2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：7-1 不等式及其解法（讲解部分）
专题七 不等式
7.1
不等式及其解法
高考理数
考点一 不等关系
考点清单
考向基础
1.不等式的基本性质
性质
性质内容
注意
对称性
a
>
b
⇔
b
<
a
;
a
<
b
⇔
b
>
a
可逆
传递性
a
>
b
,
b
>
c
⇒
a
>
c
;
a
<
b
,
b
<
c
⇒
a
<
c
同向
可加性
a
>
b
⇔
a
+
c
>
b
+
c
可逆
可乘性
a
>
b
,
c
>0
⇒
ac
>
bc
;
a
>
b
,
c
<0
⇒
ac
<
bc
c
的符号
移项法则
a
+
b
>
c
⇒
a
>
c
-
b
可逆
同向可加性
a
>
b
,
c
>
d
⇒
a
+
c
>
b
+
d
同向
同向同正可乘性
a
>
b
>0,
c
>
d
>0
⇒
ac
>
bd
同向,同正
可乘方性
a
>
b
>0,
n
∈N
*
⇒
a
n
>
b
n
同正
可开方性
a
>
b
>0
⇒
>
(
n
∈N,
n
≥
2)
同正
2.不等式的倒数和分数性质
(1)倒数性质:①
a
>
b
,
ab
>0
⇒
<
;②
a
<0<
b
⇒
<
.
(2)有关分数的性质:若
a
>
b
>0,
m
>0,则
①
<
;
>
(
b
-
m
>0).
②
>
;
<
(
b
-
m
>0).
考向突破
考向 不等式的性质的应用
例
(2019广东清远期末,10)已知
<
<0,给出下列三个结论:①
a
2
<
b
2
;②
+
>2;③lg
a
2
>lg(
ab
).正确结论的序号是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
解析
因为
<
<0,所以
b
<
a
<0.
①
a
2
-
b
2
=(
a
+
b
)(
a
-
b
)<0,所以
a
2
<
b
2
,正确;
②因为
a
,
b
同号,且
a
≠
b
,所以
+
>2,正确;
③
a
2
-
ab
=
a
(
a
-
b
)<0,所以
a
2
<
ab
,
所以lg
a
2
0
Δ
=0
Δ
<0
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
>0)的图象
一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0(
a
>0)的根
有两个相异实根
x
1
,
x
2
(
x
1
<
x
2
)
有两个相等实根
x
1
=
x
2
=-
没有实根
ax
2
+
bx
+
c
>0(
a
>0)的解集
{
x
|
x
<
x
1
或
x
>
x
2
}
x
x
≠
-
R
ax
2
+
bx
+
c
<0(
a
>0)的解集
{
x
|
x
1
<
x
<
x
2
}
⌀
⌀
在不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0(
a
≠
0)中,如果二次项系数
a
<0,则可先根据不等式的性质,将其转化为正数,再对照上表求解.
2.分式不等式的解法
(1)
>0(<0)
⇔
f
(
x
)·
g
(
x
)>0(<0);
(2)
≥
0(
≤
0)
⇔
考向突破
考向 不等式的解法
例
(2019河南濮阳3月模拟,7)已知不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0的解集是{
x
|
α
<
x
<
β
}
(
α
>0),则不等式
cx
2
+
bx
+
a
<0的解集是
( )
A.
B.
∪
C.(
α
,
β
) D.(-
∞
,
α
)
∪
(
β
,+
∞
)
解析
不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0的解集是{
x
|
α
<
x
<
β
}(
α
>0),则
α
,
β
是一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0的实数根,且
a
<0,∴
α
+
β
=-
,
α
·
β
=
.不等式
cx
2
+
bx
+
a
<0可化为
x
2
+
x
+1>0,∴
αβx
2
-(
α
+
β
)
x
+1>0,可化为(
αx
-1)(
βx
-1)>0,又0<
α
<
β
,∴
>
>0,
∴不等式
cx
2
+
bx
+
a
<0的解集为
,故选B.
答案
B
方法
一元二次不等式恒成立问题
1.不等式解集法
不等式
f
(
x
)
≥
0在集合
A
中恒成立等价于集合
A
是不等式
f
(
x
)
≥
0的解集
B
的
子集,通过求不等式的解集,并研究集合间的关系可以求出参数的取值范围.
2.分离参数法
若不等式
f
(
x
,
λ
)
≥
0(
x
∈
D
,
λ
为实参数)恒成立,将
f
(
x
,
λ
)
≥
0转化为
λ
≥
g
(
x
)或
λ
≤
g
(
x
)(
x
∈
D
)恒成立,进而转化为
λ
≥
g
(
x
)
max
或
λ
≤
g
(
x
)
min
,求
g
(
x
)(
x
∈
D
)的最值
即可.
该方法适用于参数与变量能分离,函数最值易求的题目.
方法技巧
3.主参变换法
把变元与参数变换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围
列式求解.
4.数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函
数图象的位置(相对于
x
轴)关系求解.
例
(1)(2018河南一模,5)已知函数
f
(
x
)=
mx
2
-
mx
-1,若对于
x
∈[1,3],
f
(
x
)<-
m
+4
恒成立,则实数
m
的取值范围为
( )
A.(-
∞
,0] B.
C.(-
∞
,0)
∪
D.
(2)(2018广东阳春第一中学第一次月考,15)设
a
<0,若不等式-cos
2
x
+(
a
-1)cos
x
+
a
2
≥
0对于任意的
x
∈R恒成立,则
a
的取值范围是
.
解析
(1)由
f
(
x
)<-
m
+4,可得
m
(
x
2
-
x
+1)<5.
∵当
x
∈[1,3]时,
x
2
-
x
+1∈[1,7],
∴
m
(
x
2
-
x
+1)<5等价于
m
<
,
当
x
=3时,
取得最小值
,
由题意知
m
<
恒成立,则有
m
<
.
因此,实数
m
的取值范围为
.故选D.
(2)令
t
=cos
x
,
t
∈[-1,1],则不等式
f
(
t
)=
t
2
-(
a
-1)
t
-
a
2
≤
0对
t
∈[-1,1]恒成立,因此
⇒
∵
a
<0,∴
a
≤
-2.
答案
(1)D (2)
a
≤
-2
