数学理卷·2018届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）（2018

数学理卷·2018届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）（2018

北京市东城区 2017-2018 学年度第二学期高三综合练习（一） 数学（理科） 2018. 4 本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1)若集合 , ，则 (A) (B) (C) (D) (2）复数 在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限 (3)已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是 (A) (B) (C) (D) (4)在平面直角坐标系 xOy 中，角 以 Ox 为始边，终边与单位圆交于点（ ， ），则 的值为 (A) (B) (C) (D) (5)设抛物线 上一点 P 到 y 轴的距离是 2，则 P 到该抛物线焦点的距离是 (A)1 (B) 2 (C)3 (D)4 (6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画 展”、 “赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个， 且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有 (A)6 种（B) 8 种（C) 10 种（D) 12 种 (7)设 是公差为 d 的等差数列， 为其前 项和，则“d>0”是“ 为递增数列”的 (A）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件 (C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 { }3 1A x x= −   { }1 2B x x x= − 或 A B = { }3 2x x−   { }3 1x x− −  { }1 1x x−   { }1 1x x −  1 iz i = − ,a b R∈ a b 2 2 0a b−  cos cos 0a b−  1 1 0a b −  0a be e− −−  θ 3 5 4 5 tan( )θ π+ 4 3 3 4 4 3 − 3 4 − 2 4y x= { }na nS n { }nS (8)某次数学测试共有 4 道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能 手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该 题为“难题”．已知这次测试共有 5 个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 (A)4 (B) 3 (C)2 (D)1 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 (9)在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 a2 +c2 =b2 +ac，则 B= . (10)在极坐标系中，圆 的圆心到直线 的距离为 . (11)若 x，y 满足 ，则 2x+y 的最大值为 . (12)某几何体的三视图如 图所示，则该几何体的表面积为 (13）设平面向量 a,b,c 为非零向量．能够说明“若 a・b =a・c，则 b =c”是假命题的一组向 量 a,b,c 的坐标依次为 . (14）单位圆的内接正 n(n≥3)边形的面积记为 ，则 f(3)= ; 下面是关于 的描 述： ① ② 的最大值为 ③ ④ 其中正确结论的序号为 ．（注：请写出所有正确结论的序号） 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)（本小题 13 分） 已知函数 f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x. （Ⅰ）求 的最小正周期； (Ⅱ)求 在 上的最大值和最小值． (16)（本小题 13 分） 从高一年级随机选取 100 名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所 示． 2cosρ θ= sin 1ρ θ = 0 4 1 x y x y x − ≤  + ≤  ≥ ( )f n ( )f n 2( ) sin2 nf n n π= ( )f n π ( )f n ( 1)f n + ( )f n (2 )f n 2 ( )f n≤ ( )f x ( )f x [0, ]2 π (Ⅰ)从这 100 名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于 60 分的概率； (II）从语文成绩大于 80 分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于 80 分的人数为 ，求 的分布列和数学期望 E( ); (Ill）试判断这 100 名学生数学成绩的方差 a 与语文成绩的方差 b 的大小．（只需写出结论） (17)（本小题 14 分） 如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 为 CD 中点，分别将△PAD, △PBC 沿 PA,PB 所在 直线折叠，使点 C 与点 D 重合于点 O，如图 2．