【推荐】专题8-1 空间几何体的结构及其三视图和直观图-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题8-1 空间几何体的结构及其三视图和直观图-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

真题回放 ‎1. 【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【答案】B ‎【 考点】简单几何体的三视图 ‎【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.‎ ‎2. 【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ‎（A）3 （B）2 （C）2 （D）2‎ ‎【答案】B ‎【考点】三视图 ‎【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:‎ 或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题. ‎ ‎3. 【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【考点】 三视图 ‎【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 柱、锥、台、球及其简单组合体　　‎ A 三视图 A 直观图 A 高考对这部分的考查主要集中在以下几个方面：1、判断几何体的特征，有时结合外接球、内切球考察截面形状等（选择、填空、解答题第一问）2、考查几何体的某个视图（正视图、侧视图、俯视图），或求某个视图的相关边长（选择、填空题）3、常以三视图为载体，考查多个知识点，求最值，或考查开放性问题等。‎ 知识链接 ‎1．多面体的结构特征 ‎2．旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 ‎3.空间几何体的三视图 ‎(1)三视图的名称 几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．‎ ‎(2)三视图的画法 ‎①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．‎ ‎②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．‎ ‎4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是 ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．常见旋转体的三视图 ‎(1)球的三视图都是半径相等的圆．‎ ‎(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．‎ ‎(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．‎ ‎(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．‎ ‎2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”‎ ‎“三变” ‎“三不变” 融会贯通 题型一　空间几何体的结构特征 典例1　给出下列命题：‎ ‎①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；‎ ‎②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；‎ ‎③存在每个面都是直角三角形的四面体；‎ ‎④棱台的侧棱延长后交于一点．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎【答案】　②③④‎ 解题技巧与方法总结 ‎(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；‎ ‎(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．‎ ‎【变式训练】‎ ‎(1)以下命题：‎ ‎①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；‎ ‎②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎(2)给出下列四个命题：‎ ‎①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱；‎ ‎②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；‎ ‎③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；‎ ‎④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．‎ 其中不正确的命题为________．‎ ‎【答案】　(1)B　(2)①②③‎ 题型二　简单几何体的三视图 命题点1　已知几何体，识别三视图 例2　(2016·济南模拟)如图，多面体ABCD－EFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是(　　)‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　正视图的轮廓线是矩形DCFG，点E在平面DCFG上的投影为DG的中点，且边界BE，BG可视，故正视图为选项B或D中的正视图，侧视图的轮廓线为直角梯形ADGE，且边界BF不可视，故侧视图为选项D中的侧视图，故选D. ‎ 命题点2　已知三视图，判断几何体的形状 例3　(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)‎ A．17π B．18π C．20π D．28π ‎【答案】　A 命题点3　已知三视图中的两个视图，判断第三个视图 例4　(2016·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为(　　)‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.‎ 解题技巧与方法总结 三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎【变式训练】(1)(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81‎ ‎(2)如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，‎ 则该几何体的侧视图为(　　)‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B 题型三　空间几何体的直观图 例5　(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)‎ A.a2 B.a2 C.a2 D.a2‎ ‎(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　)‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 ‎【答案】　(1)D　(2)C ‎【解析】　(1)如图①②所示的实际图形和直观图，‎ 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故选D.‎ ‎(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.‎ ‎∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．故选C.‎ 解题技巧与方法总结 用斜二测画法画直观图的技巧 在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．‎ ‎【变式训练】如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为________．‎ ‎【答案】　a2‎ ‎ ‎练习检测 ‎1．（吉林省实验中学2016-2017学年度高二下学期期末）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ )‎ A. 8 B. C. 10 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，该几何体四个面面积分别为，最大的为10，故选C．‎ ‎2．（2017届福建省泉州市高三3月质量检测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）‎ A. 圆弧 B. 抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 双曲线的一部分 ‎【答案】D ‎ 3．（2017届四川省资阳市高三上学期期末）一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 4．（黑龙江省大庆实验中学2017届高三考前训练）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图易知：该几何体为四棱锥， ‎ 故选B.‎ 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎5．（2017届广西南宁市金伦中学高三上学期期末）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【点睛】本题考查了关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时也考查了空间想象能力，考查了由三视图求几何体的表面积，解决此类题目的关键是得到该几何体的形状以及几何体中的数量关系. ‎ ‎6．（2017届山西省高三3月高考考前适应性测试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截去一个角所得，故体积为.‎ ‎7．（宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期第三次模拟）如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中， ，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 8．（宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期三模）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. ‎ ‎9．（2017届江西省南昌市高三第一次模拟）某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. 16 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.‎ ‎10．（江西省南昌市2017届高三第三次模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