江西省吉安市西路片七校2018届高三上学期第一次联考数学（文）试卷

江西省吉安市西路片七校2018届高三上学期第一次联考数学（文）试卷

江西省西路片七校 2018 届高三第一次联考 数学试题（文科） 命题：井冈山中学 肖萃鹏 审题：任弼时中学 李忠华 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 ，则 （ ） A．[-2，1] B. [-1，1] C. [-2，3] D.[1，3] 2．复数 在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 4．将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则 （ ） A． B． C. D．0 5．已知向量 ，若 间的夹角为 ，则 （ ） A． B． C. D． 6．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前 个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的 数据如下表所示： （月份） （万盒） 若 线性相关，线性回归方程为 ，估计该制药厂 月份生产甲胶囊产量为 （ ） A． 万盒 B． 万盒 C. 万盒 D． 万盒 7．实数 满足条件 ，则目标函数 的最大值为（ ） A． B．7 C. D. { } { }12|,31| ≤≤−=≤≤−= xxBxxM M B∪ = ( ) 1 1 i i— x y≠ x y≠ ( ) 2sin 2 4f x x π = −   4 π ( )g x ( )0g = 2 2 2− 3, 6a b= =  ,a b  3 4 π 2a b − = 30 61 78 85 5 x 1 2 3 4 5 y 5 5 6 6 8 ,x y 0.6 ay x= + 6 7.2 7.6 7.8 8.6 ,x y 1 3 2 3 5 0 x x y x y ≥  + ≤ − + + ≥ 3z x y= + 16 5 1− 5 8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上 面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 6 节（自上而下）的容积为（ ） A. 1 升 B. 升 C. 升 D. 升 9．函数 的部分图象可以为（ ） 10．已知抛物线 的焦点为 ，其上有两点 满足 ， 则 （ ） A． B． C. D． 11．已知三棱锥 的四个顶点 都在球 的表面上， 平面 ，且 ，则球 的表面积为 （ ） A． B． C. D． 12．已知 ，关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C. D． 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 ， 是第三象限角，则 . 14．执行下面的程序框图，如果输入的 t=0.02，则输出的 . 15．已知正项等比数列 满足 ，且 ，则数列 的前 n 项和 为 . 16．已知 且 ，函数 ，其中 ，则函数 的最大值与最小值之和为 . n = 66 67 44 47 33 37 2 siny x x= 2 2x y= F ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 2AF BF− = 2 2 1 1 2 2y x y x+ − − = 4 6 8 10 A BCD− , , ,A B C D O AC ⊥ ,BCD BC CD⊥ 2, 2, 2AC BC CD= = = O 12π 7π 9π 8π ( )0,2x∈ x 2 1 2 2x x e k x x < + − k [ )0, 1e + [ )0,e 10, 2 e −    [ )0, 1e − 5 3sin −=α α ( )tan π α− = { }na 2 2 2log log 2n na a+ − = 3 4a = { }na nS = 0a > 1a ≠ ( ) 3 1 14log1 1 x ax a xf x a x + += ++ − 1 1 4 4x− ≤ ≤ ( )f x 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分） 已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根。 （I）求 的通项公式； （II）求数列 的前 项和. 18．（本小题满分 12 分） 已知向量 ，函数 . （I）求函数 的最小正周期及值域； （II）已知 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，求 的周长. 19．（本小题满分 12 分） 某省重点高中 2018 届高三文科 名学生参加了 9 月份的模拟考试，学校为了了解高三 文科学生的数学、语文情况，利用随机数表法从中抽取 名学生的成绩进行统计分析，抽出 的 名学生的数学、语文成绩如下表. 