数学文卷·2017届河南省南阳市高三上学期期终质量评估（2017

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2016 年秋期高三期终质量评估 数学试题（文） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求. 1.设集合      1,2,3,4,5 , 2,3,4 , 4,5U M N   ，则 UC M N  A.  1 B.  1,5 C.  4,5 D. 1,4,5 2. 设 1 1i x yi   ，其中 ,x y 为实数，则 x yi  A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上 的数字之和为奇数的概率为 A. 1 3 B. 1 2 C. 3 4 D. 2 3 4. 在 ABC 中 ， 交 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 3, 6, 3a b A    ，则角 B 等于 A. 4  B. 3 4  C. 4  或 3 4  D.以上都不对 5.如果执行如图所示的程序框图，则输出的 S 不可能是 A. 0.75 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9 6.如下图是函数  sin 0, 0, 2y A x A            图象 上的一部分，为了得到这个函数的图象，只要将  siny x x R  的图象上所有的点 A.向左平移 3  个单 位长度，再把所有各点 的横坐标缩短为原来的 1 2 ，纵坐标不变 B. 向左平移 3  个单位长度，再把所有各点的横坐标伸长为原来的 2 ，纵坐标不变 C.向左平移 6  个单位长度，再把所有各点的横坐标缩短为原来的 1 2 ，纵坐标不变 D.向左平移 6  个单位长度，再把所有各点的横坐标伸长为原来的 2 ，纵坐标不变 7.某四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的体积是 A. 36 B. 24 C. 12 D. 6 8.设 nS 是数列 na 的前 n 项和，当 2n  时，点  1,2n na a 在直线 2 1y x  上，且 na 的首项 1a 是二次函数 2 2 3y x x   的最小 值，则 9S 的值为 A. 6 B. 7 C. 36 D. 32 9.函数的图象大致为 10.已知直线 l 的斜率为 k ，它与抛物线 2 4y x 相交于 A,B 两点，F 为抛物线的焦点，若 2AF FB  ，则 k  A. 3 B. 2 2 C. 2 4 D. 3 3 11.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘，又以高乘之，三十六 成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与 h，计算器体积 V 的近似公式 21 36V L h ， 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取 3，那么 22 75V L h ，近似公式相当于将 圆锥体积公式中的 近似取为 A. 355 113 B. 157 50 C. 25 8 D. 22 7 12.已知 , ,a b R ，直线 2y ax b    与函数   tanf x x 的图象在 4x   处相切，设   2xg x e bx a   ，若在区间 1,2 上，不等式   2 2m g x m   恒成立，则实数 m A. 有最大值 1e  B.有最大值 e C.有最小值 e D. 有最小值 e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.设向量    ,1 , 1,2a m b   ，且 2 2 2 a b a b      ，则 m  . 14. 若 3cos 4 5       ，则sin 2  . 15. 已知 1 2,F F 为双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yE a ba b     的左右两个焦点，点,M 在 E 上， 1MF 与 x 轴垂直， 2 1 1sin 3MF F  ，则 E 的离心率为 . 16.已知 ,x y 满足 2 1 y x y x x y       ，若 z x my  的最大值为 5 3 ，则实数 m  . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分 10 分） 在 ABC 中 ， 内 角 A,B ， C 的 对 边 分 别 为 a,b,c ， 已 知 24sin 4sin sin 2 2.2 A B A B    （1）求角 C 的大小； （2）已知 4,b ABC  的面积为 6，求边长 c 的值. 18.