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{－1,1}，则下列结论正确的是( )
A．A∩B＝{－1} B．(∁RA)∪B＝(－∞，0)
C．A∪B＝(0，＋∞) D．(∁RA)∩B＝{－1}
答案 D
解析 集合A＝{x|x>0}，从而A、C错，∁RA＝{x|x≤0}，则(∁RA)∩B＝{－1}，故选D.
3．[2015·福建高考]若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A．{－1} B．{1}
C．{1，－1} D．∅
答案 C
解析 因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.
4．[2015·辽宁五校联考]设集合M＝{x|x2＋3x＋2<0}，集合N＝，则M∪N＝( )
A．{x|x≥－2} B．{x|x>－1}
C．{x|x<－1} D．{x|x≤－2}
答案 A
解析 因为M＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－20，∴“x≥1”是“x＋≥2”的充分不必要条件，故选A.
6．[2016·西安质检]已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
答案 B
解析 本题主要考查命题的真假判断、命题的否定．
∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，
∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故应选B.
7．[2016·广州模拟]下列说法中正确的是( )
A．“f(0)＝0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B．若p：∃x0∈R，x－x0－1>0，则綈p：∀x∈R，x2－x－1<0
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．命题“若α＝，则sinα＝”的否命题是“若α≠，则sinα≠”
答案 D
解析 本题主要考查命题的相关知识及充要条件．f(0)＝0，函数f(x)不一定是奇函数，如f(x)＝x2，所以A错误；若p：∃x0∈R，x－x0－1>0，则綈p：∀x∈R，x2－x－1≤0，所以B错误；p，q只要有一个是假命题，则p∧q为假命题，所以C错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，D正确．
8．下列四个命题中正确命题的个数是( )
①对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x
＋1>0；
②m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；
③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为＝1.23x＋0.08；
④若实数x，y∈[－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为.
A．1 B．3
C．4 D．5
答案 A
解析 ①错，应当是綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x，y∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x2＋y2≥1的概率为.
9．给定下列四个命题：
命题p：当x>0时，不等式ln x≤x－1与ln x≥1－等价；
命题q：不等式ex≥x＋1与ln (x＋1)≤x等价；
命题r：“b2－4ac≥0”是“函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值点”的充要条件；
命题s：若对任意的x∈，不等式a<恒成立，则a≤.
其中为假命题的是( )
A．(綈s)∧p B．(綈q)∧s
C．(綈r)∧p D．綈(q∧p)
答案 A
解析 由>0，ln x≤x－1，得ln ≤－1，即ln x≥1－，故命题p为真命题；由于x的取值范围不同，故命题q是假命题；当b2－4ac＝0时，函数f(x)无极值点，故命题r是假命题；设h(x)＝，由于函数h(x)＝在上是减函数，故
eq f(sinx,x)>，a≤，即命题s是真命题．根据复合命题的真值表可知选A.
10．[2016·武昌调研]“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 本题主要考查函数的单调性与充要条件．当a＝0时，f(x)＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)＝(－ax＋1)x＝－ax，结合二次函数的图象可知f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)＝|(ax－1)x|的图象大致如图：
函数f(x)在区间(0，＋∞)上有增有减，从而a≤0是函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.
二、填空题
11．[2015·山东高考]若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 由已知可得m≥tanx恒成立．设f(x)＝tanx，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f＝tan＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.
12．[2016·贵阳监测]已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)
答案 {a2，a3}
解析 若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．
13．已知命题p：实数m满足m2＋12a2<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为________．
答案
解析 由a>0，m2－7am＋12a2<0，得3a0.
由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2－m>m－1>0，解得1
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