2018届二轮复习排列、组合、二项式定理学案

2018届二轮复习排列、组合、二项式定理学案

第1讲　排列、组合、二项式定理 ‎1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查．‎ ‎2．二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．‎ 热点一　两个计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．‎ 例1　(1)(2017·东北三省三校联合)在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有(　　)‎ A．20种 B．21种 C．22种 D．24种 答案　B 解析　分类讨论．‎ 当广告牌没有蓝色时，有1种结果；‎ 当广告牌有1块蓝色时，有C＝6(种)结果；‎ 当广告牌有2块蓝色时，先排4块红色，形成5个位置，插入2块蓝色，有C＝10(种)结果；‎ 当广告牌有3块蓝色时，先排3块红色， 形成4个位置，插入3块蓝色，有C＝4(种)结果；‎ 由于相邻广告牌不能同为蓝色，所以不可能有4块蓝色广告牌．‎ 根据分类加法计数原理有1＋6＋10＋4＝21(种)结果．‎ 故选B.‎ ‎(2)(2016·全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A．24 B．18‎ C．12 D．9‎ 答案　B 解析　从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，所以从E到G的最短路径为6×3＝18(条)，故选B.‎ 思维升华　(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．‎ ‎(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．‎ 跟踪演练1　(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 答案　C 解析　若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)，‎ 若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AA＝12(种)，‎ 若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有AC＝6(种)，‎ 若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A＝6(种)，‎ 根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种．‎ 故选C.‎ ‎(2)(2017·江西省五市八校联考)某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同的安排方法种数是(　　)‎ A．24 B．32‎ C．48 D．84‎ 答案　A 解析　首先安排文科学生，文科两个班的学生有A种安排方法，然后安排理科学生，理科的学生有A×A种安排方法，利用分步乘法计数原理可得，不同的安排方法种数为A×A×A＝24(种)．故选A.‎ 热点二　排列与组合 名称 排列 组合 相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复 不同点 ‎①排列与顺序有关；‎ ‎②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同 ‎①组合与顺序无关；‎ ‎②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同 例2　(1)(2017届四川省广元市三诊)某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个小孩共8人，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 答案　B 解析　若A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车，即剩下的两个小孩来自其他的3个家庭，有C·22＝12(种)方法，若A户家庭的孪生姐妹乘坐乙车，那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个，有C·22＝12(种)，所以共有12＋12＝24(种)方法，故选B.‎ ‎(2)(2017·天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)‎ 答案　1 080‎ 解析　①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C·C·A＝960.‎ ‎②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A＝120.‎ 故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．‎ 思维升华　求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．‎ 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径 ‎(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．‎ ‎(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．‎ ‎(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．‎ 解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”．‎ ‎‎ 跟踪演练2　(1)(2017·兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)‎ A．A种 B．A种 C．AAA种 D．AA种 答案　D 解析　先排美、俄两国领导人，方法有A种，剩下18人任意排有A种，故共有A·A种不同的站法．‎ ‎(2)(2017·广东省韶关市模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有(　　)‎ A．25种 B．60种 C．90种 D．150种 答案　D 解析　因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有×A＝90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有C×A＝60(种)分配方法，共有90＋60＝150(种)分法，故选D.‎ 热点三　二项式定理 ‎(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，其中各项的系数C(k＝0,1，…，n)叫做二项式系数；展开式中共有n＋1项，其中第k＋1项Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)称为二项展开式的通项公式．‎ 例3　(1)(2017·河南省普通高中质量监测)(3－2x－x4)·(2x－1)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A．600 B．360‎ C．－600 D．－360‎ 答案　C 解析　依题意，由排列组合知识可知，展开式中x3项的系数为3×C23(－1)3－2×C22(－1)4＝－600.故选C.‎ ‎(2)(2017届湖北省黄冈市质量检测)已知(1－2x)2 017＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2 016(x－1)2 016＋a2 017(x－1)2 017(x∈R)，则a1－2a2＋3a3－4a4＋…－2 016a2 016＋2 017a2 017等于(　　)‎ A．