2019年高考数学高分突破复习课件专题四 第2讲

2019年高考数学高分突破复习课件专题四 第2讲

第 2 讲　概率、随机变量及其分布列 高考定位　 1. 计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度； 2. 概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的 “ 热点 ” ，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望等 . 1. (2018· 全国 Ⅱ 卷 ) 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 . 哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和 ” ，如 30 ＝ 7 ＋ 23. 在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 ( 　　 ) 答案 　 C 真 题 感 悟 2. (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 . 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB ， AC . △ ABC 的三边所围成的区域记为 Ⅰ ，黑色部分记为 Ⅱ ，其余部分记为 Ⅲ . 在整个图形中随机取一点，此点取自 Ⅰ ， Ⅱ ， Ⅲ 的概率分别记为 p 1 ， p 2 ， p 3 ，则 ( 　　 ) A. p 1 ＝ p 2 B. p 1 ＝ p 3 C. p 2 ＝ p 3 D. p 1 ＝ p 2 ＋ p 3 答案 　 A 3. (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品 . 检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 . 设每件产品为不合格品的概率都为 p (0< p <1) ，且各件产品是否为不合格品相互独立 . ( 1) 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p ) ，求 f ( p ) 的最大值点 p 0 ； ( 2) 现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以 (1) 中确定的 p 0 作为 p 的值 . 已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 . ( ⅰ ) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ，求 E ( X ) ； ( ⅱ ) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 令 f ′( p ) ＝ 0 ，得 p ＝ 0.1. 当 p ∈ (0 ， 0.1) 时， f ′( p )>0 ， f ( p ) 单调递增 ；当 p ∈ (0.1 ， 1) 时， f ′( p )<0 ， f ( p ) 单调递减 . 所以 f ( p ) 的最大值点为 p 0 ＝ 0.1. (2) 由 (1) 知， p ＝ 0.1. ( ⅰ ) 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y ～ B (180 ， 0.1) ， X ＝ 20×2 ＋ 25 Y ，即 X ＝ 40 ＋ 25 Y . 所以 E ( X ) ＝ E (40 ＋ 25 Y ) ＝ 40 ＋ 25 E ( Y ) ＝ 40 ＋ 25×180×0.1 ＝ 490. ( ⅱ ) 如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元 . 由于 E ( X )>400 ，故应该对余下的产品作检验 . 1. 概率模型公式及相关结论 考 点 整 合 3. 超几何分布 4. 离散型随机变量的均值、方差 ( 1) 离散型随机变量 ξ 的分布列为 离散型随机变量 ξ 的分布列具有两个性质： ① p i ≥ 0 ； ② p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p i ＋ … ＋ p n ＝ 1( i ＝ 1 ， 2 ， 3 ， … ， n ). ξ x 1 x 2 x 3 … x i … n P p 1 p 2 p 3 … p i … p n (2) E ( ξ ) ＝ x 1 p 1 ＋ x 2 p 2 ＋ … ＋ x i p i ＋ … ＋ x n p n 为随机变量 ξ 的数学期望或均值 . D ( ξ ) ＝ ( x 1 － E ( ξ )) 2 · p 1 ＋ ( x 2 － E ( ξ )) 2 · p 2 ＋ … ＋ ( x i － E ( ξ )) 2 · p i ＋ … ＋ ( x n － E ( ξ )) 2 · p n 叫做随机变量 ξ 的方差 . (3) 数学期望、方差的性质 . ① E ( aξ ＋ b ) ＝ aE ( ξ ) ＋ b ， D ( aξ ＋ b ) ＝ a 2 D ( ξ ). ② X ～ B ( n ， p ) ，则 E ( X ) ＝ np ， D ( X ) ＝ np (1 － p ). ③ X 服从两点分布，则 E ( X ) ＝ p ， D ( X ) ＝ p (1 － p ). 热点一　古典概型与几何概型 【例 1 】 (1) (2018· 太原二模 ) 某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数，则中奖；否则不中奖 . 则中奖的概率为 ( 　　 ) 探究提高　 1. 求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数 . 常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏 . 2. 计算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 . 解析　 (1) 如图所示，画出时间轴： 答案 　 (1)B 　 (2)C 热点二　互斥事件、相互独立事件的概率 考法 1 　互斥条件、条件概率 【例 2 － 1 】 (2016· 全国 Ⅱ 卷选编 ) 某险种的基本保费为 a ( 单位：元 ) ，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 保费 0.85 a a 1.25 a 1.5 a 1.75 a 2 a 一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥ 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60% 的概率 . 解 　 (1) 设 A 表示事件： “ 一续保人本年度的保费高于基本保费 ” ，则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 ，故 P ( A ) ＝ 0.20 ＋ 0.20 ＋ 0.10 ＋ 0.05 ＝ 0.55. (2) 设 B 表示事件： “ 一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%” ，则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3 ，故 P ( B ) ＝ 0.10 ＋ 0.05 ＝ 0.15. 