语 文 优 良 及格 优 8 m 9 良 9 n 11 数 学 及格 8 9 11 （Ⅰ）将学生编号为:001，002，003，……499，500，若从第 行第 6 列的数开始右读，请你 依次写出最先抽出的 个人的编号(下面是摘自随机用表的第四行至第七行) 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 34 34 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （Ⅱ）若数学优秀率为 ，求 的值； { }na 2a 3a 2 5 6 0x x− + = { }na 2 n n a    n ( )3 , sin , 1,sin 3 cos ,2m x n x x x R  = − = + ∈   ( )f x m n= •  ( )f x ABC∆ A B C a b c ( ) 0, 2, 3f A a bc= = = ABC∆ 500 100 100 5 5 0 034 ,m n （Ⅲ）在语文成绩为良的学生中，已知 ，求数学成绩“优”比“良”的人数少的概 率. 20．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P—ABCD，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面 ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为 PC 的中点． （Ⅰ）求证：PC⊥AD； （Ⅱ）求点 D 到平面 PAM 的距离． 21．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 和圆 分别与射线 交于 两点，且 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）若不经过原点 且斜率为 的直线 与椭圆交于 两点，且 ，证明:线段 中点 的坐标满足 . 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 . 13, 11m n≥ ≥ ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 2:D x y b+ = ( )0y x x= ≥ ,A B 2 10 2 10 5 5OA OB= = C O k l ,M N 1OMNS∆ = MN ( )0 0,P x y 2 2 0 04 2x y+ = ( ) 2 lnf x ax x x= + （Ⅰ）若 ，求函数 的在 处的切线方程； （Ⅱ） 若 ，证明:方程 无解. 1a = ( )f x ( )( ),e f e a e= − ( )2 3 2lnf x x x− = 2018 届西路片七校高三文科数学联考答案 一、选择题： 1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8. D 9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题 13、 14、6 15、2n_1 16、4 三、解答题 17.解：（Ⅰ）方程 的两根为 2,3，由题意得 设数列 的公差为 d，则 故 从而 所以 的通项公式为 ……5 分 （II）设 的前 n 项和为 由（I）知 则 两式相减得 所以 ……10 分 18. （Ⅰ）由题， ,所以 的最小 正周期为 ， ，故 的值域为 .……6 分 （Ⅱ） ,又 ，得 .在 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 , 又 , 所 以 ,所以 的周长为 .……………………12 分 19.解析：（Ⅰ）编号依次为: .………………3 分 （Ⅱ）由 ,得 ,因为 ， 得 .………………6 分 4 3— 2 5 6 0x x− + = 2 32, 3.a a= = { }na 3 2 ,a a d− = 1,d = 1 1,a = { }na na n= 2 n n a    ,ns ,2 2 n n n a n= 1 2 1 1 2 -1... ,2 2 2 2n n n n ns −= + + + + 2 3 1 1 3 4 1... .2 2 2 2 2n n n ns n + −= + + + + 2 1 1 1 1 1( ... )2 2 2 2 2n n ns n += + + + − 1 11 .2 2n n n += − − 1 22 .2n n ns + += − ( ) 2 3sin 3sin cos cos 2 12 3f x x x x x π = − − + = + +   ( )f x T π= , 1 cos 2 13x R x π ∈ ∴− ≤ + ≤   ( )f x [ ]0,2 ( ) cos 2 1 0,cos 2 13 3f A A A π π   = + + = + = −       ( )0,A π∈ 3A π= ABC∆ ( )22 2 2 2 cos 33a b c bc b c bc π= + − = + − 2, 3a bc= = ( )2 13, 13b c b c+ = + = ABC∆ 2 13+ 343,454,316,243,099 8 9 0.34100 m+ + = 17m = 8 9 8 17 9 9 11 11 100n+ + + + + + + + = 18n = （ Ⅲ ） 由 题 意 且 , 所 以 满 足 条 件 的 有 , 共 种,且每组出现都是等可能的.记: “数学成绩“优”比“良” 的 人 数 少 ” 为 事 件 ， 则 事 件 包 含 的 基 本 事 件 有 ,共 种,所以 .………………12 分 20.