数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学校高三第八次考试（2018

数学理卷·2018届河南省南阳市第一中学校高三第八次考试（2018

南阳一中2015级高三第八次考试 理数试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设等差数列的前项和为，且，则( )‎ A.8 B.12 C.16 D.20‎ ‎4.抛物线的焦点到准线的距离是( )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎5.从图中所示的矩形区域内任取一点，则点取自阴影部分的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数的大致图象是( )‎ ‎ A B C D ‎7.已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则在下列区间中使是减函数的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.下图是求样本平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若函数满足且的最小值为4，则实数的值为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.‎ ‎11.设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，，则该双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，若，则的最小值为 .‎ ‎14.若二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则 .‎ ‎15.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取4个顶点，则这4个顶点为“三节棍体”的概率是 .‎ ‎16.已知为数列的前项和，且，若，，‎ 给定四个命题①；②；③；④.‎ 则上述四个命题中真命题的序号为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知的内角的对边分别是，.‎ ‎(1)若，，求；(2)若，边上的高为，求.‎ ‎18.如图，在四棱椎中，是棱上一点，且，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且平面平面，平面与棱交于点.‎ ‎(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.‎ ‎19.2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国首都北京举行，会议期间，达成了多项国际合作协议.假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如下图所示.‎ (1) 估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；‎ (2) 在抽取的这两种品牌产品中，抽取寿命超过300小时的产品3个，设随机变量表示抽取的产品是甲品牌的产品个数，求的分布列和数学期望值.‎ ‎20.已知椭圆经过点，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设过点的直线与椭圆相交于两点，试问在轴上是否存在一个定点，使得恒为定值？若存在，求出该定值及点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.已知(，且为常数).‎ ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)若在区间内，存在且时，使不等式成立，求的取值范围.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数)，.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线？‎ ‎(2)设曲线与曲线的交点为，，当时，求的值.‎ ‎23.已知函数的最小值为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)设实数满足，证明：.‎ 南阳一中2015级高三第八次考试 理数试题参考答案 一、选择题 ‎1-5:ACBDB 6-10:CABDC 11、12：AA 二、填空题 ‎13.6 14.60 15. 16.②④ ‎ 三、解答题 ‎17.解：(1)由已知，结合正弦定理得：‎ ‎，于是，‎ 因为，所以，取.‎ ‎(2)由题意可知，得：‎ ‎，‎ 从而有：，即，‎ 又，所以.‎ ‎18.(1)在正方形中，，又平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，又平面，∴，∵底面是正方形，∴，‎ 又平面，平面，∴平面.‎ 又四点共面，且平面平面，∴，∴，‎ 又，∴为棱的中点，是棱中点，‎ ‎∵是正三角形，∴，又平面，，‎ ‎∴平面，∵平面，∴平面平面.‎ ‎(2)取中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎，，，，，，，.‎ 设平面的法向量为，则，∴，，，解得，，令，则为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，，‎ ‎∴，，得，，令，则为平面的一个法向量.‎ ‎∴，由图知二面角为钝角，‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎19.解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.‎ ‎(2)由题意知可能取值为0，1，2，3，且，，，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故.‎ ‎20.解：(1)由题意可得圆的方程为，因为该圆经过椭圆的焦点，所以半焦距 ‎，所以，将点代入椭圆方程可得，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设点，，，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，‎ 则，，又 ‎，而 为定值，只需，解得，从而，当直线的斜率不存在时，点，，‎ 此时，当时，.综上，存在点，使得.‎ ‎21.解：(1)∵(且为常数)，∴，∴①若时，当，‎ ‎；当时，，即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎②若时，当，；当时，，即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎(2)由(1)知，在区间上单调递减，不妨设，则，‎ ‎∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，∴有解，即，∴有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴，故.‎ ‎22.解：(1)由得，该曲线为椭圆.‎ ‎(2)将代入得，由直线参数方程的几何意义，设，，，，从而，由于，所以.‎ ‎23.解：(1)∵，∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴的最小值为，∴的值为.‎ ‎(2)由(1)知，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