考法 2 　相互独立事件与独立重复试验的概率 【例 2 － 2 】 (2018· 衡水中学调研 ) 多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司 . 若规定每家央企只能在雄县、容城、安新 3 个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司 . 向雄安新区申请建立分公司的任意 4 家央企中， ( 1) 求恰有 2 家央企申请在 “ 雄县 ” 片区建立分公司的概率； ( 2) 用 X 表示这 4 家央企中在 “ 雄县 ” 片区建立分公司的个数，用 Y 表示在 “ 容城 ” 或 “ 安新 ” 片区建立分公司的个数，记 ξ ＝ | X － Y | ，求 ξ 的分布列 . 随机变量 ξ 的所有可能取值为 0 ， 2 ， 4. 所以随机变量 ξ 的分布列为 【训练 2 】 (2018· 天津卷 ) 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24 ， 16 ， 16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 . ( 1) 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ ( 2) 若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足， 3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查 . ① 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； ② 设 A 为事件 “ 抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工 ” ，求事件 A 发生的概率 . 解 　 (1) 由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 ∶ 2 ∶ 2 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人， 2 人， 2 人 . (2) ① 随机变量 X 的所有可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. 所以，随机变量 X 的分布列为 ② 设事件 B 为 “ 抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人 ” ；事件 C 为 “ 抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人 ” ，则 A ＝ B ∪ C ，且 B 与 C 互斥 . 由 ① 知， P ( B ) ＝ P ( X ＝ 2) ， P ( C ) ＝ P ( X ＝ 1) ， 热点三　随机变量的分布列、均值与方差 考法 1 　超几何分布 【例 3 － 1 】 (2018· 西安调研 ) 4 月 23 日是 “ 世界读书日 ” ，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动 . 为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取 10 名学生参加问卷调查 . 各组人数统计如下： (1) 从参加问卷调查的 10 名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率； (2) 在参加问卷调查的 10 名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用 X 表示抽得甲组学生的人数，求 X 的分布列和数学期望 . 小组 甲 乙 丙 丁 人数 9 12 6 3 解　 (1) 由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为 3 ， 4 ， 2 ， 1 ， (2) 由 (1) 知，在参加问卷调查的 10 名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为 3 ， 2. X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2. 则随机变量 X 的分布列为 【训练 3 】 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 . 现有 6 名男志愿者 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 ， A 5 ， A 6 和 4 名女志愿者 B 1 ， B 2 ， B 3 ， B 4 ，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 . ( 1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但不包含 B 1 的概率； ( 2) 用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 E ( X ). 解 　 (1) 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但不包含 B 1 的事件为 M ， (2) 由题意知 X 可取的值为： 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，则 因此 X 的分布列为 考法 2 　与独立重复试验有关的分布列 【例 3 － 2 】 (2018· 潍坊一模 ) 某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测 . 现从该生产线上随机抽取 100 件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数 μ ＝ 14 ，标准差 σ ＝ 2 ，绘制如图所示的频率分布直方图 . 以频率值作为概率估计值 . (1) 从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为 X ，依据以下不等式评判 ( P 表示对应事件的概率 ) ： ① P ( μ － σ < X < μ ＋ σ ) ≥ 0.682 6 ； ② P ( μ － 2 σ < X < μ ＋ 2 σ ) ≥ 0.954 4 ； ③ P ( μ － 3 σ < X < μ ＋ 3 σ ) ≥ 0.997 4. 评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修； (2) 将数据不在 ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ) 内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取 2 件，次品数记为 Y ，求 Y 的分布列与数学期望 E ( Y ). 