四川省威远中学2020届高三5月月考数学（文）试题

四川省威远中学2020届高三5月月考数学（文）试题

威远中学高2020届第六学期试题 数学（文科）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ ‎1..已知集合，则= ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数z满足，则的共轭复数是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI芯片，在业界标准的ResNet -50测试中，含光800推理性能达到78563 lPS，比目前业界最好的AI芯片性能高4倍;能效比500 IPS/ W，是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中，集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域，增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图，则下面结论中正确的是( ) ‎ A.2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加 B.2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降 C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高 D. 2018年与2014年相比.中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110%‎ ‎4.在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为（ ）A．108 B．90 C．72 D．24‎ ‎5.已知， ，，则( )‎ A． B． C．c>a>b D．‎ ‎6.已知向量，且，若均为正数，则的最小值是( )‎ A.24 B.8 C. D.‎ ‎7..已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象 ( )‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎8.函数在上的图象大致为( ) A.B.C.D.‎ ‎9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现,如图,一个“圆柱容球”的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边,在该图中,球的体积是圆柱体积的,并且球的表面积也是圆柱表面积的, 若圆柱的表面积是现在向圆柱和球的缝隙里注水,则最多可以注入的水的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数是定义在R上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. ‎ ‎11.若中，，则此三角形的形状是（ ）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ‎12.椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线交椭圆于两点,交y轴于点,若, 是线段的三等分点, 的周长为,则椭圆的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.‎ ‎13.若,则的值为__________.‎ ‎14.已知，则向量在方向上的投影为__________．‎ ‎15.已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为 ‎ ‎16.已知四面体内接于球，且，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则球的表面积是________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(本小题满分12分）在中,内角所对的边分别为,且 ‎（1）.证明: （2）若,且的面积为,求 ‎18.(本小题满分12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；‎ ‎（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”．‎ 附：观测值公式：．‎ 男 女 合计 网购迷 ‎20‎ 非网购迷 ‎45‎ 合计 ‎100‎ 临界值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.(本小题满分12分)如图,四边形为矩形,且平面为的中点.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）若为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点分别是椭圆的右顶点、上顶点，的边上的中线长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程．‎ ‎21.(本小题满分12分)已知函数为自然对数的底数.‎ ‎(1)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(2)若函数在上有三个不同的极值点,求实数a的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（II）过点作倾斜角为的直线l与圆交于两点，试求的值．‎ ‎23.【选修4-5不等式选讲】已知函数.‎ ‎(1).当时，求不等式的解集；‎ ‎(2).对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 威远中学高2020届第六学期试题数学（文科）参考答案 ‎1..B ‎2.B解：由，得，所以．‎ ‎3.A解析：对于A，由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加，所以A正确;对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B错误;对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C错误;对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为所以D正确.故选A.‎ ‎4.B解：在等差数列中, ，∴数列的前5项之和.‎ ‎5..A解 ．‎ ‎6.B ‎7..D解：因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，所以，所以，所以，即，又，即为了得到函数的图象,只需将的图象向右平移个单位长度 ‎8A解：因为,所以函数为偶函数,故排除D;因为 ‎,故排除B;因为,故排除C.故选A.‎ ‎9.B解析：设球的半径为,则由题意可得球的表面积为,所以,所以圆柱的底面半径为1,高为2,所以最多可以注入的水的体积为.‎ ‎10.A解：令，则，所以函数在定义域R上单调递增，从而，得，即.故选A.‎ ‎11.A解：∵中,，∴已知等式变形得：,即，整理得：，即，∴或(不合题意,舍去)，∴，则此三角形形状为直角三角形.‎ ‎12..A解：由椭圆的定义，得，的周长，所以，所以椭圆.不妨令点C是的中点，点A在第一象限，因为，所以点A的横坐标为c，所以，得，所以.把点B的坐标代入椭圆E的方程，得，即，化简得.又，所以，得，‎ ‎13.解：两边同时平方,得,所以.‎ ‎14.3解：∵，则向量在方向上的投影为 ‎15.解：根据题意,设椭圆的左焦点为，椭圆的方程为,其中为椭圆上一点,则，则,则，则 ‎，‎ 则，分析可得：，‎ 当三点共线时，等号成立，则的最大值为 ‎16.解：如图:在三角形中,因为,所以为直角三角形,所以三角形的外接圆的圆心为的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以为四面体的高．所以,解得．所以．所以四面体的外接球的半径为2,表面积为．‎ ‎17.解：（1）.根据正弦定理,由已知得, ‎ 展开得: 整理得: ∴ （2）.由已知得: ,∴由,得: ,∴由,得: ∴‎ 由,得,所以, 由得 ‎18.解：（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内．设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元．‎ ‎（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，‎ 男 女 合计 网购迷 ‎15‎ ‎20‎ ‎35‎ 非网购迷 ‎45‎ ‎20‎ ‎65‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：‎ 因为，查表得，所以有的把握认为“网购迷与性别有关”．‎ ‎19.解：（1）连结,∵为的中点, ,又四边形是矩形，‎ ‎∴为等腰直角三角形, 则,‎ 同理可得,∴,∴, 又平面,且平面, ∴, 又∵,∴平面,又平面,∴ ‎ ‎（2）取的中点，连接.又为的中点，，∴且 ‎∵平面，平面∴∴‎ 由1得平面，∴是三棱锥的高,‎ ‎∴. ∴三棱锥的体积为 ‎20.解：(1)由题意得为直角三角形，且其斜边上的中线长为，所以．‎ 设椭圆的半焦距为，则，解得，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎(2)由题知，点的坐标为，显然直线的斜率存在，设直线的方程为 ‎，点，．联立，消去，得，‎ 所以，所以． ‎ 且．因为，所以，‎ 则，，‎ ‎，整理得．‎ 即．化简得，解得．‎ 因为都满足式，所以直线的方程为或．‎ 即直线的方程为或．‎ ‎21.解：(1)由题意,知函数的定义域为 当时,对于任意的恒成立,∴若,则,若,则,‎ ‎∴当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ ‎(2)由题目条件,可知在上有三个不同的实根,即在上有两个不同的实根,且.令,则.∵当时,,当时,,‎ ‎∴当时,单调递增,当时,单调递减.∴的最大值为.‎ 又,而,∴实数a的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为：；‎ ‎（2）直线l的参数方程为：（t为参数），将其带入上述方程中得：，则，所以.‎ ‎23.解：（1）当时，因为，所以或者或者解得：或者，所以不等式的解集为.‎ ‎（2）.对于任意实数，不等式恒成立，等价于 因为，当且仅当时等号成立，‎ 所以 因为时，‎ 函数单增区间为，单间区减为，所以当时，所以，所以实数的取值范围.‎