（本题满分 12 分） 已知等差数列  na n N  的前 n 项和为 nS ，且 3 35, 9.a S  （1）求数列 na 的通项公式； （2）设等比数列  nb n N  的前项和为 nT ，若 0q  ，且 3 5 3, 13b a T  ，求 nT ； （3）设 1 1 n n n c a a   ，求数列 nc 的前 n 项和 nH . 19.（本题满分 12 分） 如图，直角三角形 ABC 中， 60A   ，沿斜边 AC 上的高 BD，将 ABD 折起到 PBD 的位置，点 E 在线段 CD 上. （1）求证： PE BD ; （2）过点 D 作 DM BC 交 BC 于点 M,点 N 为 PB 的中点， 若 PE//平面 DMN,求 DE DC 的值. 20.（本题满分 12 分） 某产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并衡量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果： （1）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优等品率； （2）已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y（单位：元）与其指标值 t 的关系式为 2, 94, 2,94 102, 4, 102, t y t t        ，估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方 生产的上述产品平均每件的利润. 21.（本题满分 12 分） 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     ，直线 l 为圆 2 2 2:O x y b  的一条切线并且过椭 圆的右焦点，记椭圆的离心率为 e. （1）求椭圆的离心率 e 的取值范围； （2）是否存在这样的 e,使得原点 O 关于直线 l 的对称点恰好在椭圆 C 上，若存在，求 出 e 的大小，若不存在，说明理由. 22.（本题满分 12 分） 已知函数    ln 3 .f x a x ax a R    （1）当 0a  时，求函数  f x 的单调区间； （2）若函数  y f x 的图象在点   2, 2f 处的切线的倾斜角为 45 ，且函数     21 ,2g x x nx mf x m n R    当且仅当在 1x  处取得极值，其中  f x 为  f x 的导函数，求 m 的取值范围； （3）若函数  y f x 在区间 1 ,33      内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互 垂直，求 a 的取值范围. 2016 年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题（文）参考答案 一、选择题 1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．A 7．C 8.C 9.D 10．B 11．C 12．A 解析： 2．由 可知： ，故 ，解得： ． 所以， ．故选 B． 5．此程序框图执行的是输入一个正整数 n，求 1 1×2＋ 1 2×3＋…＋ 1 n×（n＋1）的值 S， 并输出 S.S＝ 1 1×2＋ 1 2×3＋…＋ 1 n×（n＋1）＝1－ 1 2＋ 1 2－ 1 3＋…＋ 1 n－ 1 n＋1＝ n n＋1. 令 S 等于 0.7，解得 n＝ 7 3不是正整数，而 n 分别输入 3，4，9 时，可分别输出 0.75，0.8， 0.9.故选 B. 6．从图象提供的信息可以可以看出 ,由此可得 ,则 ,将 代 入 可 得 , 即 , 所 以 , 所 以 ,故选 A. 7．由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示， 其中底面 是边长为 的正方形， 平面 平面 平面 ， ∴四棱锥的体积 ．故选 C. 8．由已知， ，即 ，可知数列 为等差数列，且公差为 ， 又函数 的最小值为 2，即 ，故 ． 故选 C. 9．由题意得，函数 y＝xsin x＋cos x 是偶函数，当 x＝0 时，y＝1，且 y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，显然在 上，y′>0，所以函数为单调递增，故 选 D. 10．设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(k≠0)，与抛物线 y2＝4x 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 y＝kx＋m(k≠0)，y2＝4x 得 k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0， 所以Δ＝(2km－4)2－4k2m2＝16－16km，由Δ>0 得 km<1，x1＋x2＝ 4－2km k2 ，x1x2＝ m2 k2， 由 y2＝4x 得其焦点 F(1，0)，由 AF →＝2 FB →得(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)， 所以 1－x1＝2x2－2，① －y1＝2y2，② ，由①得， x1＋2x2＝3，③.