西藏山南二中2020届高三第一次模拟数学（理）试题

西藏山南二中2020届高三第一次模拟数学（理）试题

‎2020年高考（理科）数学一模试卷 一、选择题（共12小题）.‎ ‎1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎2．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎3．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．已知等差数列{an}中，a4+a6＝8，则a3+a4+a5+a6+a7＝（　　）‎ A．10 B．‎16 ‎C．20 D．24‎ ‎5．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x上的所有的点（　　）‎ A．向左平行移动个单位长度 ‎ B．向右平行移动个单位长度 ‎ C．向左平行移动个单位长度 ‎ D．向右平行移动单位长度 ‎6．已知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，设a＝f（﹣），b＝f（3），c＝f（0），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜d C．b＜c＜a D．a＜b＜c ‎7．若实数x，y满足条件，目标函数z＝2x﹣y，则z的最大值为（　　）‎ A． B．‎1 ‎C．2 D．0‎ ‎8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．1‎ ‎9．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k（k∈N+）时命题成立，那么可推得当n＝k+1时命题也成立． 现已知当n＝7时该命题不成立，那么可推得（　　）‎ A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 ‎ C．当n＝8时该命题不成立 D．当n＝8时该命题成立 ‎10．根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（　　）‎ A．1 B．e C．e﹣1 D．e﹣2‎ ‎11．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立，则a的最小值为（　　）‎ A．﹣ B．‎0 ‎C．﹣2 D．﹣3‎ 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是　 　．‎ ‎14．已知向量，，若，则实数m＝　 　．‎ ‎15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取　 　人．‎ ‎16．已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为　 　‎ 三．解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．‎ ‎17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosB＝acosC+ccosA．‎ ‎（1）求∠B的大小；‎ ‎（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）求三棱锥B﹣EFC的体积；‎ ‎（3）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．‎ ‎19．“绿水青山就是金山银山”‎ ‎，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．‎ ‎（Ⅰ）设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）用X表示抽取的4人中B组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望．‎ ‎20．已知函数f（x）＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3；‎ ‎（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极小值及单调区间．‎ ‎21．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P（，0），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|+|PB|的值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．‎ ‎（1）已知关于x的不等式f（x）＜a有实数解，求a的取值范围；‎ ‎（2）求不等式f（x）≥x2﹣2x的解集．‎ 参考答案 一．单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎【分析】直接由并集运算得答案．‎ 解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，‎ ‎∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}∪{x|x＞1}＝（﹣1，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎2．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【分析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．‎ 解：化简可得z＝‎ ‎＝＝1+i，‎ ‎∴z的共轭复数＝1﹣i 故选：B．‎ ‎3．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答时可以就选项逐一排查．对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可获得解答；对B满足函数定义，故可知结果；对C出现了一对多的情况，从而可以否定；对D值域当中有的元素没有原象，故可否定．‎ 解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；‎ 对B满足函数定义，故符合；‎ 对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；‎ 对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．‎ 故选：B．‎ ‎4．已知等差数列{an}中，a4+a6＝8，则a3+a4+a5+a6+a7＝（　　）‎ A．10 B．‎16 ‎C．20 D．24‎ ‎【分析】由等差数列的性质可得a3+a7＝a4+a6＝‎2a5＝8，计算即可得到所求和．‎ 解：等差数列{an}中，a4+a6＝8，‎ 可得a3+a7＝a4+a6＝‎2a5＝8，‎ 可得a5＝4，‎ 则则a3+a4+a5+a6+a7＝8+8+4＝20．‎ 故选：C．‎ ‎5．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x上的所有的点（　　）‎ A．向左平行移动个单位长度 ‎ B．向右平行移动个单位长度 ‎ C．向左平行移动个单位长度 ‎ D．向右平行移动单位长度 ‎【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．‎ 解：∵y＝sin（2x﹣）＝，‎ ‎∴要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x上的所有的点向右平移个单位．‎ 故选：D．‎ ‎6．已知函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，设a＝f（﹣），b＝f（3），c＝f（0），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜b＜d C．b＜c＜a D．a＜b＜c ‎【分析】先根据函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，确定当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递增，再结合函数的单调性，即可得到结论．