专题10+数列、等差数列﹑等比数列（仿真押题）-2018年高考数学（理）命题猜想与仿真押题
1．在数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.
C．4n－1 D.
【解析】设Sn为{an}的前n项和，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1，an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，a＝4n－1，当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以a＋a＋…＋a＝＝.
【答案】D
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
【答案】C
3．设等比数列{an}的前6项和S6＝6，且1－为a1，a3的等差中项，则a7＋a8＋a9＝( )
A．－2 B．8
C．10 D．14
【解析】依题意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2，数列S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即数列2,4，S9－6成等比数列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8，选B.
【答案】B
4．已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，若b10b11＝2，则a21＝( )
A．29 B．210
C．211 D．212
【解析】由bn＝，且a1＝2，得b1＝＝，a2＝2b1；b2＝，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，∴a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}为等比数列，∴a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.
【答案】C
5．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于( )
A．4 B．6
C．8 D．10
【解析】设数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以＝＝＝8，选C.
【答案】C
6．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(3n－1) B.
C．n(n＋1) D.
【解析】依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C.
【答案】C
7.在等差数列{an}中，a1＋3a3＋a15＝10，则a5的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
8.等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为( )
A.－2或1 B.－1或2 C.－2 D.1
【解析】法一 若q＝1，则S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，
显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错.
若q＝－1，则S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，
不满足条件，故B错，因此选C.
法二 经检验q＝1不适合，
则由2S4＝S5＋S6，
得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得
q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.
【答案】C
9.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为( )
A.－110 B.－90 C.90 D.110
【答案】D
10.等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于( )
A.n(n＋1) B.n(n－1)
C. D.
【解析】由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，
即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.
∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1).
【答案】A
11.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】由等差数列的前n项和及等差中项，
可得＝
＝＝
＝＝
＝＝7＋ (n∈N*)，
故n＝1,2,3,5,11时，为整数.
即正整数n的个数是5.
【答案】D
12．正项等比数列{an}中，若a2a18＝16，则log2a10＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】依题意得，a2a18＝a＝16，又a10>0，因此a10＝4，log2a10＝log24＝2，选A.
【答案】A
13．已知等差数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11等于( )
A．31 B．32
C．61 D．62
【答案】A
14．已知递增的等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn<0，则( )
A．a1<0,0
1
C．a1>0,00，q>1
【解析】∵Sn<0，∴a1<0，
又数列{an}为递增等比数列，∴an＋1>an，且|an|>|an＋1|，
则－an>－an＋1>0，则q＝∈(0,1)，
∴a1<0,01，令bn＝an＋1 (n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
【解析】由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54，81，∴q＝＝－，∴6q＝－9.
【答案】.－9
25.公差不为0的等差数列{an}的部分项ak1，ak2，ak3，…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.
【解析】根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1⇒ak4＝a1＋(n－1)·(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22.
【答案】22
26.设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.
【解析】由f(0)＝，得a1＝，
由f(1)＝n2an(n∈N*)，
得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2an.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
整理得＝，
所以an＝a1×××…×
＝××××…×＝，
显然a1＝也符合.
即{an}的通项公式为an＝.
【答案】an＝
27.若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2016(4)＝________.
【答案】5
28.数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则an＝__________.
【解析】∵a1＋a2＋…＋an＝2n＋5.①
∴a1＋a2＋…＋an－1＝2(n－1)＋5.②
由①－②得an＝2，∴an＝2n＋1 (n≥2).
又∵a1＝2＋5，∴a1＝14.
∴an＝
【答案】an＝
29.对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为________.
【答案】an＝
30.已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*).
(1) 证明：1≤≤2(n∈N*)；
(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N*).
证明 (1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.
由an＝(1－an－1)an－1得
an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1＞0.
由0＜an≤得
＝＝∈(1,2]，
即1≤≤2成立.
(2)由题意得a＝an－an＋1，
所以Sn＝a1－an＋1，①
由－＝和1≤≤2得
1≤－≤2，
所以n≤－≤2n，
因此≤an＋1≤(n∈N*).②
由①②得≤≤(n∈N*).
31.已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和.
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…).
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，
数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.
所以数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
32.成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列.
【解析】(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.
解得a＝5.
所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.
依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，
解得d＝2或d＝－13(舍去).
故{bn}的第3项为5，公比为2.
由b3＝b1·22，即5＝b1·22，
解得b1＝.
所以bn＝b1·qn－1＝·2n－1＝5·2n－3，
即数列{bn}的通项公式bn＝5·2n－3.
33．在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn，试比较Sn与1－的大小．
【解析】(1)设数列{an}的公差为d.
因为a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列，
所以a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1·(1＋4d)，
所以d2－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)．
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
因为bn＋1＝2bn－1，所以bn＋1－1＝2(bn－1)．
所以{bn－1}是首项为b1－1＝2，公比为2的等比数列．
所以bn－1＝2×2n－1＝2n.
所以bn＝2n＋1.
(2)因为＝＝－，
所以Sn＝＋＋…＋＝1－，
于是Sn－＝1－－1＋＝－＝.
所以当n＝1,2时，2n＝2n，Sn＝1－；
当n≥3时，2n<2n，Sn<1－.
34．已知数列{an}满足：an＋1－an＝d(n∈N*)，前n项和记为Sn，a1＝4，S3＝21.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足b1＝，bn＋1－bn＝2an，求数列{bn}的通项公式．
【解析】(1)由已知数列{an}为等差数列，公差为d，则S3＝3×4＋d＝21，解得d＝3，所以数列{an}的通项公式为an＝3n＋1.
35．设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项．
(1)证明：数列{an}为等差数列；
(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值．
【解析】(1)证明：由已知可得2Sn＝a＋an，且an>0，
当n＝1时，2a1＝a＋a1，解得a1＝1；
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋an－1，
所以2an＝2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1，所以a－a＝an＋an－1，
即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1，
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)可知an＝n，设cn＝an·bn，则cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－2＋，
因为n∈N*，当n＝2或n＝3时，{an·bn}的最大项的值为6.
