2015版人教A版选修2-1课本例题习题改编

2015版人教A版选修2-1课本例题习题改编

‎2015版人教A版选修2-1课本例题习题改编 ‎1. 原题（选修2-1第四十一页例3）改编 已知点A、B的坐标分别是A（0，-1），B（0，1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-t，t∈（0，1]．求M的轨迹方程，并说明曲线的类型．‎ 解：设M（x，y），则 (x≠0)，(x≠0)，=-t， =-t(x≠0)，整理得1(x≠0)（1）当t∈（0，1）时，M的轨迹为椭圆（除去A和B两点）；（2）当t=1时，M的轨迹为圆（除去A和B两点）．‎ ‎2. 原题（选修2-1第四十七页例7）改编 在直线：上任取一点M，过点M且以双曲线的焦点为焦点作椭圆．(1)M点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．‎ 解：(1)故双曲线的两焦点过向引垂直线：，求出关于的对称点，则的坐标为（4，2）（如图）， 直线的方程为。∴，解得 ∴即为所求的点.此时，=‎ ‎(2)设所求椭圆方程为，∴ ∴∴所求椭圆方程为.‎ ‎3. 原题（选修2-1第四十九页习题2.2A组第八题）改编 已知椭圆与双曲线共焦点，且过（，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．‎ 解：（1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1．∵椭圆与双曲线共焦点，∴设椭圆方程为=1，∵椭圆过（，0），∴=1，即=2，∴椭圆方程为=1． （2）依题意，设斜率为2的弦所在直线的方程为y=2x+b，弦的中点坐标为（x，y），则 y=2x+b 且 =1得，∴，．即x=，y=，两式消掉b得 y=x．令△=0，，即b=±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y=2x±3，即当x=±时斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦得中点轨迹方程为：y=x（≤x≤）．‎ ‎4．原题（选修2-1第六十一页习题2.3A组第一题）改编 、是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离等于9，则点P到焦点的距离等于 ‎ 解：∵双曲线得：a=4，由双曲线的定义知||P|-|P||=2a=8，|P|=9，‎ ‎∴|P|=1＜（不合，舍去）或|P|=17，故|P|=17．‎ ‎5．原题（选修2-1第六十二页习题2.3B组第四题）改编 经过点A（2，1）作直线L交双曲线于，两点，求线段的中点P的轨迹方程．‎ 解：设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）；将（1）式代入双曲线方程，得：，（2）；‎ 又设（，），（，），P(x，y)，则，必须是（2）的两个实根，所以有+= (-2≠0)．按题意，x=，∴x=．因为(x，y)在直线（1）上，所以y=k(x-2)+1=+1=‎ ‎．再由x，y的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程．‎ ‎6．原题（选修2-1第七十二页练习题3）改编 过动点M（，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，试确定实数a的取值范围，使．‎ 解：由题意，直线的方程为，将，得．‎ 设直线与抛物线的两个交点的坐标为、，‎ 则 又，‎ ‎∴．‎ ‎∵ ， ∴ ．‎ 解得． 故时，有．‎ ‎7. 原题（选修2-1第七十三页习题2.4A组第六题）改编 直线l与抛物线相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．则直线l过定点 ‎ 解：设点A，B的坐标分别为（，），（，）‎ ‎（I）当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．联立方程得：消去y得，由题意：=，，又由OA⊥OB得，即 ，解得b=0（舍去）或b=-2k，故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）‎ ‎（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0，联立方程解得 ，即=-2m，又由OA⊥OB得，即=0，解得m=0（舍去）或m=2，可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．‎ ‎8. 原题（选修2-1第八十一页复习参考题B组第一题）改编 已知F1、F2分别为椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，求的面积.‎ 解：依题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，此时的面积为；当以点P为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，舍去。故的面积为.‎ ‎9. 原题（选修2-1第八十七页例题）改编 已知三点共线，且 ‎，则的最小值为 .‎ 解：由三点共线，且得，。故=5+,又，（当且仅当时取等号），故的最小值为9.‎