‎ 解：∵函数f（x+1）是偶函数，当x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递减，‎ ‎∴当x∈（﹣∞，1）时，函数f（x）单调递增，‎ ‎∵b＝f（3）＝f（﹣1），﹣1＜﹣＜0＜1‎ ‎∴f（﹣1）＜f（）＜f（0）‎ ‎∴f（3）＜f（）＜f（0）‎ ‎∴b＜a＜c 故选：A．‎ ‎7．若实数x，y满足条件，目标函数z＝2x﹣y，则z的最大值为（　　）‎ A． B．‎1 ‎C．2 D．0‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝2x﹣y过点（，1）时，z最大值即可．‎ 解：先根据实数x，y满足条件，画出可行域如图，‎ 做出基准线0＝2x﹣y，‎ 由图知，当直线z＝2x﹣y过点A（，1）时，z最大值为2．‎ 故选：C．‎ ‎8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．1‎ ‎【分析】根据实际问题可以转化为等比数列问题：在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，，求m，利用等比数列性质直接．‎ 解：根据实际问题可以转化为等比数列问题，‎ 在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，‎ ‎，‎ ‎∵S5＝＝5，解得，‎ ‎∴＝，‎ 解得m＝3．‎ 故选：B．‎ ‎9．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k（k∈N+）时命题成立，那么可推得当n＝k+1时命题也成立． 现已知当n＝7时该命题不成立，那么可推得（　　）‎ A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 ‎ C．当n＝8时该命题不成立 D．当n＝8时该命题成立 ‎【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n＝k成立，则它对n＝k+1也成立，由此类推，对n＞k 的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n＝k不成立时，则它对n＝k﹣1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．‎ 解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，‎ P（n）对n＝7不成立，P（n）对n＝6也不成立，‎ 否则n＝6时，由由已知推得n＝7也成立．‎ 与当n＝7时该命题不成立矛盾 故选：A．‎ ‎10．根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（　　）‎ A．1 B．e C．e﹣1 D．e﹣2‎ ‎【分析】模拟算法的运行过程，即可得出程序运行后输出y的值．‎ 解：模拟算法的运行过程，如下；‎ 输入x＝3，计算x＝3﹣2＝1，x≥0；‎ 执行循环，计算x＝1﹣2＝﹣1，x＜0；‎ 终止循环，计算y＝e﹣1，‎ 所以该程序运行后输出y＝e﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎11．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用双曲线上的点在双曲线上求解b，然后求解双曲线的离心率即可．‎ 解：点在双曲线上，‎ 可得，可得b＝3，又a＝，所以c＝10，‎ 双曲线的离心率为：e＝＝．‎ 故选：C．‎ ‎12．若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立，则a的最小值为（　　）‎ A．﹣ B．‎0 ‎C．﹣2 D．﹣3‎ ‎【分析】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立⇔a≥，x∈（0，]．令f（x）＝，‎ x∈（0，]．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．‎ 解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立⇔a≥，x∈（0，]．‎ 令f（x）＝，x∈（0，]．‎ ‎＝＞0，‎ ‎∴函数f（x）在x∈（0，]上单调递增，‎ ‎∴当x＝时，函数f（x）取得最大值，＝．‎ ‎∴a的最小值为﹣．‎ 故选：A．‎ 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是　8　．‎ ‎【分析】根据x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2，利用基本不等式求得它的最小值．‎ 解：x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2≥4+2＝8，‎ 当且仅当 ＝时，等号成立，‎ 故 x+2y的最小值为 8，‎ 故答案为：8．‎ ‎14．已知向量，，若，则实数m＝　﹣2　．‎ ‎【分析】可求出，根据即可得出‎4m+2（2﹣m）＝0，解出m即可．‎ 解：；‎ ‎∵；‎ ‎∴‎4m+2（2﹣m）＝0；‎ ‎∴m＝﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取　300　人．‎ ‎【分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，求得结果．‎ 解：高三学生占的比例为 ＝，‎ 则应从高三年级学生中抽取的人数为 720×＝300，‎ 故答案为：300．‎ ‎16．已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为　2ex﹣y＝0　‎ ‎【分析】设切点为（m，n），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得m，n，进而得到所求切线方程．‎ 解：设切点为（m，n），‎ 函数f（x）＝e2x的导数为f′（x）＝2e2x，‎ 可得切线的斜率为2e‎2m，‎ 由切线过原点，可得＝＝2e‎2m，‎ 解得m＝，n＝e，‎ 则切线方程为y＝2ex．‎ 故答案为：2ex﹣y＝0．‎ 三．解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．‎ ‎17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosB＝acosC+ccosA．‎ ‎（1）求∠B的大小；‎ ‎（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB＝sinB，结合sinB≠0，可求cosB的值，进而可求B的值．‎ ‎（2）由余弦定理，基本不等式可得：ac≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值．‎ 解：（1）∵2bcosB＝acosC+ccosA，‎ ‎∴可得：2sinBcosB＝sinAcosC+sinCcosA＝sinB，‎ ‎∵sinB≠0，‎ ‎∴cosB＝，‎ ‎∴由B∈（0，π），B＝．‎ ‎（2）∵b＝2，B＝，‎ ‎∴由余弦定理可得ac＝a2+c2﹣4，‎ ‎∴由基本不等式可得ac＝a2+c2﹣4≥‎2ac﹣4，可得：ac≤4，当且仅当a＝c时，“＝”成立，‎ ‎∴从而S△ABC＝acsinB≤×4×＝．故△ABC面积的最大值为．‎ ‎18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）求三棱锥B﹣EFC的体积；‎ ‎（3）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．‎ ‎【分析】（1）取PD中点G，连结GF、AG，由三角形中位线定理可得GF∥CD且，再由已知可得AE∥CD且，从而得到EFGA是平行四边形，则EF∥AG，然后利用线面平行的判定可得EF∥面PAD；‎ ‎（2）取AD中点O，连结PO，由面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD，且，求出F到面ABCD距离，然后利用等积法求得三棱锥B﹣EFC的体积；‎ ‎（3）连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，得到OM⊥EC．