2017-2018学年福建省龙海市第二中学高二下学期第二次(6月)月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年福建省龙海市第二中学高二下学期第二次(6月)月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省龙海市第二中学高二下学期第二次(6月)月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．在复平面内，复数(是虚数单位)对应的点在（ ）.‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】分析：复数的分子、分母同乘以分母的共轭复数，复数化简为的形式，即可得结果.‎ 详解：因为,‎ 所以它对应的点坐标为，‎ 复数复数对应的点在第二象限，故选B.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）‎ A. 方程x3＋ax＋b=0没有实根 B. 方程x3＋ax＋b=0至多有一个实根 C. 方程x3＋ax＋b=0至多有两个实根 D. 方程x3＋ax＋b=0恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：直接利用命题的否定写出假设即可．‎ 解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，‎ ‎∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．‎ 故选：A．‎ ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎3．若3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有（ ）种投信的方法?‎ A. 12 B. 34 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用分步计数原理，投放封信，每封信有 种不同的投递方向，从而可得到结论.‎ 详解：第一封信投到信箱有种方法；‎ 第二封信投到信箱有种方法；‎ 第三封信投到信箱有种方法，‎ 由分步计数原理可知共有种方法，故选D.‎ 点睛： 本题主要考查分步计数原理的应用，意在考查阅读能力，以及利用所学知识解决问题的能力，考查基本知识的应用.‎ ‎4．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋ ＋an＋1＝ (a≠1，n∈N)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为(　　 )‎ A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：当n=1时，左端为1＋a＋a2，故选C.‎ 考点:数学归纳法 ‎5．设函数在定义域内可导， 的图象如图，则导函数的图象可能为 （ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（-∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增，∴在区间（-∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系 ‎6．关于的二项式展开式中的常数项是（ ）.‎ A. 24 B. -24 C. 6 D. -6‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用二项式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项即可求出展开式的常数项.‎ 详解：二项式展开式的通项公式，‎ 令，得，‎ 展开式的常数项为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎7．如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18个火柴，……，则第2018个图形用的火柴根数为(　　)‎ ‎ ‎ A. 2016×2019 B. 2017×2018 C. 2017×2019 D. 3027×2019‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据所给图形中火柴根数的变化规律，利用归纳推理，可得第个图形用了根火柴，从而可得结果.‎ 详解：第1个图形用了根火柴，‎ 第2个图形用了根火柴，‎ 第3个图形用了个火柴，…，‎ 归纳可得：第个图形用了根火柴， ‎ 当时，，故选D.‎ 点睛： 本题主要考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题.‎ ‎8．‎ 甲乙丙丁戊五人并排站成一排，如果乙必须站在甲的右边（甲乙可以不相邻），那么不同的排法共有（ ）种.‎ A. 120 B. 60 C. 50 D. 30‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，由站在的左边与站在的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得结论.‎ 详解：本题可使用倍分法，‎ 五人并排站成一排，有种情况，‎ 而其中站在的左边与站在的右边是等可能的，‎ 则其情况数目是相等的，‎ 则站在的右边情况数目为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查排列，组合的应用，注意使用倍分法时，必须保证其各种情况是等可能的.‎ ‎9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（　）‎ A. 28 B. 76 C. 123 D. 199‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题观察可发现，‎ ‎，‎ 即后一个式子的值为它前两个式子的和。 ‎ ‎【考点】观察和归纳推理能力。‎ ‎10．设X为随机变量，若 ，当时，的值为（ ）‎ A. 9 B. 7 C. 5 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于对称，利用两个概率相等的区间得到关于的方程，解方程即可.‎ 详解：随机变量服从正态分布，‎ ‎ 与关于对称，‎ ‎，故选A.‎ 点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线关于对称，属于简单题.‎ ‎11．已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，根据二项式定理可得，故选B.‎ ‎12．已知的展开式中第4项的系数与含的系数分别为与，则展开式所有项系数之和为（ ）.‎ A. B. 1 C. 32 D. 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由的展开式中第项的系数与含的系数分别为与，利用展开式的通项可得关于的方程，解得令计算即可.‎ 详解：的展开式中第4项的系数与含的系数分别为与，‎ ‎，解得，‎ ‎，令，可得，‎ 展开式所有项系数之和为，故选A.‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ 二、填空题 ‎13．已知， ， 是虚数单位，若，则复数的模__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以且，所以复数, ,故答案为.‎ ‎14．某班有50名学生，一次数学考试的成绩，服从正态分布.已知，估计该班数学成绩在110分以上的人数为______________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】分析：根据考试的成绩服从正态分布，根据正态分布的对称性得到 ‎，根据概率乘以容量得到这个分数段上的人数.‎ 详解：考试的成绩服从正态分布，‎ 考试的成绩关于对称，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 该班数学成绩在110分以上的人数为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.