命题角度4-1 空间平行垂直关系的证明（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

命题角度4-1 空间平行垂直关系的证明（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度1：空间平行，垂直关系的证明 ‎1. 如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC﹣A1B1C1中，点G是AC的中点．‎ ‎（1）求证：B1C∥平面 A1BG；‎ ‎（2）若AB=BC， AC=‎2‎AA‎1‎，求证：AC1⊥A1B．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎（2）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，BG‎⊂‎平面ABC，∴AA1⊥BG，‎ ‎∵G为棱AC的中点，AB=BC，∴BG⊥AC，‎ ‎∵AA1∩AC=A，∴BG⊥平面ACC1A1，∴BG⊥AC1，‎ ‎∵G为棱AC中点，设AC=2，则AG=1，‎ ‎∵AA‎1‎=‎‎2‎，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AG中，tan∠AC‎1‎C=tan∠A‎1‎GA=‎‎2‎，∴∠AC1C=∠A1GA=∠A1GA+∠C1AC=90°，∴A1G⊥AC1，‎ ‎∵BG∩A‎1‎G=G，∴AC1⊥平面A1BG，‎ ‎∵A1B⊂平面A1BG，∴AC1⊥A1B.‎ ‎2. 一副直角三角板（如图1）拼接，将折起，得到三棱锥（如图2）.‎ ‎（1）若分别为的中点，求证： 平面；‎ ‎（2）若平面平面，求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得，由线面平行的判定定理可证明平面；（2）若平面平面，可得平面， 平面，由面面垂直的判定定理可证明 平面平面.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关 键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎3. 如图，在四棱柱中，已知平面平面，且， ．‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若为棱的中点，求证： 平面．‎ ‎【答案】（1）证明过程如解析；（2）证明过程如解析 ‎【解析】【试题分析】（1）依据题设条件先运用线面垂直的判定定理证明平面，再运用线面垂直的性质定理证明（2）先借助题设条件证明，再运用线面平行的判定定理证明平面：‎ 证明：（1）在四边形中，因为，所以，又平面平面，且平面平面， 平面，所以平面，又因为平面，所以．‎ ‎（2）在三角形中，因为，且为中点，所以，又因为在四边形中， ， ，所以， ，所以，所以，因为平面平面，所以平面．‎ ‎4. 如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1． ‎ ‎(1) 求证：直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2) 求证：平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎ (2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，‎ ‎∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1，‎ 又∵A1C1⊥A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，‎ ‎∴A1C1⊥平面ABB1A1．‎ ‎∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D．‎ 又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，‎ ‎∴B1D⊥平面A1C1F．‎ ‎∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎5.如图所示, 是边长为3的正方形, 平面与平面所成角为.‎ ‎ (Ⅰ)求证： 平面；‎ ‎(Ⅱ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析: (1)由线面垂直的判定定理证明; (2)建立空间直角坐标系, 写出各点坐标, 由于点M在线段BD上,所以设 ,求出平面BEF的法向量 ,由 ,求出点M的坐标. ‎ 试题解析: (Ⅰ)证明：∵平面,∴,‎ ‎∵是正方形,∴,‎ 又,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)解：因为两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示,‎ 因为与平面所成角为,即,‎ 所以,‎ 由,可知,‎ 则,‎ 所以,‎ 设平面的法向量,‎ 则,即.‎ 令得, ,‎ 又点是线段上一动点,‎ 设,则 因为平面,‎ 所以,即 解得.‎ 此时,点的坐标为(2,2,0)‎ 即当时, 平面.‎ ‎6.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.‎ ‎(1)证明：AP⊥BC；‎ ‎(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.‎ ‎(2)由(1)知|AP|＝5，‎ 又|AM|＝3，且点M在线段AP上，‎ ‎7.如图1，在中， 分别是上的点，且， ，将△沿折起到△的位置，使，如图2.