解　 (1) 由题意知， μ ＝ 14 ， σ ＝ 2 ， 由 频率分布直方图得 P ( μ － σ < X < μ ＋ σ ) ＝ P (12< X <16) ＝ (0.29 ＋ 0.11)×2 ＝ 0.8>0.682 6 ， P ( μ － 2 σ < X < μ ＋ 2 σ ) ＝ P (10< X <18) ＝ 0.8 ＋ (0.04 ＋ 0.03)×2 ＝ 0.94<0.954 4 ， P ( μ － 3 σ < X < μ ＋ 3 σ ) ＝ P (8< X <20) ＝ 0.94 ＋ (0.015 ＋ 0.005)×2 ＝ 0.98<0.997 4 ， 所以不满足至少两个不等式成立，故该生产线需检修 . ∴ Y 的分布列为 【训练 4 】 (2018· 湖南六校联考 ) 为响应国家 “ 精准扶贫，产业扶贫 ” 战略的号召，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的 A 县推进光伏发电项目 . 在该县山区居民中随机抽取 50 户，统计其年用电量得以下统计表 . 以样本的频率作为概率 . (1) 在该县山区居民中随机抽取 10 户，记其中年用电量不超过 600 度的户数为 X ，求 X 的数学期望； (2) 已知该县某山区自然村有居民 300 户 . 若计划在该村安装总装机容量为 300 千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以 0.8 元 / 度的价格进行收购 . 经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电 1 000 度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元 . 用电量 ( 单位：度 ) (0 ， 200] (200 ， 400] (400 ， 600] (600 ， 800] (800 ， 1 000] 户数 5 15 10 15 5 则该自然村年均用电约 150 000 度 . 又该村所装发电机组年预计发电量为 300 000 度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约 150 000 度，能为该村创造直接收益 120 000 元 . 2×2 列联表： (2) 现采用分层抽样的方法从这 200 名顾客中按照 “ 使用手机支付 ” 和 “ 不使用手机支付 ” 抽取一个容量为 10 的样本，再从中随机抽取 3 人，求这三人中 “ 使用手机支付 ” 的人数的分布列及期望 .   青年 中老年 合计 使用手机 支付     120   不使用手机 支付   48     合计     200   则使用手机支付的人群中的中老年的人数为 120 － 84 ＝ 36 人，所以 2×2 列联表为 P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.05 0.025 0.010 0.005 k 0 3.841 5.024 6.635 7.879   青年 中老年 合计 使用手机支付 84 36 120 不使用手机支付 32 48 80 合计 116 84 200 ∵ 17.734>7.879 ， P ( K 2 ≥ 7.879) ＝ 0.005 ， 故有 99.5% 的把握认为 “ 市场购物用手机支付与年龄有关 ”. (2) 根据分层抽样原理，从这 200 名顾客中抽取 10 人， “ 不使用手机支付 ” 的人数为 4. 设随机抽取的 3 人中 “ 使用手机支付 ” 的人数为随机变量 X . 则 X ＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3. 所求随机变量 X 的概率分布为 探究提高 　 1. 本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力 . 此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成 . 2. 联系高中生使用手机这一生活现象，利用数学中列联表、独立性检验，予以研究二者的相关性，考查了相互独立事件同时发生、分布列 . 题目主旨，引导学生正确对待使用手机，切勿玩物丧志，并倡导互帮互助的学习风气 . 【训练 5 】 (2018· 哈尔滨二模 ) 某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1 ， 2 ， … ， 8 ，其中 X ≥ 5 为标准 A ， X ≥ 3 为标准 B. 已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元 / 件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元 / 件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 . ( 1) 已知甲厂产品的等级系数 X 1 的概率分布列如下所示： 且 X 1 的数学期望 E ( X 1 ) ＝ 6 ，求 a ， b 的值； X 1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 (2) 为分析乙厂产品的等级系数 X 2 ，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下 ： 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X 2 的数学期望； (3) 在 (1) 、 (2) 的条件下，若以 “ 性价比 ” 为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由 . 解 　 (1) 因为 E ( X 1 ) ＝ 6 ，所以 5×0.4 ＋ 6 a ＋ 7 b ＋ 8×0.1 ＝ 6 ， 即 6 a ＋ 7 b ＝ 3.2 ，又由 X 1 的概率分布列得 0.4 ＋ a ＋ b ＋ 0.1 ＝ 1 ，即 a ＋ b ＝ 0.5 ， (2) 由已知得，样本的频率分布表如下： 等级系数 X 2 3 4 5 6 7 8 样本频率 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X 2 的概率分布列如下： X 2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以 E ( X 2 ) ＝ 3×0.3 ＋ 4×0.2 ＋ 5×0.2 ＋ 6×0.1 ＋ 7×0.1 ＋ 8×0.1 ＝ 4.8 ， 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (3) 乙厂的产品更具可购买性，理由如下： 所以乙厂的产品更具可购买性 . 2. 相互独立事件与互斥事件的区别 相互 独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ). 互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P ( A ∪ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ).