命题角度5-1 曲线与轨迹问题（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

命题角度5-1 曲线与轨迹问题（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度1：曲线与轨迹问题 ‎1. 已知两点的坐标为，点到两点的距离比是一个常数，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.‎ ‎【答案】轨迹方程是：，表示以为圆心，以为半径的圆 ‎【解析】‎ 设出动点坐标为，把已知条件用坐标表示出来并化简，即得轨迹方程，并判断轨迹是什么图形．‎ ‎【点睛】求轨迹方程的常用方法：‎ ‎（1）直接法：把题设条件直接“翻译”成含的等式，就得曲线的轨迹方程．要注意“翻译”时的等价性．‎ ‎（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如直线、圆的定义），可从定义出发直接写出轨迹方程或从定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．解题时注意利用转化思想，对已知条件有效过渡后，再联系相关的定义．‎ ‎（3）相关点法：相关点法的判定主要看题中是否具备两个条件：①主动点和从动点；②主动点在已知曲线上运动（或主动点轨迹易求），一般步骤是设主动点坐标为，所求点（从动点）坐标为，再找到两者之间的关系，用表示出，最后把代入已知轨迹 方程，得到的关系式，即所求轨迹方程，注意化简时的等价性．‎ ‎2.已知圆C： 为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为M.若点P运动到（1,3）处，求此时切线；求满足条件的点P的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1) 或；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线方程；‎ ‎（2）设出P点的坐标，代入两点间距离公式，化简即可得轨迹方程.‎ ‎（2）设,则，‎ ‎，由得： ，‎ 化简得： ‎ ‎ 点睛：本题主要考查直线与圆相切，点斜式求直线方程，分类讨论，轨迹方程的求法等，属于中档题.注意解决本类问题时，要使用直线和圆相切的性质，设直线时注意分类讨论，分析斜率存在与不存在两种情形，严防漏解，求轨迹方程时一般先设出动点坐标，再根据条件建立关于的关系，化简即可求出轨迹方程.‎ ‎3. 如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．‎ ‎（1）求对角线所在直线的方程；‎ ‎（2）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知两点坐标可以采用两点式求出直线方程。（2）要求外接圆方程先求出圆心坐标，给出中点坐标就可以了，然后用两点之间的距离公式求半径（3）设点坐标，用未知的点坐标表示已知的点坐标，然后代入原圆的方程化简即可。‎ ‎（3）设P点坐标，线段PN中点M坐标为（x，y），则，‎ ‎∴①∵为外接圆上一点 ∴ 将①代入整理得： ，‎ ‎∴该轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆，轨迹方程为。 ‎ 点睛：求轨迹方程的一般方法：定义法，如果动点的运动规律符合某种曲线定义，可先设直线方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。当然还有参数法，代入法等。‎ ‎4. 如图,设P是圆上的动点,点D是P在x轴上的投影，M为线段PD上一点,且，‎ ‎ (1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程； ‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被轨迹C所截线段的长度.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且，利用相关点法即可求轨迹；（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度 试题解析：（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）‎ 由已知xp=x, ‎ ‎∵P在圆上， ∴，即C的方程为 ‎（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与C的交点为 将直线方程代入C的方程，得 即 ‎∴∴线段AB的长度为 考点：1．轨迹方程； 2．直线与圆相交的性质 ‎5.已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）是曲线上两点，且， 为坐标原点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）面积的最大值为1.‎ 试题解析：（I）设，‎ 由伸缩变换得： ，即曲线E的方程为. ‎ ‎（II）设， ，直线方程为： ，‎ 联立得，故，‎ 由 ，得，‎ 故原点到直线的距离，∴，‎ 令，则，又，‎ 当.‎ 当斜率不存在时， 不存在，综合上述可得面积的最大值为1.‎ 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎ ‎6.已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点， 为坐标原点，过点作的平行线交曲线于、两个不同的点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）的面积的最大值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由所给两圆的位置关系及图像，知动圆与圆内切，再由两圆内切时半径与圆心距的关系可得，则，满足椭圆的定义，可知点轨迹方程为椭圆，再由椭圆定义可求得各椭圆方程各系数值；（2）可设直线的方程，及， ， 将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系与弦长公式可求得长度，再求出点到直线．利用函数性质可求得面积最大值．‎ 试题解析：（1）设圆的半径为，圆心的坐标为，‎ 由于动圆与圆只能内切 所以 则，‎ 所以圆心的轨迹是以点， 为焦点的椭圆.‎ 且，则.‎ 所以曲线的方程为.‎ ‎（2）设， ， ，直线的方程为，‎ 由可得，‎ 则， .‎ 所以 ‎ ‎ ‎ .‎ 因为，所以的面积等于的面积.‎ 点到直线 的距离.‎ 所以的面积 ‎ .‎ 令，则， .‎ 设，则，‎ 因为，所以.‎ 所以在上单调递增.‎ 所以当时， 取得最小值，其值为9.‎ 所以的面积的最大值为.‎ 说明： 的面积 .‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.‎ ‎7. 已知椭圆： 过点，点， 是椭圆上异于长轴端点的两个点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）已知直线： ，且，垂足为， ，垂足为，若且，求中点的轨迹方程．‎ ‎【答案】(1) ;(2) 点的轨迹方程为（）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意， ，解得，‎ 故椭圆的方程为，则其离心率为．‎ ‎（2）设直线与轴相交于点， ， ，‎ 由于，即，且，‎ 得， （舍去）或，‎ 即直线经过点，设， ， 的中点，‎ ‎①直线垂直于轴时，则的重担为；‎ ‎②直线与轴不垂直时，设的方程为，则 整理得，‎ ‎， ， ，‎ 消去，整理得（）．经检验，点也满足此方程．‎ 综上所述，点的轨迹方程为（）．‎ ‎8.已知抛物线的方程为： ，过点的一条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线的斜率存在，取为，取直线的斜率为，请验证是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）-2为定值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设，代入，‎ 整理得： ，方程①的判别式，故时均满足题目要求．‎ 记交点坐标为，则为方程①的两根，‎ 故由韦达定理可知， ．‎ 将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为，‎ 整理得，‎ 同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点，‎ 联立两条切线的方程，解得点坐标为，‎ 故点P的轨迹方程为， ‎ ‎（Ⅱ）当时， ，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为．‎ 当时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为，‎ 为定值．‎ ‎9.已知抛物线，过动点作抛物线的两条切线，切点分别为，且.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）试问直线是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线恒过定点．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意可得点P的轨迹方程为y=-1；‎ ‎(2)由直线方程可知直线恒过定点.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）设，则直线： ，代入抛物线方程：‎ ‎，因为直线与抛物线相切，所以，‎ 同理，‎ 所以， 分别为方程： 的两个不同的实根，‎ ‎，所以，所以点的轨迹方程．‎ ‎10.已知双曲线的左右两个顶点是， ，曲线上的动点关于轴对称，直线 与交于点，‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】【试题分析】（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式分析求解：‎ ‎（1）由已知 ，设 ‎ 则直线 ，‎ 直线，‎ 两式相乘得，化简得，‎ 即动点的轨迹的方程为；‎ ‎（2）过的直线若斜率不存在则或3，‎ 设直线斜率存在， ‎ ‎，‎ 则 ‎ 由（2）（4）解得代入（3）式得 ，‎ 化简得 ，‎ 由（1）解得代入上式右端得，‎ ‎ ,‎ 解得,‎ 综上实数的取值范围是 .‎