‎ ‎15．直线是曲线的一条切线，则实数的值为_______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】分析：设出切点坐标，根据导数的几何意义可得切点的坐标，将切点坐标代入，进而得到结果.‎ 详解：设切点，而的导数为，‎ 在切点处的切线斜率为，‎ 得切点为，将切点坐标代入，‎ 解得实数的值为，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎16．已知函数，则__________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 而， 表示半圆的面积，即，则.‎ 点睛：本题考查微积分基本定理、定积分的几何意义；求定积分的值主要有两种方法：‎ ‎(1)利用微积分基本定理求解，即找出函数的原函数进行求解，即；‎ ‎(2)利用函数的几何意义进行求解，主要涉及的定积分，如表示，即半圆的面积.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，（1）解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（0，2）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）不等式等价于，从而可得结果；（2）关于的不等式的解集为，等价于不大于的最小值，利用基本不等式求得最小值为，从而可得结果.‎ 详解：（1）不等式f（x）＜x+1，等价于|2x﹣1|＜x+1，即﹣x﹣1＜2x﹣1＜x+1，‎ 求得0＜x＜2，故不等式f（x）＜x+1的解集为（0，2）．‎ ‎（2）∵.∴.‎ 点睛：绝对值不等式的常见解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎18．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 .以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.与交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，求的值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】分析：（I）利用平方法消去参数，可得曲线的普通方程，利用可得直线的直角坐标方程；（II）将可得的参数方程代入，整理得，，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义即可求的值．‎ 详解：解:(Ⅰ)曲线的普通方程为  ‎ 直线的直角坐标方程：  ‎ ‎(Ⅱ)点在上,的参数方程为 代入整理得：. ‎ ‎.‎ 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎19．“开门大吉”是中央电视台推出的娱乐节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐的单音色旋律，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示.‎ ‎(Ⅰ) 完成下列2×2列联表； ‎ 正误 ‎ 年龄 正确 错误 合计 ‎20~30‎ ‎30‎ ‎30~40‎ ‎70‎ 合计 ‎120‎ ‎ (Ⅱ)判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由.（下面的临界值表供参考）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）见解析（2）有把握 ‎【解析】分析：（1）根据所给的二维条形图的性质可得到列联表；（2）根据列联表，利用公式求出，从而可得出结论.‎ 详解：（1）‎ 年龄/正误 正确 错误 合计 ‎20~30‎ ‎10‎ ‎40‎ ‎30~40‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎20‎ ‎100‎ ‎（Ⅱ）‎ 有的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关.‎ 点睛：本题主要考查二维条形图，以及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若在处取得极小值，求的值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎【答案】（1） ；（2） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）求函数的导数，由求之即可；（2）分、、分别讨论函数的单调性，由单调性求出函数在区间上的最小值，由求之即可.‎ 试题解析： （1）∵的定义域为，，‎ ‎∵在处取得极小值，∴，即.‎ 此时，经验证是的极小值点，故 ‎ ‎（2）∵，‎ ‎①当时，，∴在上单调递减，‎ ‎∴当时，矛盾 ‎②当时，，‎ 令，得；，得.‎ ‎（ⅰ）当，即时，‎ 时，，即递减，∴矛盾.‎ ‎（ⅱ）当，即时，‎ 时，，即递增，∴满足题意.‎ 综上， ‎ ‎【考点】1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与不等式.‎ ‎21．学校对校园进行绿化，移栽香樟和桂花两种大树各2株，若香樟的成活率为，桂花的成活率为，假设每棵树成活与否是相互独立的.求：‎ ‎（Ⅰ）两种树各成活一株的概率；‎ ‎（Ⅱ）设ξ表示两种树成活的总株数，求ξ的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（I）利用次独立重复试验事件发生次的概率公式求出“香樟成活一株”和“桂花成活一株”的概率，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式，求出两种树各成活一株的概 率；(II) 的可能取值为，，利用互斥事件的概率公式及相互独立事件，同时发生的概率公式，求出随机变量取每一个值的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.‎ 详解： (Ⅰ)记“香樟成活一株”为事件，“桂花成活一株”为事件.‎ 则事件“两种树各成活一株”即为事件.‎ 由于事件与相互独立，因此, . ‎ ‎(Ⅱ)表示成活的株数,因此可能的取值有0， 1，2， 3，4.‎ ‎ ； ‎ ‎ ； ‎ ‎ ； ‎ ‎； ‎ ‎ . ‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 因此, ‎ 点睛：本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.‎ ‎22．已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为-3.（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若过点A（2，）可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（－6，2）‎ ‎【解析】分析：(I)由函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为-3，求导，可得是的两根，且，解方程组即可求得 的值，从而求得的解析式；（II）设切点，求切线方程，得到，要求过点A（2，）可作曲线的三条切线，即求，有三个零点，画出函数的草图，即可求得实数的取值范围. ‎ 详解：（Ⅰ） ‎ 依题意 ‎ 又 ∴ ∴ ∴（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）设切点为（）， ∵ ∴‎ ‎∴ 切线方程为 ‎ 又切线过点A（2，） ∴ ‎ ‎∴ ‎ 令 则 ‎ 由得或 ‎， ‎ 画出草图知，当＜＜时，有三解，‎ 所以的取值范围是（－6，2）.‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及根据单调性与极值求函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且.‎