江苏省南菁高级中学2019届高三上学期周练（9

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江苏省南菁高级中学高三数学周周练二（理科） 命题人：董骁 审题人：李国祥 2018-9-22 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分. 1. 对于命题 p： ，使得 x 2+ x +1 < 0．则 为： ▲ ． ，均有 x 2+ x +1≥0 2. 函数 的定义域为 ▲ ．（0， ] 3. 函数 在 处的切线方程为 ▲ ． 4. 已知集合 A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9}，B= ，则集合 A∩B= ▲ ．{x|﹣2≤x≤5} 5. 函数 的零点所在的区间是（n,n＋1），则正整数 n=____▲ _．1 6. 已知集合 ，集合 ，若命题“ ”是命题“ ”的充分不 必要条件，则实数 的取值范围是 ▲ ． 7. 对 一 切 实 数 x ， 不 等 式 恒 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ▲ ． 8. 设函数 ，方程 的解为 ▲ ．1,4 9. 已知 是以 2 为周期的偶函数，且当 时， .若在区间 内，方 程 有 4 个实数根，则 的取值范围是 ▲ . 10. 若函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ▲ . 11. 若存在实数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为 ▲ ． 12. 已知函数 ，若函数 恰有 3 个零点，则实数 k 的取值范围为 ▲ . 或 13. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 + >1, ,则不等式 （其中 e 为 自然对数的底数）的解集为 ▲ ． 14. 若 不 等 式 | | ≥ 1 对 任 意 都 成 立 ， 则 实 数 取 值 范 围 是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域．．．．内作答，解答时应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分 14 分） 设 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2＜0（其中 a≠0），q：实数 x 满足 x2－x－6≤0， x2＋2x－8＞0. (1)若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围； (2)若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝1 时，解得 1＜x＜3，即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1＜x＜3. …2 分 由 x2－x－6≤0， x2＋2x－8＞0，得 2＜x≤3，即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2＜x≤3. ……………4 分 若 p∧q 为真，则 p 真且 q 真，………………5 分 所以实数 x 的取值范围是(2,3)．………………7 分 (2)p 是 q 的必要不充分条件，即 q⇒p，且 p/⇒q，………………8 分 设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 A B，又 B＝(2,3]， 由 x2－4ax＋3a2＜0 得(x－3a)(x－a)＜0，………………9 分 当 a＞0 时，A＝(a,3a)，有 a≤2， 3＜3a，解得 1＜a≤2；………………11 分 当 a＜0 时，A＝(3a，a)，显然 A∩B＝∅ ，不合题意．………………13 分 所以实数 a 的取值范围是(1,2]．………………14 分 16. （本小题满分 14 分） 设关于 x 的方程(m+1)x2-mx+m-1=0 有实根时，实数 m 的取值范围是集合 A，函数 f(x)=lg[x2- 3x+2]的定义域是集合 B. (1)求集合 A； (2)求 A B 及 . 解：(1)当 m+1=0 即 m= -1 时，方程为 x-2=0，此时 x= 2…………………………(2 分) 当 m+1≠0 即 m≠-1 时，方程有实根 △=m2-4(m+1)(m-1)≥0 m2-4m2+4≥0 3m2≤4 - ≤m≤ 且 m≠-1…(6 分) 由上可知： ……………………………………………………(8 分) (2)∵ B={x|x2- 3x+2>0}={x|(x-2)(x- 1)>0}=(-∞，1)∪(2，+∞) ……………(10 分) ∴ A B= …………………………………………………………(12 分) ∴ ……………………………………………………………(14 分) 17. （本小题满分 14 分） 如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地 ABCD， 米， 米，以 AD，BC 为直径 的半圆 和半圆 半圆在矩形 ABCD 内部为两个半圆形水上主题乐园，BC，CD，DA 都建有围 墙，游客只能从线段 AB 处进出该主题乐园为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定 沿着 ， 修建不锈钢护栏，沿着线段 EF 修建该主题乐园大门并设置检票口，其中 E，F 分 别为 ， 上的动点， ，且线段 EF 与线段 AB 在圆心 和 连线的同侧已知弧线部分 的修建费用为 200 元米，直线部分的平均修建费用为 400 元米． (1)若 米，则检票等候区域其中阴影部分面积为多少平方米？ (2)试确定点 E 的位置，使得修建费用最低． 解： 如图， 米， 米， 梯形 的面积为 平方米． 矩形 的面积为 4800 平方米 ， 扇形 和扇形 的面积均为 平方米， 所以阴影部分面积为 平方米． 答：检票等候区域图中阴影部分面积为 平方米．……6 分 设 ，则 ， ， 修建费用 ， ，令 ，则 ， 0 减函数 极小值 增函数 所以，当 时，即 ，修建费用最低． 答：当 为 时，修建费用最低．……14 分 18. （本小题满分 16 分） 已知函数 定义在 上，对于任意的 ，有 ，且当 时， . (1)验证函数 是否满足这些条件； (2)证明函数 是奇函数； (3)若 ，且 ，求 的值． 解：(1)由 可得 ，即其定义域为 又 又当 时， ， 故 满足这些条件.…… 5 分 19. （本小题满分 16 分） 已知函数已知函数 . (1)若 ， 是偶函数，求 的值； (2)若 在 上有意义，求实数 的取值范围； (3)若 ，且 ，求实数 的取值范围. （1）当 时， ， 若 是偶函数，则 ，即 ， 即 ，所以 . ………………………4 分 （2） 在 上有意义，则对任意 ， 恒成立， 即对任意 ， 恒成立， ………………………6 分 设 ，由指数函数单调性得 在 上是增函数， 所以 ， ………………………8 分 由 对任意 时恒成立得 ，即实数 的取值范围是 .………………10 分 （3）当 时， ， 由 可得方程 无实根， ………………………12 分 因为 ， 所以，当 ，即 时 ， ………………………14 分  故实数 的取值范围是 . ………………………16 分 20. （本小题满分 16 分） 设函数 ， （ ）. (1)当 时，解关于 的方程 （其中 为自然对数的底数）； (2)求函数 的单调增区间； (3)当 时，记 ，是否存在整数 ，使得关于 的不等式 有 解？若存在，请求出 的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据： ， ） 解：（1）当 时，方程 即为 ，去分母，得 ，解得 或 ， …………2 分 故所求方程的根为 或 . ………4 分 （2）因为 ， 所以 （ ）， ……6 分 ①当 时，由 ，解得 ； ②当 时，由 ，解得 ； ③当 时，由 ，解得 ； ④当 时，由 ，解得 ； ⑤当 时，由 ，解得 . 综上所述，当 时， 的增区间为 ； 当 时， 的增区间为 ； 时， 的增区间为 . ………10 分 方法二：当 时， ，所以 ， 由 得，当 时，不等式 有解， ……………12 分 下证：当 时， 恒成立，即证 恒成立. 显然当 时，不等式恒成立， 只需证明当 时， 恒成立. 即证明 .令 ， 所以 ，由 ，得 ， ………14 分 当 ， ；当 ， ； 所以 . 所以当 时， 恒成立. 综上所述，存在整数 满足题意，且 的最小值为 . .……………16 分