专题17+坐标系与参数方程-2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点

专题17+坐标系与参数方程-2017年高考数学（文）备考学易黄金易错点

‎1．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ ‎2．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径．‎ 解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ 所以圆C的半径为.‎ ‎3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求AB的长．‎ 解　极坐标方程ρcosθ＝4的普通方程为x＝4，‎ 代入 得t＝±2，当t＝2时，y＝8；‎ 当t＝－2时，y＝－8.‎ 两个交点坐标分别为(4,8)，(4，－8)，从而AB＝16.‎ ‎4．在直角坐标系中圆C的参数方程为 (α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程．‎ 解　由参数方程消去α得圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 代入得(ρcosθ)2＋(ρsinθ－2)2＝4，整理得ρ＝4sinθ.‎ ‎5．已知曲线C：(θ为参数)，直线l：ρ(cosθ－sinθ)＝12.‎ ‎(1)将直线l的极坐标方程和曲线C的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；‎ ‎(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l的距离的最小值．‎ 易错起源1、极坐标与直角坐标的互化 例1、在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，求a的值．‎ 解　ρ(cosθ＋sinθ)＝1，‎ 即ρcosθ＋ρsinθ＝1对应的普通方程为 x＋y－1＝0，‎ ρ＝a(a>0)对应的普通方程为 x2＋y2＝a2.‎ 在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.‎ 将代入x2＋y2＝a2得a＝.‎ ‎【变式探究】在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ＋)＝3和ρsin2θ＝8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．‎ 解　∵ρcos(θ＋)＝ρcosθcos－ρsinθsin ‎＝ρcosθ－ρsinθ＝3，‎ ‎∴直线l对应的直角坐标方程为x－y＝6.‎ 又∵ρsin2θ＝8cosθ，∴ρ2sin2θ＝8ρcosθ.‎ ‎∴曲线C对应的直角坐标方程是y2＝8x.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．‎ ‎(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，‎ 设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则，.‎ 易错起源2、参数方程与普通方程的互化 例2、在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．‎ ‎(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ ‎【变式探究】已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆＋y2＝1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．‎ 解　由于直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 故直线l的普通方程为x＋2y＝0.‎ 因为P为椭圆＋y2＝1上的任意一点，‎ 故可设P(2cosθ，sinθ)，其中θ∈R.‎ 因此点P到直线l的距离是 d＝＝.‎ 所以当θ＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y 有范围限制，要标出x、y的取值范围．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ ‎1．直线的参数方程 过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎2．圆的参数方程 圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．‎ ‎3．圆锥曲线的参数方程 ‎(1)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)．‎ 易错起源3、极坐标、参数方程的综合应用 例3、在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．‎ 所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4. ‎ ‎【变式探究】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ ‎【名师点睛】‎ ‎ (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．‎ ‎(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．‎ ‎【锦囊妙计，战胜自我】‎ 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．‎ ‎1．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为(4，)，求CP的长．‎ 解　由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，即x2＋y2＝4x，‎ 即(x－2)2＋y2＝4，∴圆心C(2,0)，又由点P的极坐标为(4，)可得点P的直角坐标为(2,2)，‎ ‎∴CP＝＝2.‎ ‎2．在极坐标系中，求圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值．‎ 解　圆ρ＝8sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝(ρ∈R)化为直角坐 ‎3．在极坐标系中，已知三点M(2，－)、N(2,0)、P(2，)．‎ ‎(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．‎ 解　(1)由公式得M的直角坐标为(1，－)；‎ N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，)．‎ ‎(2)∵kMN＝＝，kNP＝＝.‎ ‎∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在一条直线上．‎ ‎4．已知直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4，求直线l与曲线C的交点的极坐标．‎ 解　直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2,0)，其极坐标为(2，π)．‎ ‎5．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．‎ 解　直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－4，圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0.圆C的圆心(2,0)到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝.又圆C的半径r＝2，因此直线l被圆C截得的弦长为2＝2.‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎7．已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解　(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎8．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.‎ ‎(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为，求实数a的值．‎ 解　(1)由ρ＝4cos，‎ 得ρ＝4cosθ－4sinθ.‎ 即ρ2＝4ρcosθ－4ρsinθ.‎ 由得x2＋y2－4x＋4y＝0，‎