安徽省阜阳市太和县2020届高三上学期10月质量诊断考试数学（理）试题

安徽省阜阳市太和县2020届高三上学期10月质量诊断考试数学（理）试题

太和中学高三一轮复习质量诊断考试数学试卷（理科）‎ 一、选择题 ‎1.已知全集，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简,根据A求出,再求出.‎ ‎【详解】全集，，‎ ‎.又，‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算,容易忽视全集U中的.属于基础题.‎ ‎2.“，使得”否定是（ ）‎ A. ，使得 B. ，使得 C. ，‎ D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将存在量词改为全称量词,再否定结论,即可得到.‎ ‎【详解】“，使得”的否定是“，使得”.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了存在量词命题的否定,解题方法是:将存在量词改为特称量词,再否定结论.如果命题中没有量词,要根据题意先加上量词.属于基础题.‎ ‎3.已知在等差数列中，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造关于的方程组，即可得出答案．‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，则，.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查基本量法求等差数列的通项公式，根据题意构造方程组，即可得，属于基础题．‎ ‎4.已知某扇形的面积为，若该扇形的半径，弧长满足，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由扇形的面积公式构造关于，的方程组，解出方程，由圆心角即可算出圆心角大小的弧度数．‎ ‎【详解】据题意，得解得或所以或.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查扇形的面积公式以及弧长公式，方程思想，牢记公式是解答本题的关键．‎ ‎5.函数的一个零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,将化为,根据零点存在性定理可得 的一个零点在区间内,又的零点也是的零点,所以函数的一个零点所在区间为.‎ ‎【详解】因为，‎ 令，则，，，，.‎ 又函数的图象是一条连续不断曲线，且,‎ 所以根据零点存在性定理可得,有一个零点在区间内，‎ 又的零点也是的零点,‎ 所以的一个零点所在区间为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了零点存在性定理,解题关键是转化为判断的零点所在的区间.属基础题.‎ ‎6.如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式成立的是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的线性运算即可求出答案.‎ ‎【详解】.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎7.若，且为第三象限角，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据的值以及所在的象限,由同角公式解得,再由同角公式解得,然后根据两角和的正切公式可得.‎ ‎【详解】因为，为第三象限角，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式,属基础题.‎ ‎8.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为，则线段的长是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当直线垂直于轴时,经计算可知不符合题意;‎ 当直线不垂直于轴时，设方程为,求出原点O到直线AB的距离,联立直线AB与抛物线C的方程,根据韦达定理以及弦长公式求出弦长AB,然后根据面积列方程可解得,再代入,可得.‎ ‎【详解】当直线垂直于轴时，，不符合题设；‎ 当直线不垂直于轴时，设方程为，即.‎ 点到直线距离.‎ 联立得，‎ 设,‎ 则由韦达定理得,,,‎ 所以由弦长公式得,‎ ‎,‎ 因为的面积为,‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,韦达定理,弦长公式,点到直线的距离,三角形面积公式,属中档题.‎ ‎9.已知在矩形中，，，若，分别为，的中点，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量的线性运算得，，利用平面向量的数量积运算法则进行计算．‎ ‎【详解】据题意，得 ‎.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，属于基础题．‎ ‎10.已知在中，角，，的对边分别为，，，，，的面积等于，则外接圆的面积为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形面积公式，算出边，再根据余弦定理得出边，然后利用即可算出外接圆的半径．‎ ‎【详解】在中，，，，，解得，.设外接圆的半径为，则，，外接圆的面积为.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形，着重考查正弦定理与余弦定理，考查三角形的面积公式，属于中档题．‎ ‎11.一艘轮船从出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后从出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛．如果下次航行直接从出发到，此船航行的方向和路程（海里）分别为（ ）‎ A. 北偏东，‎ B. 北偏东，‎ C. 北偏东，‎ D. 北偏东，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题可知，在中，，所以．，所以，所以下次航行直接从出发到，航向为北偏东．故选C．‎ 考点：正余弦定理 ‎12.若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数在上有两个不同的零点转化为关于的方程在区间上有两个不同的实数根.再构造函数,再转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点.利用导数求得在 处取得最大值,根据图象可知: 且,从而可解得的范围.‎ ‎【详解】因为函数在区间上有两个不同的零点,‎ 所以关于的方程在区间上有两个不同的实数根.‎ 引入函数，‎ 所以函数与函数的图象在上有两个不同的交点,‎ ‎.‎ 讨论：当时，，在区间上单调递减；‎ 当时，，在区间上单调递增，‎ 当时，在处取得极大值，也是最大值.‎ 又函数与函数的图象在上有两个不同的交点,‎ 如图:‎ ‎，且，‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点,利用导数研究函数的最值.解题关键是转化为两个函数的图象的交点个数来做,最后通过两个函数在 和 时的函数值的大小关系满足的条件可解决.属较难题.‎ 二、填空题 ‎13.已知平面向量，，若，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两向量垂直则两向量的数量积为零，根据向量的数量积的坐标运算得到方程，解出即可．‎ ‎【详解】据题意，得，解得.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、向量垂直的充要条件，属基础题．‎ ‎14.二项式的展开式中的常数项是 __________．‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】‎ 二项式的展开式中通项公式为.‎ 令．解得.‎ 所以当时，二项展开式的常数项为.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎15.化简：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数值可以化简,‎ 根据诱导公式可以化简,,,然后代入原式可化简得.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查了两角差的正弦公式以及诱导公式,属基础题.‎ ‎16.已知奇函数在定义域上单调递增，若对任意的成立，则实数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数且在上单调递增，将函数不等式转化为自变量的不等式，参变分离，将不等式转化为在恒成立问题，结合二次函数在闭区间上求最值的方法，即可得到的最小值．‎ ‎【详解】，.又是奇函数，.又是定义域上的增函数，，‎ ‎.令，当时，，，实数的最小值为.‎ ‎【点睛】本题在已知函数的单调性与奇偶性的前提下，解决一个不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性和奇偶性，二次函数在闭区间上求最值等知识，属于一般题．‎ 三、解答题 ‎ ‎17.已知，求下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得，把已知等式化弦为切求解；‎ ‎（2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切计算．‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）函数的最小值是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导函数，令解不等式，即可得函数的单调递减区间．‎ ‎（2）根据（1）中的，可求函数的单调区间、极值点，列表表示；计算函数在区间端点的函数值，与极小值比较即可得到最小值．‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎.‎ 令，得.‎ 故函数单调递减区间是.‎ ‎（2）据（1）求解知，.‎ 令，则，.‎ 极大值 极小值 又，‎ 当时，函数的最小值是.‎ ‎【点睛】本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查函数的最值，关键是正确运用导数工具．‎ ‎19.已知平面向量，.‎ ‎（1）若，，求实数的值；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量共线的充要条件可得关于的方程，解出即可．‎ ‎（2）由函数，利用向量的数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数化简为，结合正弦函数的性质，求出函数的单调递减区间．‎ ‎【详解】解：（1）因，，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ 令，‎ 所以.‎ 所以所求的单调递增区间为.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件，三角恒等变换及三角函数的性质，属于一般题．‎ ‎20.已知函数图象两条相邻的对称轴间的距离为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先根据二倍角的正弦公式,正弦的降幂公式将化成,再根据两角和的正弦公式的逆用进一步化成,‎ 然后利用正弦型函数的周期公式列等式可得;‎ ‎(2)根据图象的平移变换(口诀:左加右减)和周期变换 ,可以得到的解析式,然后可求得.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎.‎ 又函数图象两条相邻的对称轴间的距离为，，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎（2）由(1)可知，.‎ 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，‎ 得到函数的图象，‎ 再将所得图象上所有点的横坐标变为到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,正弦的降幂公式,‎ 两角和的正弦公式以及图象的平移变换和周期便能换,属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若函数是偶函数，求实数的值；‎ ‎（2）若函数，关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求的值；‎ ‎（2）根据题意方程有且只有一个实数根，等价于只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根，令，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根，结合二次函数的性质来分析．‎ ‎【详解】解：（1）因为是偶函数，‎ 所以对任意成立，‎ 所以对任意的成立，‎ 所以对任意的成立，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，，‎ 所以，‎ 所以 设，则有关于的方程.‎ 若，即，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根.‎ 设，则，‎ 所以，‎ 所以成立，‎ 所以，满足题意；‎ 若，即时，解得，不满足题意；‎ 若，即时，，且，‎ 所以.‎ 当时，关于的方程有且只有一个实数根，满足题意.‎ 综上，所求实数的取值范围是..‎ ‎【点睛】本题主要考查偶函数的性质以及指数函数性质的综合应用，同时考查了化归与方程的思想的综合运用，综合性较强，涉及的知识点较多，属于难题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数的图象在点处切线的方程；‎ ‎（2）讨论函数的极值；‎ ‎（3）若对任意的成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）当时，函数取得极小值，且的极小值为，不存在极大值 ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求导函数,然后根据导数的几何意义求得切线的斜率为,再根据直线方程得点斜式求得函数的图象在点处切线的方程;‎ ‎(2)先求得导函数的零点,再判断零点左右两侧导数的符号,根据导数符号可得极值点,从而可得极值.‎ ‎(3) 将对任意的成立转化为对任意的成立,然后构造函数,求导后讨论得的单调性,根据单调性可得.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ 又，‎ 所以函数的图象在点处切线的方程为，即.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 令,得,‎ 因为时,,时,,‎ 所以函数在处取得极小值,极小值为.不存在极大值.‎ ‎（3）据题意，得对任意的成立，‎ 即对任意的成立.‎ 令，‎ 所以.‎ 讨论：‎ 当时，，此时在上单调递增.‎ 又，所以当时，，‎ 这与对任意的恒成立矛盾；‎ 当时，二次方程的判别式.‎ 若，解得，此时，在上单调递减.‎ 又，‎ 所以当时，，满足题设；‎ 若，解得，此时关于的方程的两实数根是，，其中，.‎ 又分析知，函数在区间上单调递增，，‎ 所以当时，，不符合题设.‎ 综上，所求实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,不等式恒成立,构造法,属于难题.‎ ‎ ‎