数学卷·2018届江苏省姜堰中学等“五校联考”高三上学期第一次学情监测（2017

数学卷·2018届江苏省姜堰中学等“五校联考”高三上学期第一次学情监测（2017

江苏省姜堰中学、如东高级中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测 数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）‎ ‎1. 已知全集，集合，则 ．‎ ‎2. 设复数满足（为虚数单位），则为 ．‎ ‎3. 设向量，若，则实数的值为 ．‎ ‎4. 直线为双曲线的一条渐近线，则的值为 ．‎ ‎5. “”是“直线与直线垂直”的 条件．(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入).‎ ‎6. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则的值为 ．‎ ‎7. 若圆锥底面半径为2，高为，则其侧面积为 ．‎ ‎8. 设满足，则的最大值为 ．‎ ‎9. 已知，且，则的值是 ．‎ ‎10. 设数列的首项，且满足与，则数列的前20项和为 ．‎ ‎11. 已知是以为直径的圆上的两点，且,则的值为 ．‎ ‎12. 在平面直角坐标系中，已知圆和两点，且，若圆上存在两个不同的点，使得，则实数的取倌范围为 ．‎ ‎13．已知，则的最小值为 ．‎ ‎14. 已知函数，其中为自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最大值为 ．‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知的内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积为，求.‎ ‎16.如图，在四棱锥中，平面平面，平面，为锐角三角形，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎17.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.‎ ‎（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.‎ ‎18.如图，已知椭圆的左顶点，且点在椭圆上，分别是椭圆的左、右焦点。过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，‎ 直线交椭圆于点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若为等腰三角形，求点的坐标；‎ ‎（3）若，求的值.‎ ‎19.已知数列满足：.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）设，求证：数列从第2项起成等比数列；‎ ‎（3）若数列成等差数列，且，试判断数列是否成等差数列？并证明你的结论.‎ ‎20.已知函数，其中为自然对数的底数，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若存在，使，求的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的恒成立，求的最小值.‎ Ⅱ (附加题）‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，已知直线经过点，倾斜角为 ，设与圆相交于两点，求点到两点的距离之积.‎ B.[选修4-2:矩阵与变换]‎ 在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到的直线仍为，求矩阵的逆矩阵.‎ C.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中，直线和圆的极坐标方程为和.若直线和圆有且只有一个公共点，求的值.‎ ‎【必做题】第22、23题，请选定其中两题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，为的中点.‎ ‎（1）求二面角的正弦值；‎ ‎（2）若平面，求的值.‎ ‎23.已知抛物线的焦点为，直线过点.‎ ‎（1）若点到直线的距离为，求直线的斜率；‎ ‎（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求证: 线段中点的横坐标为定值.‎ 试卷答案 一、填空题 ‎1. 2. 2 3. 3 4. ‎ ‎5. 充分不必要 6. 7. 8. 2‎ ‎9. 10. 2056 11. 21 12. ‎ ‎13. 4 14. ‎ 二、解答题 ‎15. 解（1）由已知，‎ 结合正弦定理得>，‎ 所以，‎ 即，即，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）由，得，即，‎ 又，得，‎ 所以，又，∴.‎ ‎16.解（1）因为平面,‎ 而平面，平面平面，‎ 所以，‎ 又因为平面；平面,‎ 所以平面 ‎（2）过作于,‎ 因为平面平面,且平面平面,所以平面 因为平面，所以.‎ 因为，所以,而为锐角三角形，于是点与不重合，即. ‎ 因为平面,所以平面 因为平面,‎ 故平面平面.‎ ‎17.由题意，水池孤长为，扇形面积为 ‎ 由题意有 ‎ 即，①‎ ‎ ‎ ‎∴ 令，则 ‎ 所以当时，最大为400‎ 答：扇形圆心角为2弧度，半径为20米时，广场面积最大为400平方米 ‎ ‎（2）即， 代入①可得 ‎ 或 ②‎ 又 当时，与不符 在上单调减，当时，最大337.5平方米,此时.‎ ‎18. 解（1）‎ 由题意得，解得 ‎∴椭圆的标准方程：‎ ‎（2）∵为等腰三角形，且∴点在轴下方 ‎ 若，则；‎ ‎ 若，则，∴；‎ ‎ 若，则，∴；‎ ‎∴‎ ‎∴直线的方程，由得或 ‎∴‎ ‎（3）设直线的方程，‎ 由得 ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ∴ ‎ 若，则∴，∴，∵，∴，∴与不垂直；‎ ‎∴，∵，，‎ ‎∴直线的方程，直线的方程: ‎ 由 解得 ∴ ‎ 又点在椭圆上得，即，即 ‎ ‎∵，∴ ‎ ‎19.解：（1）当时，可得，又，‎ 从而可得；‎ ‎（2）由，可得，‎ 所以；‎ 又因为，‎ 所以，即，‎ 又，，所以，‎ 所以数列成等比数列； ‎ ‎（3）由可得，即；‎ 由可得，‎ 又因为数列成等差数列，从而，即，‎ 从而，‎ 即 ‎ 所以，故，‎ 所以数列成等差数列. ‎ ‎20.解：（1）令，得，且当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值. ‎ 因为，所以.‎ ‎（2）设，题设等价于函数有零点时的的取值范围.‎ ‎①当时，由，所以有零点.‎ ‎②当时，‎ 若，由，得；‎ 若，由（1）知，，所以无零点.‎ ‎③当时，，又存在，，所以有零点.‎ 综上，的取值范围是或.‎ ‎（3）由题意，，因为，所以.‎ 设，其值域为，‎ 由于，所以.‎ 又，所以在上为减函数，所以，. ‎ 记区间，则.①‎ 设函数，‎ 一方面，；‎ 另一方面，，‎ 存在，‎ 所以，使，即，所以.②‎ 由①，②知，，‎ 从而，即的最小值为.‎ ‎21.A.（坐标系与参数方程）‎ 解：直线的参数方程为 即(为参数)；‎ 将代入，‎ 得，即，则，‎ 则点到两点的距离之积为2. ‎ B.(矩阵与变换）‎ 解：设是直线上任意一点，其在矩阵对应的变化下得到 仍在直线上，‎ 所以得， 与比较得，解得，故,‎ 求得逆矩阵.‎ C.(坐标系与参数方程）‎ 解：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程得，‎ 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得.‎ 因为直线与圆有且只有一个公共点，所以，即 解得或.‎ ‎22.解：因为是等边三角形，为的中点，所以，‎ 又因为平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 所以平面，‎ 又平面,所以，‎ 取的中点，连结，‎ 由题设知四边形是等腰梯形，所以，‎ 由平面，又平面，所以，‎ 建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，， ‎ 设平面的法向量为，‎ 则 ,即 令，则，于是，‎ 又平面的一个法向量为，设二面角为，‎ 所以，，‎ 所以二面角的正弦值为. ‎ ‎（2）因为平面，所以，即，‎ 因为，‎ 所以，‎ 由及，解得. ‎ ‎23.解：（1）由已知，不合题意.设直线的方程为，‎ 由已知，抛物线的焦点坐标为，‎ 因为点到直线的距离为，所以，‎ 解得，所以直线的斜率为. ‎ ‎（2）设线段中点的坐标为，‎ 因为不垂直于轴，则直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 联立方程 ‎ 消去得，‎ 所以，‎ 因为为中点，所以，即， ‎ 所以.即线段中点的横坐标为定值2. ‎