在三棱锥 P-OAB 中，E 为 PB 中点． (Ⅰ)求证：PO⊥AB; (II）求直线 BP 与平面 POA 所成角的正弦值； (Ⅲ）求二面角 P-AO-E 的大小． (18)（本小题 13 分） 已知椭圆 （ ）的离心率为 ，且过点 A(2,0). （Ⅰ）求椭圆 的方程； (II）设 M,N 是椭圆 上不同于点 A 的两点，且直线 AM，AN 斜率之积等于 ，试问直线 MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由． (19)（本小题 14 分） 已知函数 . ξ ξ ξ C： 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b  3 2 C C 1 4 − ( ) ( 1)xf x e a x= − + 若曲线 在 处的切线斜率为 0，求 a 的值； (Ⅱ）若 恒成立，求 a 的取值范围； (Ⅲ）求证：当 a 时，曲线 (x>0)总在曲线 的上方． (20)（本小题 13 分） 在 nXn(n ≥ 2) 个 实 数 组 成 的 n 行 n 列 的 数 表 中 ， 表 示 第 i 行 第 j 列 的 数 ， 记 ． 若 ｛ -1,0,1} ( )，且 r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn，两两不等，则称此表为“n 阶 H 表”，记 H={ r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn}. (I）请写出一个“2 阶 H 表”; (II）对任意一个“n 阶 H 表”，若整数 ，且 ，求证： 为偶数； (Ⅲ）求证：不存在“5 阶 H 表”. 北京市东城区 2017-2018 学年度第二学期高三综合练习（一） 数学（理科） 本试卷共 页,共 分.考试时长 分钟.考生务必将答案答在答 题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的 四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.【答案】 【解析】由题易知， 故选 2.【答案】 ( )y f x= (0, (0))f ( ) 0f x ≥ 0a = ( )y f x= 2 lny x= + ,i ja 1 2 (1 )i i i inr a a a i n= + + + ≤ ≤ 1 2 (1 )j j j njc a a a j n= + + + ≤ ≤ ,i ja ∈ (1 , )i j n≤ ≤ [ , ]n nλ ∈ − nHλ ∉ λ 4 150 120 B { | 3 1}.A B x x= − < < − B B 【解析】 ,所以 在复平面上对应的点 为 ，在第二象限,故选 3.【答案】 【解析】 由 在 上单调递增可知, 故选 (1 ) 1 1 1 1 (1 )(1 i) 2 2 2 i i i iz ii i + −= = = = − +− − + z 1 1( , )2 2 − B D , ,a b a b> ∴− < − xy e= R , 0,a b a be e e e− − − −< ∴ − < D 4.【答案】 【解析】由正切函数定义可知: ， ， 故选 5.【答案】 【解析】在抛物线中, 焦点 准线 点到 轴的距离为 即 故选 6.【答案】C 【解析】法一： 种 法二： 种.故选 C 7.【答案】D 【 解 析 】 充 分 条 件 的 反 例 ， 当 ， 时 ， ， A 4 45tan 3 3 5 y x θ = = = 4tan( ) tan 3 π θ θ+ = = A C 2 4 .y x= (1,0),F 1.x = − | | | | | | 1.PF PH PM= = + P y 2. | | 2.PM∴ = | | | | | | 1 3.PF PH PM= = + = C 2 2 4 2 10A A− = 1 1 2 2 2 2 2 2 10A A A A× × + = 1 4a = − 1d = 1 1 4S a= = − ，充分不成立. 必要条件的反例，例 ， ， ，必要不成立. 故选 D. 8.【答案】D 【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错 道题， 位“学习能手” 则最多做错 道题.而至少有 个“学习能手”做错的题目才能称之为“难 题”，所以难题最多 道.故选 D. 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.【答案】 【解析】 , 10.【答案】 【解析】即求 圆心到直线 的距离， 的圆心为 .距离为 . 2 1 2 7S a a= + = − nS n= 1 1n n nS S a−− = = 0d = 1 5 5 3 1 3 π 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac + −= = = 3B π∴ = 1 2 2 2 0x y x+ − = 1y = ( )2 21 1x y∴ − + = ( )1,0 1 11.【答案】 【解析】可行域如右图所示： 设 即 ， 当 过 时 ， 取 最 大 值 ， 所 以 . 12.【答案】 【解析】 该几何体如图所示： 可知 , 为等边三角形, 所以 ,所以四边形 的面积为 ,所以 . 6 2 +z x y= 2y z x= − 2y z x= − (2,2)B z 6z = 2 3+12 2AB AC BC= = = ABC 1 2 3 32ABCS = × × =  1 1ACC A 1 1 2 2 4ACC AS = × =  1 1 2 3 2 3 12ABC ACC AS S S= + = +  表 13.