2017-2018学年四川省广安第二中学校高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年四川省广安第二中学校高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018 学年四川省广安第二中学校高二下学期期中考试 文科数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的. 1. 已知 i 为虚数单位，则复数 等于（ ） A. -1+i B. 1-i C. 2+2i D. 1+i 2. 函数 f （ x）=sin x+ex，则 的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3. 已知 a 为函数 f（x）=x3-3x 的极小值点，则 a=（　　） A.-1 B.- 2 C. 2 D.1 4. 用反证法证明“∀x∈R，2x＞0”，应假设为（　　） A. ∃x0∈R， ＞0 B. ∃x0∈R， ＜0 C. ∀x∈R，2x≤0 D. ∃x0∈R， ≤0 5. 在极坐标系中，点 M（1，0）关于极点的对称点为（　　） A.（1，0） B. （-1，π） C. （1，π） D. （1，2π） 6. 函数 在点 x=1 处的切线方程为（　） A. B. C. D. 7. 执行如图所示的程序框图，则输出 S=（　） A. 2 B. 6 C. 15 D. 31 8.某研究机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力 x 4 6 8 10 识图能力 y 3 5 6 8 2 1 i i− ' (0)f 3( )f x x x= + 4 2 0x y− + = 4 2 0x y− − = 4 2 0x y+ + = 4 2 0x y+ − = 由表中数据，求得线性回归方程为 ，若某儿童的记忆能力为 12 时，则他的识 图能力为（　　） A. 9.2 B. 9.5 C. 9.8 D. 10 9.“e 是无限不循环小数，所以 e 为无理数．”该命题是演绎推理中的三段论推理，其中 大前提是（　　） A. 无理数是无限不循环小数 B. 有限小数或有限循环小数为有理数 C. 无限不循环小数是无理数 D. 无限小数为无理数 10.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则 a9+b9=（　　） A. 28 B. 76 C. 123 D. 199 11.若函数 在区间（1，+∞）单调递增，则 k 的取值范围是（　 ） A.（-∞，-2] B.（-∞，-1] C. [2，+∞） D. [1，+∞） 12.对于 R 上可导函数 f（x），若满足 ，则必有（ ） A. f（1）+f（3）＜2f（2） B. f（1）+f（3）＞2f（2） C. f（1）+f（3）＞f（0）+f（4） D. f（1）+f（0）＜f（3）+f（4） 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.将点的极坐标 化为直角坐标为 . 14.函数 的最大值是 . 15.圆 C：ρ=-4sinθ 上的动点 P 到直线 l： 的最短距离为 . 16.已知函数 f（x）的定义域为（0，+∞），若 在（0，+∞）上为增函数，则称 f （x）为“一阶比增函数”；若 在（0，+∞）上为增函数，则称 f（x）为“二阶 比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 Ω1，所有“二阶比增函数”  4 5y x a= + ( ) lnf x kx x= − '( 2) ( ) 0x f x− > (2, )6 π ( ) cos , [0, ]2 2 xf x x x π= + ∈ sin( ) 24 πρ θ + = ( )f xy x = 2 ( )f xy x = 组成的集合记为 Ω2．已知函数 若 ，且 f（x）∉Ω2，实 数 m 的取值范围 . 三、解答题（本大题共 6 小题，其中第 17 题 10 分，其余每小题 12 分，共 70 分） 17.已知 a＞b＞0，求证: [] 18.复数 （m∈R）， （1）当 m=0 时，求复数 Z 的模； （2）当实数 m 为何值时复数 Z 为纯虚数； （3）当实数 m 为何值时复数 Z 在复平面内对应的点在第二象限？ 19.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 ，以原点 O 为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系． 3 2( ) 2 ,f x x mx mx= − − 1( )f x ∈Ω .a b a b− < − 2 2( 3 4) ( 10 9)Z m m m m i= + − + − + 2 0x y− + = 2 2 cos( )4 πρ θ= + 20.在数列{an}中，a1=2， . （1）计算 a2、a3、a4 并由此猜想通项公式 an； （2）证明（1）中的猜想． 21.国际奥委会将于 2017 年 9 月 15 日在秘鲁利马召开 130 次会议决定 2024 年第 33 届奥 运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退 出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的 100 位居民调查结果统计 如下： 支持 不支持 合计 年龄不大于 50 岁 80 年龄大于 50 岁 10 合计 70 100 （1）根据已知数据，把表格数据填写完整； （2）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？ * 1 ( )1 n n n aa n Na+ = ∈+ （3）已知在被调查的年龄大于 50 岁的支持者中有 5 名女性，其中 2 位是女教师，现从这 5 名女性中随机抽取 3 人，求至多有 1 位教师的概率． 附： ，n=a+b+c+d， P（K2＞k） 0. 100 0.050 0.025 0.010 k 2.706 3.841 5.024 6.635 ] 22.设函数 ． （1）当 m=e（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的极小值； （2）讨论函数 零点的个数； （3）若对任意 b＞a＞0， 恒成立，求 m 的取值范围． 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( ) ln ,mf x x m Rx = + ∈ '( ) ( ) 3 xg x f x= − ( ) ( ) 1f b f a b a − <− 一、选择题 A B D D C B C B C B D B 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17. 证明：（1）由题意 a＞b＞0，故 ＞0， ＞0 欲证 ＜ 只须证（ ）2＜（ ）2， 即 a+b-2 ＜a-b 只须证 b＜ ， 只须证 b2＜ab 只须证 b＜a，显然成立 故 a＞b＞0，有 ＜ ； 18. 解：（1）当 m=0 时，Z=-4+9i， ∴ ． 19. （2）由 ，解得 m=-4，∴m=-4 时，Z 为纯虚数． （3） ，解得-4＜m＜1， ∴当-4＜m＜1 时，复数 Z 在复平面内对应的点在第二象限． 20. 解：（Ⅰ）∵ =2cosθ-2sinθ， ∴ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y=0，即（x-1）2+（y+1）2=2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆 C 的半径 r= ， 圆心 C（1，-1）到直线 l：x-y+2=0 的距离 d= =2 ＞ ． ∴直线 l 与圆 C 相离． ( 3,1) 3 12 2 π + 2 2 2− ( ,0)−∞ 21.（1）在数列{an}中，∵a1=2，an+1= （n∈N*） ∴a1=2=，a2= =，a3= =，a4= =， ∴可以猜想这个数列的通项公式是 an= （2）∵an+1= ，∴ = =1+ ，∴ - =1， ∵a1=2，∴ =， ∴{ }是以为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴ =+（n-1）= ，∴an= 21.解：（1） 支持 不支持 合计 年龄不大于 50 岁 20 60 80 年龄大于 50 岁 10 10 20 合计 30 70 100 （2） ， 所以能在犯错误的概率不超过 5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关； （3）记 5 人为 abcde，其中 ab 表示教师，从 5 人任意抽 3 人的所有等可能事件是：abc， abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde 共 10 个，其中至多 1 位教师有 7 个基本 事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，所以所求概率是 ． 22.】解：（Ⅰ）当 m=e 时，f（x）=lnx+， ∴f′（x）= ； ∴当 x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是 减函数； 当 x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上 是增函数； ∴x=e 时，f（x）取得极小值为 f（e）=lne+=2； （Ⅱ）∵函数 g（x）=f′（x）-=- -（x＞0）， 令 g（x）=0，得 m=-x3+x（x＞0）； 设 φ（x）=-x3+x（x＞0）， ∴φ′（x）=-x2+1=-（x-1）（x+1）； 当 x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数， 当 x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数； ∴x=1 是 φ（x）的极值点，且是极大值点， ∴x=1 是 φ（x）的最大值点， ∴φ（x）的最大值为 φ（1）=； 又 φ（0）=0，结合 y=φ（x）的图象，如图； 可知：①当 m＞时，函数 g（x）无零点；②当 m=时，函数 g（x）有且只有一个零点； ③当 0＜m＜时，函数 g（x）有两个零点； ④当 m≤0 时，函数 g（x）有且只有一个零点； 综上，当 m＞时，函数 g（x）无零点； 当 m=或 m≤0 时，函数 g（x）有且只有一个零点； 当 0＜m＜时，函数 g（x）有两个零点； （Ⅲ）对任意 b＞a＞0， ＜1 恒成立， 等价于 f（b）-b＜f（a）-a 恒成立； 设 h（x）=f（x）-x=lnx+ -x（x＞0），则 h（b）＜h（a）． ∴h（x）在（0，+∞）上单调递减； ∵h′（x）=- -1≤0 在（0，+∞）上恒成立， ∴m≥-x2+x=- +（x＞0），∴m≥； 对于 m=，h′（x）=0 仅在 x=时成立； ∴m 的取值范围是[，+∞）．