2 017 B．4 034‎ C．－4 034 D．0‎ 答案　C 解析　因为(1－2x)2 017＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a2 016(x－1)2 016＋a2 017(x－1)2 017(x∈R)，两边同时求导可得－2×2 017(1－2x)2 016＝a1＋2a2(x－1)＋…＋2 016a2 016(x－1)2 015＋2 017a2 017(x－1)2 016 (x∈R)，‎ 令x＝0，则－2×2 017＝a1－2a2＋…－2 016a2 016＋2 017a2 017 (x∈R)＝－4 034，故选C.‎ 思维升华　(1)在应用通项公式时，要注意以下几点 ‎①它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定；‎ ‎②Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；‎ ‎③公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；‎ ‎④对二项式(a－b)n的展开式的通项公式要特别注意符号问题．‎ ‎(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．‎ 跟踪演练3　(1)(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)‎ A．15 B．20 C．30 D．35‎ 答案　C 解析　因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.‎ 因为C＋C＝2C＝2×＝30，‎ 所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.‎ 故选C.‎ ‎(2)(2017·吉林调研)n的展开式中，各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若＝32，则n等于(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 答案　A 解析　令x＝1，得各项系数之和为A＝4n，二项式系数之和为B＝2n，故＝＝32，解得n＝5，故选A.‎ 真题体验 ‎1．(2017·全国Ⅱ改编)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．‎ 答案　36‎ 解析　由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．‎ ‎2．(2016·上海)在n的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________． ‎ 答案　112‎ 解析　2n＝256，n＝8，‎ 通项C··k＝C(－2)k·，‎ 令k＝2，则常数项为C(－2)2＝112.‎ ‎3．(2017·浙江)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.‎ 答案　16　4‎ 解析　a4是x项的系数，由二项式的展开式得 a4＝C·C·2＋C·C·22＝16.‎ a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4.‎ ‎4．(2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)‎ 答案　660‎ 解析　方法一　只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理，知共有CCA＝480(种)选法．‎ 有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有CA＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．‎ 方法二　不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，‎ 而没有女生的选法有AC种，‎ 故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．‎ 押题预测 ‎1．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2‎ 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有(　　)‎ A．8种 B．16种 C．18种 D．24种 押题依据　两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点．‎ 答案　A 解析　可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有AAA＝8(种)．故选A.‎ ‎2．为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为(　　)‎ A．60 B．120‎ C．240 D．360‎ 押题依据　排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类．‎ 答案　D 解析　6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC＝20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有CCA＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有CCAC＝40(种)，王教练分配到三人组有CCCA＝120(种)，王教练分配到两人组有CCCA＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种情况，共有CCCC＝60(种)．‎ 综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．‎ ‎3．设(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则代数式a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7的值为(　　)‎ A．－14 B．－7‎ C．7 D．14‎ 押题依据　二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设问角度新颖、典型，有代表性．‎ 答案　A 解析　对已知等式的两边求导，得 ‎－14(1－2x)6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6，‎ 令x＝1，有a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＋6a6＋7a7＝－14.‎ 故选A.‎ ‎4．(1＋2x)10的展开式中系数最大的项是________．‎ 押题依据　二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，常考常新，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力．‎ 答案　15 360x7‎ 解析　设第k＋1项的系数最大，‎ 由通项公式Tk＋1＝C2kxk，依题意知Tk＋1项的系数不小于Tk项及Tk＋2项的系数，即 解得 所以≤k≤，即k＝7.‎ 故最大的项为T8＝C27x7＝15 360x7.‎ A组　专题通关 ‎1．在(－2－1x)n的二项展开式中，若第四项的系数为－7，则n等于(　　)‎ A．9 B．8‎ C．7 D．6‎ 答案　B 解析　T3＋1＝C·()n－3·3＝－×C·，－C＝－7，C＝56⇒＝56，解得n＝8，故选B.‎ ‎2．5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是(　　)‎ A．