【答案】 ， ， （答案不唯一） 【解析】 设 ， ， , 则 ， ， 所 以 但 ，所以若 ，则 为假命题。 14.【答案】 ；①③④ 【解析】内接正 边形可拆解为 个等腰三角形，腰长为单位长度 ， 顶角为 .每个三角形的面积为 ，所以正 边形面积为 . ，①正确； 正 边形面积无法等于圆的面积，所以②不对； 随着 的值增大，正 边形面积也越来越大，所以③正确； 当且仅当 时，有 ，由几何图形可知其他情况下都有 ，所以④正确. (1,1)a = (1,2)b = (2,1)c = (1,1)a = (1,2)b = (2,1)c = 3⋅a b = 3⋅a c = ⋅ ⋅a b = a c ≠b c ⋅ ⋅a b = a c b = c 3 3 4 n n 1 2 n π 1 2sin2 n π n 2( ) sin2 nf n n π= 3 2 3 3 3 3(3) sin2 3 2 2 4= =f π= ⋅ n n n 3n = 2 (3) (6)f f= (2 ) 2 ( )f n f n< 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明，验算步骤或证 明. 15. 【解析】 (Ⅰ)由题意得： , (Ⅱ)当 时， 当 时,即 时, 取得最大值 . 当 时,即 时, 取得最小值 . 所以 在 上的最大值和最小值分别是 和 . ( ) sin 2 cos2 2 sin(2 )4f x x x x π= − = − 2 2T π π∴ = = 0, 2x π ∈   32 ,4 4 4x π π π − ∈ −   2 4 2x π π− = 3 8x π= ( )f x 2 2 4 4x π π− = − 0x = ( )f x 1− ( )f x 0, 2 π     2 1− 16. 【解析】 （Ⅰ）由图知有 9 名学生数学和语文成绩均低于 60 分,则从 100 名学 生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于 60 分的概率为 . （Ⅱ）由题可知, 的可能取值为 0,1,2 （Ⅲ） 0 1 2 9 100 ξ 2 6 2 10 15 1( 0) =45 3 CP C ξ = = = 1 1 6 4 2 10 24 8( 1) 45 15 C CP C ξ ⋅= = = = 2 4 2 10 6 2( 2) =45 15 CP C ξ = = = 1 8 2 4( ) 0 1 23 15 15 5E ξ = × + × + × = a b> ξ ( )P ξ 1 3 8 15 2 15 17.【解析】 （Ⅰ）由图 1 知 由图 2 知 重合于点 .则 面 面 面 ,又 面 （Ⅱ）由题知 为等边三角形 过 取 延长作 建立如图空间直角坐标系 则 易知面 的法向量为 设 与平面 夹角为 则 ,PD AD PC CB⊥ ⊥ ,C D O ,PO AO PO BO⊥ ⊥ AO BO O=  AO ⊂ AOB BO ⊂ AOB PO∴ ⊥ AOB AB ⊂ AOB PO AB∴ ⊥ 1OP = 2OA OB AB= = = ABO∆ O 1OF = OF AO⊥ ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 2,0,0 , 0,0,1 1, 3,0O A P B， ， POA ( )0,1,0OF = ( )1 3,1BP = − − ， BP POA θ 3 15sin cos , 51 5 OF BPOF BP OF BP θ ⋅ −= = = = ×⋅      直线 与平面 所成角正弦值为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知面 的法向量为 设面 法向量为 易知 为 中点 ， ， 即 令 则 则 由 图 知 二 面 角 为 锐 角 ， 二 面 角 为 ∴ BP POA 15 5 POA ( )0,1,0OF = EOA ( , , )m x y z= E PB 1 3 1( )2 2 2E∴ ， ， 1 3 1( )2 2 2OE = ， ， (2 0 0)OA = ，， 0 0 OE m OA m  ⋅ =∴ ⋅ =     3 02 2 2 2 0 x zy x  + + =  = 1y = − (0, 1, 3)m = − 1 1cos , 2 1 2 m OFm OF m OF ⋅ −= = = −×⋅      ∴ P AO E− − 3 π 18．【解析】（Ⅰ） ， ， 过 ， ， ， ， （Ⅱ）①当 斜率不存在时，设 ，则 ， ， ， 又 在椭圆上， ， 解得 ， ， ． ②当 斜率存在时，设 ，与椭圆联立，由 得 ， ，即 ， 设 ， ， 则 ， ， 3 2e = 3 2 c a ∴ =  ( )2,0 2a∴ = 3c = 2 2 2 1b a c= − = 2 2 14 x y∴ + = MN ( )0 0,M x y ( )0 0,N x y− 0 0 0 0 1 2 2 4AM AN y yk k x x −⋅ = ⋅ = −− − ( )22 0 0 1 24y x= − ( )0 0,M x y 2 20 0 14 x y∴ + = 0 0x = 0 1y = ± : 0MNl x∴ = MN :MNl y kx m= + 2 2 14 x y y kx m  + =  = + ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 0∆ > 2 24 1 0k m+ − > ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2 2 1 2 2 8 1 4 4 4 1 4 kmx x k mx x k  + = − + − = + ( )( ) 2 2 1 2 1 2 2 4 1 4 m ky y kx m kx m k −= + + = + ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4AM AN y y y yk k x x x x x x ⋅ = ⋅ =− − − + + ， ， ， 或 ， 当 时， ， 恒过 不符合①， 当 时， ， 结合①，恒过 ， 综上，直线 恒过 ． 