数学文卷·2017届江西省赣州市十四县（市）高三下学期期中联考（2017

数学文卷·2017届江西省赣州市十四县（市）高三下学期期中联考（2017

‎2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考 高三数学试卷（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设复数（是虚数单位），的共轭复数为，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知点，，向量，若，则实数等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知定义在区间上的函数满足，在上随机取一个实数，则使得的值不小于4的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.如图所示的程序框图，若输入，，，的值分别为1，，9，3，则输出的值为（ ）‎ A. B. C.7 D.19‎ ‎6.设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在中，，，，则边上的高等于（ ）‎ A. B. C. D.3‎ ‎9.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）‎ A. B.‎ C.10 D.12‎ ‎10.函数的图象大致是（ ）‎ ‎11.设函数，若方程恰好有三个根，分别为，，（），则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数，若函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，则 .‎ ‎14.设为锐角，若，则 ． ‎ ‎15.我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余税金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为 ．‎ ‎16.点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.等差数列的前项和为，已知，为整数，且的最大值为.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.如图所示，在等腰梯形中，，，，将三角形沿折起，使点在平面上的投影落在上.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若点为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎19.近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示：‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 第2组 ‎①‎ 第3组 ‎20‎ ‎②‎ 第4组 ‎20‎ 第5组 ‎10‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；‎ ‎（2）为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试；‎ ‎（3）在（2）的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受考官进行面试，求：第4组至少有一名选手被考官面试的概率.‎ ‎20.已知点，点在轴上，动点满足，且直线与轴交于点，是线段的中点.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线，关于轴对称，且交曲线于、两点，交曲线于、两点，、在第一象限，若四边形的面积等于，求直线，的方程.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点.‎ ‎（1）求，两点的极坐标；‎ ‎（2）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求线段的长度.‎ ‎23.设对于任意实数，不等式恒成立.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）当取最大值时，解关于的不等式：.‎ ‎2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考 高三数学试卷参考答案（文科）‎ 一、选择题 ‎1.D ∵，∴.‎ ‎2.A ∵，∴，∴.‎ ‎3.B ，因为，所以，解得.‎ ‎4.C 由，得，，故，由得，因此所求概率为.‎ ‎5.D 程序执行过程为：，；，；，；，∴终止程序，∴输出的.‎ ‎6.A 因为，，‎ 所以的周长为，‎ 显然，当最小时，有最大值，‎ 而，所以，，解得，，从而.‎ ‎7.D 不等式组表示的可行域为三角形，如图所示：目标函数所在直线将其可行域平行，‎ 因为，所以，设，则，得，所以.‎ ‎8.A 设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，‎ 因为，，所以，‎ 化简得，解得.‎ 又，由，得.‎ ‎9.B 如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥即为所求，且，，可求得表面积为.‎ ‎10.C 当时，，由复合函数的单调性知在上单调递增，所以排除A、B选项；当时，，，所以函数在上递减，在上递增，从而，所以选C..‎ ‎11.C 画出该函数的图象如图，当时方程恰好有三个根，且点和关于直线对称，点和关于直线对称，所以，，从而.‎ ‎12.A ，∵，∴，.‎ 当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无极值；当时，设，则，在上为减函数，‎ ‎∵，，∴，得.‎ 二、填空题 ‎13. .‎ ‎14. 因为为锐角，若，所以，因此.‎ ‎15. 第1关收税金：；‎ 第2关收税金：；‎ 第3关收税金：；‎ ‎……‎ 第8关收税金：.‎ ‎16. 因为，所以.‎ 又，所以，，‎ 又，‎ 所以.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数.‎ 又，故，，‎ 解得，‎ 因此 数列的通项公式为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，①‎ ‎，②‎ ‎②式减①式得，，‎ 整理得，‎ 因此.‎ ‎18.解：（1）证明：在等腰梯形中，可设，可求出，，‎ 在中，，∴，‎ ‎∵点在平面上的投影落在上，‎ ‎∴平面，平面平面，∴，‎ 又，，∴平面，‎ 而平面∴平面平面.‎ ‎（2）解：因为，所以，‎ 又，所以，‎ 因为，所以，解得，‎ 因为为中点，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，‎ 所以,‎ 因为，所以.‎ ‎19.解：（1）第1组的频数为人，所以①处应填的数为人，从而第2组的频率为，因此②处应填的数为，‎ 频率分布直方图如图所示，‎ ‎（2）因为第3、4、5组共有50名选手，所以利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：‎ 第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人进入第二轮面试.‎ ‎（3）设第3组的2位选手为，，第4组的2位选手为，，第5组的1位选手为，则从这五位选手中抽取两位选手有，，，，，，，，，，共10种.‎ 其中第4组的2位选手，中至少有一位选手入选的有：，，，，，，，共有7种，所以第4组至少有一名选手被考官面试的概率为.‎ ‎20.解：（1）设，，，‎ ‎，，∵，∴，即，‎ 又，∴，代入，得.‎ ‎（2）由（1）知，设直线，则，‎ 得，，，‎ 依题意可知，四边形是等腰梯形，‎ ‎∴，‎ 由，‎ 即，∴，∴，∴.‎ ‎∴直线，的方程分别为，.‎ ‎21.解：（1）因为，，，‎ 所以切线方程为，即.‎ ‎（2）令，‎ 所以.‎ 当时，因为，所以，所以是上的递增函数，‎ 又因为，所以关于的不等式不能恒成立，‎ 当时，，‎ 令，得，所以当时，；当时，.‎ 因此函数在上是增函数，在上是减函数，故函数的最大值为，‎ 令，‎ 则在上是减函数，‎ 因为，，‎ 所以当时，，所以整数的最小值为2.‎ ‎22.解：（1）由得，‎ 所以，即.‎ 所以、两点的极坐标为：，或同样得分.‎ ‎（2）由曲线的极坐标方程得其直角坐标方程为，‎ 将直线代入，‎ 整理得，即，，‎ 所以.‎ ‎23.解：（1）∵，‎ 又恒成立，‎ ‎∴.‎ ‎（2）当取最大值时，‎ 原不等式等价于：，‎ 等价于：或，‎ 等价于：或.‎ 所以原不等式的解集为.‎