数学理卷·2017届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）（2017

数学理卷·2017届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）（2017

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）‎ 数学 （理科）‎ 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（2）已知命题，则是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（3）已知圆的参数方程为（为参数），则圆心到直线的距离为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（4）已知是直线，是两个互相垂直的平面，则“∥”是“ ”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎ ‎（5）已知向量满足，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 ‎ （A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（7）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数图象在区间上单调递减，则的最小值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（8）甲抛掷均匀硬币次，乙抛掷均匀硬币次，下列四个随机事件的概率是0.5的是 ‎①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多.‎ ‎②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少.‎ ‎③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多.‎ ‎④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多.‎ ‎（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）②④ ‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 ‎ ‎（9）已知复数满足，则______． ‎ ‎（10）在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）.‎ ‎（11）已知为等差数列，为其前项和．若，，则_______． ‎ ‎（12）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，，以此类推．已知年为丁酉年，那么到新中国成立年时，即年为______年．‎ ‎ （13）双曲线的渐近线为等边三角形的边所在直线，直线过双曲线的焦点，且，则 _______． ‎ ‎（14）已知函数和 则______ ；‎ 若，且，则_____ .‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题共13分）‎ 在△中，．‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎（16）（本小题共13分）‎ 近年来共享单车在我国主要城市发展迅速．目前市场上有多种类型的共享单车，有关部门对其中三种共享单车方式（方式、方式、方式）进行统计（统计对象年龄在岁），相关数据如表，表所示．‎ 三种共享单车方式人群年龄比例（表） 不同性别选择共享单车种类情况统计（表）‎ ‎ 方式 年龄分组 方式 方式 方式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 性别 使用单车 种类数（种）‎ 男 女 ‎ ‎ ‎（Ⅰ）根据表估算出使用共享单车方式人群的平均年龄；‎ ‎（Ⅱ）若从统计对象中随机选取男女各一人，试估计男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率；‎ ‎（Ⅲ）现有一个年龄在岁之间的共享单车用户，那么他使用方式出行的概率最大，使用方式出行的概率最小，试问此结论是否正确？（只需写出结论）‎ ‎（17）（本小题共14分）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，,是中点，，分别为，的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎（18）（本小题共13分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上为单调递减，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设，求证：．‎ ‎（19）（本小题共14分）‎ 已知椭圆经过点，且离心率为． ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）设是椭圆的左，右顶点，为椭圆上异于的一点，以原点为端点分别作与直线和平行的射线，交椭圆于两点，求证：△的面积为定值．‎ ‎（20）（本小题共13分）‎ 已知集合，并且． 定义（例如： ）．‎ ‎（Ⅰ）若，，集合的子集满足：，且，求出一个符合条件的；‎ ‎（Ⅱ）对于任意给定的常数以及给定的集合，求证：存在集合，使得，且.‎ ‎（Ⅲ）已知集合满足：，，， ，其中为给定的常数，求的取值范围．‎ 东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）‎ 高三数学参考答案及评分标准 （理科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）A （2）C （3）B （4）D ‎（5）B （6）D （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9） （10） （11）‎ ‎（12）己巳 （13） （14） ‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由余弦定理及题设 ‎ ，‎ 得．‎ ‎ 由正弦定理，，‎ ‎ 得． ……………………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以当，取得最大值．…………………13分 ‎（16）（共13分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）． ‎ 由表知使用共享单车方式人群的平均年龄的估计值为：‎ 方式：.‎ 答：共享单车方式人群的平均年龄约为岁. ……………5分 ‎（Ⅱ）设事件为“男性选择种共享单车”，，‎ ‎ 设事件为“女性选择种共享单车”，，‎ 设事件为“男性使用单车种类数大于女性使用单车种类数”.‎ 由题意知，.‎ 因此 ‎.‎ 答：男性使用共享单车种类数大于女性使用共享单车种类数的概率为.‎ ‎……11分 ‎（Ⅲ）此结论不正确. ……………………………13分 ‎（17）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）在直角三角形中，因为，为中点，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 因为平面平面，‎ 平面，‎ 所以平面．‎ 因为平面，‎ 所以．‎ 在等边△中，为中线，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以平面． ……………………………5分 ‎（Ⅱ）在△中，取中点，连接，所以．‎ 在平面中，过作的平行线，交于．‎ 因为平面平面，‎ 所以平面．‎ 所以．‎ 因为两两垂直，‎ 如图建立空间直角坐标系．‎ 设，则相关各点坐标为：‎ ‎，，，，，‎ ‎，．‎ ‎，．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即 令，则， ．‎ 所以．‎ 平面的法向量为，‎ 设的夹角为，所以．‎ 由图可知二面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为．…………………………10分 ‎（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得．‎ 因此点，．‎ 由（Ⅰ）知平面，．‎ 所以．‎ 因为∥，‎ 所以．‎ 又，‎ 所以平面．‎ 所以为平面的法向量．‎ ‎．‎ 因为平面，所以∥平面当且仅当，‎ 即．‎ 解得． ‎ 因为，所以在棱上存在点，使得∥平面，‎ 此时． …………………………14分 ‎（18）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）的定义域为．‎ 当时，，‎ 所以．‎ ‎ 因为且，‎ 所以曲线在点处的切线方程为．…………4分 ‎（Ⅱ）若函数在上为单调递减，‎ 则在上恒成立．‎ 即在上恒成立．‎ 即在上恒成立．‎ 设，‎ 则．‎ 因为，‎ 所以当时，有最大值．‎ 所以的取值范围为． ……………………9分 ‎（Ⅲ）因为，不等式等价于．‎ 即，令，原不等式转化为．‎ 令，‎ 由（Ⅱ）知在上单调递减，‎ 所以在上单调递减．‎ 所以，当时，．‎ 即当时，成立．‎ 所以，当时，不等式成立．……………………13分 ‎（19）（共14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得解得．‎ 所以椭圆的方程为． …………………………5分 ‎（Ⅱ）设点，，．‎ ‎①，在轴同侧，不妨设．‎ ‎ 射线的方程为，射线的方程为，‎ ‎ 所以，，且． ‎ ‎ 过作轴的垂线，垂足分别为，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 由得，‎ 即，‎ 同理，所以，，即，‎ 所以，． ‎ ‎② ，在轴异侧，方法同 ①．‎ 综合①②，△的面积为定值． ………………14分 ‎（20）（共13分）‎ 解：（Ⅰ）由于，，‎ 所以，，‎ ‎，，回答其中之一即可 ………3分 ‎（Ⅱ）若集合，如果集合中每个元素加上同一个常数，形成新的集合. ……………5分 ‎ 根据定义可以验证：. ……………6分 ‎ 取，此时.‎ 通过验证，此时，且. ……………8分 ‎ ‎（Ⅲ）由于 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ………11分 ‎ 由于，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以. ………13分