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 4 4 11 4 4 4 16 4 16 4 16 16 4 1 4 1 4 1 4 m k m kk m km k m km k k k k − −+= = = −− + + ++ ++ + + 2 2 2 24 4 4m k m km k∴ − = − − − 2 2 0m km+ = 0m∴ = 2m k= − 2m k= − ( ): 2MNl y k x= − ( )2,0 0m = :MNl y kx= ( )0,0 MN ( )0,0 19. 【解析】 （Ⅰ） ，由题可得 ，即 ，故 （Ⅱ） ①当 时， 恒成立，符合题意。 ②当 时， 恒成立，则 在 上单调递增，当 时， ，不符合题意，舍去； ③当 时，令 ，解得 当 变化时， 和 变化情况如下 极小值 ，由题意可 ，即 ， 解得 。 综上所述， 的取值范围为 （Ⅲ）由题可知要证 的图像总在曲线 上方，即证 恒 成 立 ， 即 要 证 明 恒 成 立 ， 构 造 函 数 ( ) xf x e a′ = − (0) 0f ′ = 1 0a− = 1a = ( ) xf x e a′ = − 0a = ( ) 0xf x e= > 0a < ( ) 0f x′ > ( )f x R 1 1x a = − 1 11( 1) 1 0af ea −− = − < 0a > ( ) 0f x′ = lnx a= x ( )f x ( )f x′ x ( ,ln )a−∞ ln a (ln , )a +∞ ( )f x′ − 0 + ( )f x   min( ) (ln ) (ln 1)f x f a a a a= = − + min( ) 0f x ≥ ln 0a a− ≥ 0 1a< ≤ a [0,1] ( )f x 2 lny x= + 2 lnxe x> + ln 2xe x− > ( ) lnxg x e x= − ，令 ，故 ，则 在 单调递增，则 单调递增.因为 ， ， 由零点存在性定理可知， 在 存在唯一零点，设该零点 为 ， 令 ，即 ，且 当 变化时， 和 变化情况如下 极小值 则 ， 因 为 ， 所 以 ， 所 以 ，当且仅当 时取等，因为 ，故 ，即 恒成立，曲线 总在曲线 的 上 方 . 1( ) xg x e x ′ = − 1( ) xh x e x = − 2 1( ) 0xh x e x ′ = + > ( )h x (0, )+∞ '( )g x (1) 1 0g e′ = − > 1 21( ) 2 02g e′ = − < ( )g x′ (0, )+∞ 0x ( ) 0g x′ = 0 0 1xe x = 0 1( ,1)2x ∈ x ( )g x ( )g x′ x 0(0, )x 0x 0( , )x +∞ ( )g x′ − 0 + ( )g x   0 0 0( ) ( ) lnxg x g x e x≥ = − 0 0 1xe x = 0 0ln x x= − 0 0 0 1( ) ( ) 2g x g x xx ≥ = + ≥ 0 1x = 0 1( ,1)2x ∈ 0( ) ( ) 2g x g x≥ > ln 2xe x− > ( )( 0)y f x x= > 2 lny x= + 20.【解析】 （Ⅰ） （Ⅱ）若 共 个数, ，共 个数， ， 所以 为偶数. （Ⅲ）设整数 ，且 ， 可取 . 当 时，设 . 此时 ， 不能同时取到，所以无解. 当 时, 设 ,则 ， ， ，由题 所以设 ，当 时， .所以无解. 时， 中至少三组数据分别为 ， 与 矛盾，不成立. 同理当 时,无解，所以不存在“ 阶 表”. 1 1 0 -1 1 1,n nr r c c⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 2n ,n n Zλ λ− ≤ ≤ ∈ 2 1n + 1 2 1 2+ + = +n nr r r c c c+⋅⋅⋅ +⋅⋅⋅+ 1 2 1 2 1 2+ + + + =2( + + )=0-n n nr r r c c c r r r λ+⋅⋅⋅ +⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅ λ [ 5,5]λ ∈ − 5Hλ ∉ λ 4 2 0± ±， ， 4λ ≠ ± 1 2 3 45, 5, 4, 4r r r r= = − = = − 2 2jc− ≤ ≤ 3± 4λ = − 1 2 35, 5, 4r r r= = − = 1 2 3 4 5 4 5 1 2 3+ + + + +r +r ( +r +r ) 4c c c c c r+ = 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4+ + + + = +r +r +r +r =22c c c c c r = 4 5r +r 2= − 2jc ≥ − 4 53 1r r= − =， 4 1 1 1 0 0r = − − − + + 2jc ≠ 4 1 1 1 1 1r = − − − − + 1 2 3 4 5, , , ,c c c c c 0, 1,1− 5 1r = 4λ = 5 H