（Ⅰ）取 AD 中点 O，连结 OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD 均为正三角形， ∴OC⊥AD，OP⊥AD，又 OC∩OP=O，OC⊂平面 POC，OP⊂平面 POC， ∴AD⊥平面 POC，又 PC⊂平面 POC，∴PC⊥AD．………………4 分 （Ⅱ）点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离， 由（Ⅰ）可知 PO⊥AD，又平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD=AD，PO⊂平面 PAD， ∴PO⊥平面 ABCD，即 PO 为三棱锥 P﹣ACD 的体高． ∴△PAC 的面积 ， 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h，由 VD﹣PAC=VP﹣ACD 得 ， 又 ，∴ ， 解得 ，∴点 D 到平面 PAM 的距离为 ． ……………………12 分 21. （ Ⅰ ） 由 , 知 圆 半 径 为 , 由 , 知 , 设 , 则 , 椭圆的方程为 . ………………4 分 35,m n+ = 13, 11m n≥ ≥ ( ),m n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )13,22 , 14,21 , 15,20 , 16,19 , 17,18 , 18,17, , 19,16 , 20,15 ( ) ( ) ( ) ( )21,14 , 22,13 , 23,12 , 24,11 12 M M ( ) ( ) ( ) ( ) ( )13,22 , 14,21 , 15,20 , 16,19 , 17,18 5 ( ) 5 12P M = 1OB = D 1, 1b = 2 10 5OA = 2 8 5OA = ( ),A x y 2 2 4 5x y= − 2 2 4 4 1, 4,5 5 aa ∴ + = ∴ = ∴ 2 2 14 x y+ = （ Ⅱ ） 设 , 设 直 线 的 方 程 为 , 由 , 得 ,所以 ，………7 分， 而 , 原 点 到 直 线 的 距 离 为 ， 所 以 ， 所 以 ， 即 ， 即 ， 则 ，① ，② 由①，②消去 得 .…………12 分 22.（Ⅰ）依题意， ,故 ,故所求切线方程为 ………………4 分 （ Ⅱ ） 依 题 意 ， , 即 , 即 ,令 ,当 时， , 令 , 得 , 令 , 得 , 所 以 函 数 在 单 调 递 增 ; 令 , 得 , 所 以 函 数 在 单 调 递 减 , 所 以 ,所以 .………………8 分 设 , 所 以 , 令 , 得 , 所 以 函 数 在 单调递增;令 ,得 ,所以函数 在 单调递减,所以 , 即 , 所 以 , 即 ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y l y kx m= + 2 2 14 y kx m x y = + + = ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 8 4 4,1 4 1 4 km mx x x xk k −+ = − =+ + 2 2 2 2 1 2 2 4 1 4 11 1 4 k k mMN k x x k  + + −= + − = + O MN 21 md k = + 2 2 2 2 1 41 12 1 4AMN m k mS MN d k  ∆ + −= = =+ 2 2 22 1 4 1 4m k m k + − = + ( )22 21 4 2 0k m+ − = 2 21 4 2k m+ = 1 2 0 2 4 2 2 1 4 x x km kx k m + −= = = −+ 1 2 0 2 1 2 1 4 2 y y my k m += = =+ m 24 2 0 2 0 =+ yx ( )' 2 ln 1f x x x= + + ( ) ( ) 2' 2 2,f e e f e e e= + = + ( ) 22 2 0e x y e e+ − − − = 22 ln 3 2lnax x x x x+ − = 22 ln 2ln 3ax x x x x+ = + ln 3ln 2 xax x x + = + ( ) lng x ax x= + a e= − ( ) ( ) 1ln , ' exg x ex x g x x − += − + = ( )' 0g x = 1x e = ( )' 0g x > 10,x e  ∈   ( )g x 10, e      ( )' 0g x < 1 ,x e  ∈ +∞   ( )g x 1 ,e  +∞   ( )max 1 1 1ln 2g x g ee e e  = = − + = −   ( ) 2g x ≥ ( ) ( )ln 3 , 0,2 xh x xx = + ∈ +∞ ( ) 2 1 ln' xh x x −= ( )' 0h x > ( )0,x e∈ ( )h x ( )0,e ( )' 0h x < ( ),x e∈ +∞ ( )h x ( ),e +∞ ( ) ( )min ln 3 1 3 22 2 eh x h e e e = = + = + < ( ) 2h x < ( ) ( )g x h x> ,所以方程 无解.………………12 分( )2 3 2lnf x x x− > ( )2 3 2lnf x x x− =