数学理卷·2017届山东省济南第一中学高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届山东省济南第一中学高三上学期期末考试（2017

济南一中2016—2017学年度第一学期期末考试 高三数学试题（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，‎ 注意事项：‎ 1． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ 2． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ 3． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.‎ 第I卷（选择题共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则( )‎ ‎2‎ 侧视图 俯视图 第3题图 正视图 ‎1‎ ‎1‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若复数满足为虚数单位），则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．某几何体的三视图（单位：）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位后得到函数的图像，则函数的图像( )‎ A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 ‎5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知定义在R上的函数满足，，且当时,,则= ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7.下列说法正确的是( ) ‎ A. “”是“”的充要条件 B. “，”的否定是“”‎ C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60‎ ‎ D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为0.8‎ ‎8．设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知变量满足若目标函数取到最大值，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，若方程有且仅有两个不等的实根，则实数的取值范围是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）‎ 否 输出 是 结束 开始 第11题图 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11.执行如图所示的程序框图，则输出的值为_______.‎ ‎12．的展开式中项的系数是15，则展开式的所有 项系数的和是_______.‎ ‎13．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足，则＝．‎ ‎14.如图，长方形的四个顶点为，‎ 曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，‎ 第14题图 则质点落在图中阴影区域的概率是__________.‎ ‎15．已知双曲线的渐近线被圆 截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知向量，，函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，且，求的值．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和是，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 第18题图 如图，在三棱锥中，点是的中点，点 在线段上,且．‎ ‎（Ⅰ）求的长；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在内为优秀．‎ 甲地区：‎ 乙地区：‎ ‎（Ⅰ）计算x，y的值；‎ ‎（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；‎ ‎（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．‎ 第20题图 ‎20．（本小题满分13分）‎ 如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点,C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4,0）的直线与抛物线C2分别相交于A、B两点.‎ ‎（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；‎ ‎（Ⅲ）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线C2上，直线与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求的单调减区间；‎ ‎（Ⅲ）当时，设在区间上的最小值为，令，‎ 求证：．‎ 济南一中2016—2017学年度第一学期期末考试 高三数学试题（理科）答案 一、 选择题 ‎1-5 CDBCD 6-10 CDBBC 二、 填空题 ‎11.12.64 13.14.15.‎ 三、解答题 ‎16.（1）‎ ‎. ……………………3分 故最小正周期……………………5分 ‎(2），， ‎ C是三角形内角，∴ 即： ……………………7分 ‎ 即：． ……………………9分 将代入可得：，解之得：或4,‎ ‎，……………………11分 ‎ ……………………12分 ‎17.（1） 当时，，由， ……………………1分 当时，‎ ‎∴是以为首项，为公比的等比数列． ……………………4分 故　 …………………6分 ‎（2）由（1）知，‎ ‎………………8分 所以. ………………12分 ‎18.解：（1）方法一、如图，分别取AB、AC的中点O、Q,连接OP、OQ，设 以O为坐标原点，OP为x轴，OA为y轴，OQ为z轴建立空间直角坐标系，‎ 则 设，则 由得 所以…………………6分 方法二：如图，取AB的中点为O，PB的中点为Q，连接MQ、NQ，‎ M、Q分别为PB、PC的中点 ‎ ‎ 又 ‎ 又 ‎，又且O为AB的中点 ‎ 又Q为AB中点 N为OB中点 ‎ ‎………………6分 ‎（2）‎ 设平面MNC的一个法向量为，则 令，则，即………………9 分 平面ANC的一个法向量为，‎ 则 故二面角的余弦值为. ………………12分 ‎19.解(I )………………4分 ‎(II)甲地区优秀率为乙地区优秀率为，‎ ξ的数学期望为………………6分 ‎(III)，‎ ‎，‎ ‎ η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ P ‎ ………………10分 ‎ η的数学期望为………………12分 ‎20解： (1)设抛物线的标准方程为 由得,‎ ‎; …………………3分 ‎ (2) 可设,联立得,‎ 设 ‎,即以为直径的圆过原点; ………………8分 ‎ (3)设,则 得 ‎………………10分 设椭圆，与直线联立可得：‎ ‎∴长轴长最小值为………………13分 ‎21(1)当时，‎ ‎………………2分 曲线在点处的切线方程为：‎ ‎ 即 ………………3分 （2） ①当时，‎ ②当时，‎ ③当时，‎ ‎……………………7分 ‎ （3）当时，上单调递减 ‎………………9分 ‎………………12分 ‎………………14分