进一步证得PM⊥EC，可得∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P﹣EC﹣D的正切值．‎ ‎【解答】（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，‎ ‎∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，‎ 又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF＝AE，‎ ‎∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，‎ 又EF⊄面PAD，AG⊂面PAD，‎ ‎∴EF∥面PAD；‎ ‎（2）解：取AD中点O，连结PO，‎ ‎∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，‎ 又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，‎ 故；‎ ‎（3）解：连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，‎ ‎∴∠MEB＝∠AOB，则∠MEB+∠MBE＝90°，即OM⊥EC．‎ 连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，‎ 即∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，‎ 在Rt△EBC中，，∴，‎ ‎∴，即二面角P﹣EC﹣D的正切值为．‎ ‎19．“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，现要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．‎ ‎（Ⅰ）设事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件A发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）用X表示抽取的4人中B组女生的人数，求随机变量X的分布列和期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）基本事件总数n＝，事件A包含的基本事件个数m＝，由此能求出事件A发生的概率．‎ ‎（Ⅱ）X可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．‎ 甲组一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙组一共有5人，其中男生2人，女生3人，‎ 要从这9人的两个兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛，‎ 基本事件总数n＝，‎ 事件A为“选出的这4个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，‎ 则事件A包含的基本事件个数m＝，‎ ‎∴事件A发生的概率………（列式，结果1分）‎ ‎（Ⅱ）X可能取值为0，1，2，3………‎ ‎………（列式（1分），结果1分）‎ ‎………（列式（1分），结果1分）‎ ‎………（列式（1分），结果1分）‎ ‎………（列式（1分），结果1分）‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎………（列式（1分），结果1分）‎ ‎（本题得数不约分不扣分）‎ ‎20．已知函数f（x）＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3；‎ ‎（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极小值及单调区间．‎ ‎【分析】（1）由题意得到关于实数a，b的方程组，求解方程组即可求得函数的解析式；‎ ‎（2）结合（1）中函数的解析式求解导函数，利用导函数与原函数的性质求解最值和单调区间即可．‎ 解：（1）f′（x）＝3ax2+2bx，‎ 当x＝1时，，‎ 据此解得a＝﹣6，b＝9，‎ ‎∴函数解析式为：y＝﹣6x3+9x2．‎ ‎（2）由（1）知f（x）＝﹣6x3+9x2，‎ f′（x）＝﹣18x2+18x＝﹣18x（x﹣1），令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1或x＜0，‎ ‎∴当x＝0时函数取得极小值为0，‎ 函数的单调增区间为：（0，1），‎ 单调减区间为：（﹣∞，0）和（1，+∞）．‎ ‎21．已知点M（﹣1，0），N（1，0）若点P（x，y）满足|PM|+|PN|＝4．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）判断P的轨迹是椭圆，然后求解求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程消去x，利用韦达定理结合三角形的面积，经验换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程．‎ 解：（Ⅰ）由定义法可得，P点的轨迹为椭圆且‎2a＝4，c＝1．所以b＝，‎ 因此椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立直线与椭圆的方程消去x，‎ 可得，即，．‎ ‎△AOB面积可表示为 ‎＝‎ 令，则u≥1，上式可化为，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 因此△AOB面积的最大值为，此时直线l的方程为．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P（，0），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|+|PB|的值．‎ ‎【分析】（1）由代入法可得直线l的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得t的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．‎ 解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 消去t，可得2x﹣2y﹣1＝0；‎ 曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．‎ 由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，‎ 可得x2+y2＝2x，即曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；‎ ‎（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入C的方程（x﹣1）2+y2＝1，‎ 可得t2﹣t﹣＝0，△＝+3＞0，‎ 设t1，t2是点A，B对应的参数值，‎ t1+t2＝，t1t2＝﹣，则|PA|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝＝．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．‎ ‎（1）已知关于x的不等式f（x）＜a有实数解，求a的取值范围；‎ ‎（2）求不等式f（x）≥x2﹣2x的解集．‎ ‎【分析】（1）根据绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后由f（x）＜a有实数解可知a＞f（x）min，从而求出a的范围；‎ ‎（2）将f（x）去绝对值写成分段函数的形式，根据f（x）≥x2﹣2x 分别解不等可得不等式的解集．‎ 解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，‎ 当且仅当（x+1）（x﹣2）≤0，即﹣1≤x≤2时取等号，‎ ‎∴f（x）min＝3，‎ ‎∵不等式f（x）＜a有实数解，‎ ‎∴a＞f（x）min＝3，‎ ‎∴a的取值范围为（3，+∞）；‎ ‎（2）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，‎ ‎∵f（x）≥x2﹣2x，‎ ‎∴或或，‎ ‎∴或﹣1＜x＜2或x＝﹣1，‎ ‎∴‎ ‎∴不等式的解集为．‎