2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）

大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷 高二数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.命题：“”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3.若，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知是等差数列，，则该数列前项和等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.命题，命题，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.已知实数满足，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.平行六面体中，向量两两的夹角均为，且，‎ ‎,则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知直线与曲线相切，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的 解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.若的定义域为，恒成立，，则的解集为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.是公比为正数的等比数列，若则数列的前项和为．‎ ‎14.直线与椭圆相交于两点，则．‎ ‎15.为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，垂直于轴，且三角形为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．‎ ‎16.点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 过抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于两点.‎ 求证：‎ ‎18.已知等差数列的前项和为，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）等比数列，若，求数列的前项和 ‎19.如图，四边形是直角梯形，平面,‎ ‎（1）求直线与平面所成角的余弦；‎ ‎（2）求平面和平面所成角的余弦.‎ ‎20.已知函数在与时都取得极值.‎ ‎（1）求的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎21.如图，四棱柱中，侧棱底面,为棱的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎22.已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长，焦点，点，且 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：当过焦点的直线垂直于轴时，则成立，‎ 当直线不与轴垂直时，设 ‎ 得 所以 . ‎ ‎18.解：（1） 由，得，所以 又因为，所以公差 从而 ‎（2）由上可得，所以公比 从而，‎ 所以，.‎ ‎19.解：（1） 如图建系，‎ 平面，故平面的一个法向量为 设与平面所成的角为则 故，即与平面所成的角余弦为 ‎（2）平面的一个法向量为 ‎,设平面的一个法向量为，‎ 由 令可得平面的一个法向量为 显然，平面和平面所成角为锐角，不妨设为则 即平面和平面所成角的余弦.‎ ‎20．解：（1） ‎ 由得 ‎，‎ 变化时变化如下表 所以函数的递增区间是与，递减区间是；‎ ‎（2），当时，‎ 为极大值，而，则为最大值，‎ 要使恒成立，则只需要，得 ‎21.解：如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得 ‎（1）证明：易得,于是,‎ 所以 ‎（2）,设平面的一个法向量，‎ 则,即消去，得，不妨令，所以平面的一个法向量为 由（1）知，又平面，‎ 所以平面，故为平面的一个法向量，‎ 于是,‎ 从而 所以二面角的正弦值为 ‎22.解：（1） 由题意知，‎ 由，得，解得：‎ 椭圆的方程为 离心率为 ‎（2），设直线的方程为 联立， 得 设，则 由已知得，得，即 解得：，‎ 符合直线的方程为.‎