‎ ‎(I)求证： ；‎ ‎(II)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) 线段上不存在点，使平面与平面垂直．.‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论．‎ ‎ ‎ ‎(II)解：线段上不存在点，使平面与平面垂直．‎ 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，‎ 则， ， ，‎ ， ．‎ 假设这样的点存在，设其坐标为，其中．‎ 设平面的法向量为，‎ 则, 又， ，‎ 所以‎3x-2‎3‎z=0‎‎-x+2y=0‎令，则.‎ 所以． ‎ 平面的法向量为，则，‎ 又， ，‎ 所以令，则.所以 ‎ 平面⊥平面，当且仅当， ‎ 即.解得，与矛盾．‎ 所以线段上不存在点，使平面与平面垂直． ‎ 点睛：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，MN：向量语言表述面面的垂直、平行关系；LW：直线与平面垂直的判定；MQ：用空间向量求直线与平面的夹角；既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会.‎ ‎8.如图， 都与正方形所在平面垂直， ， ‎（Ⅰ）求证： ⊥平面;‎ ‎（Ⅱ）过点与平面平行的平面交于点，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎【解析】试题分析:（1）由条件得三角形PAD为等腰三角形,再根据等腰三角形性质得 .计算由勾股定理得,最后根据线面垂直判定定理得⊥平面;（2）设点与平面平行的平面交于点，由面面平行性质定理得,所以 试题解析：（Ⅰ）连接，由题知,‎ 共面, ，‎ ‎∴, ‎ ‎∴. ‎ 由题中数据得 ‎ ‎∴∽ ∴,‎ 又∵ ‎∴ ‎∴ ‎（或计算，由勾股定理得出） ‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ）如图，以为原点，分别以所在直线为轴建立直角坐标系，‎ ‎∴各点坐标分别为, ‎ ‎∴=, =,设平面的法向量 ‎∴，得，‎ 不妨设，∴ ‎ 设,∴, ， ‎ ‎∵平面,∴与平面的法向量垂直。‎ , ‎ ‎∴. ∴ ‎ ‎9.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB//DC,AD⊥DC,侧面PDC⊥‎底面ABCD,ΔPDC是等边三角形，AB=AD=‎1‎‎2‎CD=1‎，点E,F,G分别是棱PD,PC,BC的中点 .‎ ‎（Ⅰ）求证：AP//‎平面EFG；‎ ‎（Ⅱ）在线段PB上存在一点Q，使PC⊥‎平面ADQ，且PQ‎=λPB，求λ的值.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) ‎30‎‎∘‎;(3) λ=‎‎2‎‎3‎.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意证得PA//EH，结合线面平行的判断定理可得PA//‎平面EFG. ‎ ‎(Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标表示得到关于实数λ 的方程，解方程可得λ=‎‎2‎‎3‎.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：设H是AD的中点，连接EH,GH ‎∵ E,F,G分别是PD,PC,BC的中点 ‎∴ EF//CD，GH//CD，∴‎EF//GH ‎∴ E,F,G,H四点共面 ‎ ‎∵ PA//EH，PA⊄‎平面EFGH，∴PA//‎平面EFG ‎ ‎（Ⅱ）∵ 平面PDC ‎⊥‎底面EFGH，‎AD⊥DC ‎∴ AD⊥‎平面PDC，过点D作z轴与平面ABCD垂直，则z轴‎⊂‎平面PDC 以DA,DC分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系D-xyz ‎ P(0,1,‎3‎)‎‎，B(1,1,0)‎，A(1,0,0)‎，C(0,2,0)‎，设Q(x,y,z)‎ PC‎=(0,1,-‎3‎)‎‎，PB‎=(1,0,-‎3‎)‎， ‎ PQ‎=(x,y-1,z-‎3‎)=λ(1,0,-‎3‎)=(λ,0,-‎3‎λ)‎‎ ‎ ‎∴ Q(λ,1,‎3‎-‎3‎λ)‎，AQ‎=(λ-1,-1,‎3‎λ-‎3‎)‎ ‎ ‎∵ PC⊥‎平面ADQ，∴‎PC⊥AQ ‎∴ ‎-1+3-3λ=0‎，λ=‎‎2‎‎3‎ . ‎ 点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.‎ ‎10.如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形， ∥， ， ，四边形为正方形，平面平面.‎ ‎（Ⅰ）若点是棱的中点，求证： ∥平面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）见解析 试题解析:（Ⅰ）证明：由已知得// ，且.‎ 因为为等腰梯形，所以有// .‎ 因为是棱的中点，所以．‎ 所以// ，且，‎ 故四边形为平行四边形,‎ 所以// . ‎ 因为平面， 平面，‎ 所以//平面．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ 解：‎ 在等腰梯形中，可得. ‎ 如图,以为原点，以所在直线分别为轴，‎ 建立空间坐标系， ‎ 则， ， ， ， ，‎ 所以， ， . ‎ 设平面的法向量为，由 ‎ 所以，取，则，得． ‎ 线段上不存在点，使平面 平面．证明如下： ‎ 假设线段上存在点，设，‎ 则． ‎ 设平面的法向量为，由 ‎ 所以，‎ 取，则，得． ‎ 要使平面平面，只需， ‎ 即， 此方程无解．‎ 所以线段上不存在点，使平面 平面．‎