由②得， x1＋2x2＝－ 3m k ， 所以 m＝－k，再由 AF →＝2 FB →得| AF →|＝2| FB →|，所以 x1＋1＝2(x2＋1)，即 x1－2x2＝1，④. 联立③④得 x1＝2，x2＝ 1 2，所以 x1＋x2＝ 4－2km k2 ＝ 5 2，把 m＝－k 代入得 4＋2k2 k2 ＝ 5 2， 解得＝2，满足 mk＝－8<1，所以＝2，故选 B. 11．设圆锥的底面圆半径为 r,底面周长为 L,高为 h,则由 ,得 . 所以 .当 =36 时， 近似取为 3； 当 时， 近似取为 ， 故选 C. 12．f′(x)＝ sin x cos x′＝ 1 cos2x，所以 a＝f′ π 4 ＝ π 4 ＝2， 又 f π 4 ＝tan π 4 ＝－1，点 π ，－1在直线 y＝ax＋b＋ π 2 上，求出 b＝－1，∴g(x)＝ex－x2＋2， 令 h(x)＝g′(x)＝ex－2x，则 h′(x)＝ex－2，∵1≤x≤2，∴h′(x)≥e－2>0，故 h(x)在上 为增函数，h(x)≥h(1)＝e－2>0，所以 g′(x)>0，g(x)在上为增函数，所以 g(x)∈，由不 等式 m≤g≤m2－2 恒成立有 m2－2≥e2－2 m≤m2－2 ，解得 m≤－e 或 e≤m≤e＋1，m 最大值为 e＋1，故选 A. 二、填空题 13．-2 14．– 7 25 15． 16．2 解析：13．由已知得： ∴ ，解得 ． 14 ． ， 15．因为 垂直于 x 轴，所以 因为 所以 化简得 = ,故双曲线的离心率 16．解析：如图，画出不等式组所表示的区域，即 可行域，由题意可知，目标函数取最大值 时， ， ，∴直线恒过定点 ， 目标函数在 处取到最大值，将 代入 ，从而可知 . 三、解答题 17.解析：（1）由已知得 ， 化简得 ， 故 ，所以 ， 因为 ，所以 . ……………………………………………………5 分 （2）因为 ，由 ， ， ，所以 ， 由余弦定理得 ，所以 . ……………………………10 分 18．解析：（1） 解得 ……………………………2 分 ………………………………………………4 分 （2）由上可得， ， 所以公比 ， 从而， ………………………………………………6 分 所以 ……………………………………8 分 (3)由（1）知， . ∴ ……………………………10 分 …………………………………………………………12 分 19.解析：（1）因为 是 边上的高，所以 ，又 ， ∴ 平面 .∵ 平面 ，所以 . ………………………6 分 （2）连接 ，交 与点 ， 平面 ，且 平面 ，平面 平面 ，∴ , ∴ ，又 ，∴ 是等边三角形 设 ，则 ， ，∴ . ………………12 分 20．解析：（1）由实验结果知，用 配方生产的产品的优质的频率的估计值为 ， ∴用 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3．……………………………………3 分 由试验结果知，用 配方生产的产品中优质品的频率为 ， ∴用 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42．…………………………………6 分 （2）解：由条件知，用 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标 ， 由试验结果知，指标值 的频率为 0.96， 所以用 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96．…………………9 分 用 配方生产的产品平均每件的利润为 元…………………………12 分 21.解析：（1）由题意可知，右焦点在圆上或在圆的外部，因此 ． ∴ ，即 ，也即 ，解之可得 ． ∴椭圆的离心率 的取值范围是 ……………………………………………2 分 （2）依题意，设直线 l： ，由 l 与圆 相切得 ，即 ，∴ ，解得 ． ……8 分 （3）设原点关于直线 l 对称的点为 ，则 到原点的距离为 2b， 到焦点 的距离为 ．由 ………………………………………………9 分 解得 ，代入椭圆方程可得 ，易得 这与 矛盾，故离心率不存在． …………………………………………12 分 22.解析：（1） ， ……………………………………1 分 当 时，令 得 ，令 得 ， 故函数 的单调增区间为 单调减区间为 ；………………………4 分 （2）函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ， 则 ，即 ； ………………………………………5 分 所以 所以 因为 在 处有极值，故 ，从而可得 ，……………………6 分 则 又因为 仅在 处有极值， 所以 在 上无解， …………………………………7 分 当 m=0 时，显然成立； 当 m>0 时， ,此时由 ，得-2

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