54 B．72‎ C．78 D．96‎ 答案　C 解析　由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，乙得第一，有A＝24(种)，乙没得第一有3种，再排甲也有3种，余下的有A＝6(种)，故有6×3×3＝54(种)，所以一共有24＋54＝78(种)．‎ ‎3．(2017届四川省成都市九校模拟)某公司有五个不同的部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为(　　)‎ A．60 B．40‎ C．120 D．240‎ 答案　A 解析　由题意得，先将4名大学生平均分为两组，共有＝3(种)不同的分法；‎ 再将两组安排在其中的两个部门，共有3×A＝60(种)不同的安排方法，故选A.‎ ‎4．(2017届江西省重点中学盟校联考)将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有(　　)‎ A．18种 B．20种 C．21种 D．22种 答案　B 解析　当A，C之间为B时，看成一个整体进行排列，共有A·A＝12(种)，当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个进行排列，共有C·A·A＝8(种)，所以共有20种不同的排法．‎ ‎5．(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－40 C．40 D．80‎ 答案　C 解析　因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，‎ x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.‎ 所以x3y3的系数为80－40＝40.‎ 故选C.‎ ‎6．(2017届河北省唐山市模拟)若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|等于(　　)‎ A．1 B．513‎ C．512 D．511‎ 答案　D 解析　令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.‎ ‎7．(2017·浙江省台州市一模)已知5的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为(　　)‎ A．270x－1 B．270x C．405x3 D．243x5‎ 答案　B 解析　令x＝1 ，(a－1)5＝32，解得a＝3，即5 中共有6项，其中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，‎ 所以比较奇数项的系数，奇数项分别为C(3x)5＝243x5，‎ C(3x)32＝270x，C(3x)4＝ ，‎ 所以系数最大的项为270x，故选B.‎ ‎8．(2017届安徽省黄山市模拟)《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有(　　)‎ A．144种 B．288种 C．360种 D．720种 答案　A 解析　《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排)，有A种排法，《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有×A＝144(种)，故选A.‎ ‎9．(2017·黑龙江省虎林市模拟)2017年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同的游览方案有________种．‎ 答案　65‎ 解析　根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街．每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3＝81(种)情况，若哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街．每人有2种选择方法，则4人一共有2×2×2×2＝16(种)情况，故哈西站一定要有人去的游览方案有81－16＝65(种)．‎ ‎10．(2017届云南省曲靖市第一中学月考)若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．‎ 答案　－1 ‎ 解析　令等式中的x＝0，得a0＝1；‎ 再令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，‎ 所以＋＋…＋＝－a0＝－1.‎ ‎11．(2017·浙江省杭州市二模)若n的展开式中所有二项式系数和为64，则n＝________；展开式中的常数项是________．‎ 答案　6　240‎ 解析　由二项式定理性质可知，二项式系数和为2n＝64，所以n＝6，则原式为6，根据二项展开式可知通项公式为Tk＋1＝C(2x)6－kk ‎＝C(－1)k26－kx6－3k ，‎ 令k＝2，则T3＝C24＝240，‎ 所以展开式中的常数项为240.‎ ‎12．(2017·湖北省六校联考)把编号为1,2,3,4,5,6,7的7张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，每人至少一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________．‎ 答案　1 200 ‎ 解析　(1＋2＋3＋4)A＝1 200(种)．‎ B组　能力提高 ‎13.6的展开式中，x6的系数为(　　)‎ A．240 B．241‎ C．－239 D．－240‎ 答案　C 解析　6＝x66，所以x6的系数为C0×(－1)6＋CCx32(－1)1＝－239.故选C.‎ ‎14．(2017届河北省衡水中学押题卷)为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛．该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为(　　)‎ A．720 B．768‎ C．810 D．816‎ 答案　B 解析　由题知结果有三种情况．(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有CA＝96(种)情况，其中甲、乙相邻的有CAA＝48(种)情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有96－48＝48(种)情况； (2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C eq oal(3,4)CA＝288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有CCA＝432(种)情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288＋432＋48＝768(种)情况，故选B.‎ ‎15．(2017·浙江省湖州、衢州、丽水三市联考)6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是________．(用数字作答)‎ 答案　32‎ 解析　排成一行的6个球，第一个球可从左边取，也可从右边取，有2种可能，同样第二个球也有2种可能，…，第五个球也有2种可能，第六个球只有1种可能，因此不同的排法种数为25＝32.‎ ‎16．(2017届江西省赣州市模拟)若(1＋y3)n (n∈N*)的展开式中存在常数项，则常数项为________．‎ 答案　－84‎ 解析　n展开式的通项为 Cxn－kk＝C(－1)kxn－3ky－k，‎ ‎(1＋y3)n展开式的通项为C(－1)kxn－3ky－k和 y3C(－1)kxn－3ky－k＝C(－1)kxn－3ky3－k，‎ 若存在常数项 则有或解得k＝3，n＝9，‎ 常数项为C(－1)3＝－84.‎