数学理卷·2018届广东省深圳市耀华实验学校高三上学期期中考试（实验班）（2017

数学理卷·2018届广东省深圳市耀华实验学校高三上学期期中考试（实验班）（2017

绝密★启用前 ‎2017－2018学年第一学期期中考试 高三年级实验班(理科数学)试题卷 ‎ ‎ 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．‎ ‎1．若角的终边上有一点，则的值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知为等差数列，，则的前9项和 A．9 B．‎17 C．81 D．120‎ ‎4．的内角，，的对边分别为，，，若，则等于 A． B． C．或 D．或 ‎5．为了得到函数的图象,可以将函数的图象 ‎ ‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎6．已知，，则 A． B． C． D．‎ ‎7．函数的零点必落在区间 A． B． C． D．‎ ‎8．已知单位向量与的夹角为，则 A． B． C． D．‎ ‎9．函数的值域为 A. B. C. D. ‎ ‎10．函数是上的偶函数，则的值是 ‎ A. B. ‎0 C. D. ‎ ‎11．数列{an}中，，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．已知向量，，若，则实数等于___________．‎ ‎14．若，则___________． ‎ ‎15．在中，角的对边分别为，若，，则___________．‎ ‎16．设直线与函数,的图象分别交于点、，则当达到最小值时，的值为______． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分． ‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）求的最小正周期和最大值；‎ ‎ （Ⅱ）讨论在上的单调性.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求 的极小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在唯一零点，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 中，内角、、的对边分别为、、，已知、、成等比数列，．‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）设，求的值.‎ ‎21．(本小题满分12分) ‎ 设是数列的前项和，已知，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎22．(本小题满分12分)‎ 已知曲线（）在点处的切线与直线平行．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ ‎ ‎ ‎2017—2018学年第一学期期中考试 高三年级实验班(理科数学)试题 参考答案 一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B C D A C C C D D A B 二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．‎ ‎13．或. 14．. 15．．16．．‎ 三、解答题：‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎ 已知，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.‎ ‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎ 由，有，‎ ‎ 解得. ………………………………………5分 ‎（Ⅱ）解法一：‎ ‎. …………………………………10分 解法二：由（1），，得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 于是，‎ ‎，‎ 代入得. ………………………………………10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）求的最小正周期和最大值；‎ ‎ （Ⅱ）讨论在上的单调性.‎ 解：（1）‎ ‎，‎ ‎∵的最小正周期为，最大值为. ………………………………………6分 ‎（Ⅱ）当时，，………………………………………8分 ‎∴当，即时，函数单调递增，‎ 当，即时，函数单调递递减，………………………11分 综上所述，函数在时，单调递增，在时，单调递减. ………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时， 的极小值；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在唯一零点，求的范围．‎ 解：（Ⅰ）由题设，当时，，‎ 则，由，得．………………………2分 ‎∴当，，在上单调递减，‎ 当，，在上单调递增，……………………4分 ‎∴当时，取得极小值，‎ ‎∴的极小值为2. ………………………6分 ‎（Ⅱ）由题设，‎ 令，得．‎ 设，则，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减．‎ ‎∴是的唯一极值点，且是极大值点，因此也是的最大值点．‎ ‎∴的最大值为．………………………9分 又，结合的图象（如图），可知，‎ ‎ ‎ 当时，函数有且只有一个零点；‎ 当时，函数有且只有一个零点．‎ 所以，当或时，函数有且只有一个零点. ………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 中，内角、、的对边分别为、、，已知、、成等比数列，．‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）设，求的值.‎ 解：（Ⅰ）由，得，‎ ‎∵、、成等比数列，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理可得 ‎，‎ ‎∴，‎ 于是 ‎. ………………………6分 ‎ （Ⅱ）由 由得，‎ 而，‎ ‎∴，‎ 由余弦定理，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴. ………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 设是数列的前项和，已知，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ 解：（Ⅰ）当时，由，得， ‎ 两式相减，得，∴，‎ ‎∴， ‎ 当时，，，则 .‎ 数列是以3为首项，3 为公比的等比数列 ， ‎ ‎∴ . ………………………6分 ‎（Ⅱ）由（1）得，‎ ‎∴ ， ‎ ‎，‎ 两式相减，得，‎ ‎∴ . ………………………12分 ‎22．（本小题满分12分）已知曲线（）在点 处的切线与直线平行．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ 解：（Ⅰ），‎ 由题，‎ ‎∴. ………………………4分 ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ 由，解得，‎ 故在和上递减，在上递增. ………………………7分 一、 当时，，而，故在上递增，‎ ‎，，即； ……………………9分 二、 当时，，‎ 令，则，‎ 故在上递增，上递减，‎ ‎，‎ 即；………………………11分 综上，对任意，均有. ………………………12分