数学理卷·2017届四川省绵阳南山中学高三下学期2月月考（2017

数学理卷·2017届四川省绵阳南山中学高三下学期2月月考（2017

绵阳南山中学 2017 年春季高 2017 届 2 月入学 理科数学试题 命题人：李良贵 审题人：蔡晓军 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1、已知复数 z = −3 + 4i （ i 是虚数单位），则复数 的虚部为（ ） A． B. C. D. 2、已知命题 命题 则下列判断正确的是（ ） A． p 是真命题 B. q 是假命题 C. p ∧ ( ¬q) 是真命题 D. ( ¬ p) ∧ q 是真命题 3、“ ”是“数列 为递增数列”的（ ）条件 A．充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要 4、空间四边形 OABC 中 OB＝OC 且 ∠AOB = ∠AOC = 60 ，则 cos < OA, BC > 的 值为 ( ) A． B. C. D. 5、设 、 是双曲线 的左、右两个焦点，若双曲线右支 上存在一点 P，使 （O 为坐标原点），且 ，则双曲线的 离心率为（ A． B. C. D. 6、 ，则 、 、 的大小顺序是 A． < < B. < < C. < < D. < < 7、已知矩形 ABCD 中 AB= 6, AD =2 ,点 P 为边 AB 上一动点,则当∠DPC 最大时,线段 AP 的长为（ ） 1 z i+ 1 2 7 2 1 2 − 1 2 i− 9: 0, 6;p x x x ∀ ≠ + ≥ 0 0 2: ,log 1xq x R∃ ∈ = − 1 2 3a a a< < { }na 0 1 2 3 2 2 2 1F 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2( ) 0OP OF F P+ =    1 23PF PF= 3 1+ 10 2 2 2 2 1 2 + 1 51 3 72 2 7 5( ) 2 2 , ( ) , ( ) , log5 7 x xf x a b c −−= − = = = ( )f a ( )f b ( )f c ( )f b ( )f a ( )f c ( )f c ( )f b ( )f a ( )f c ( )f a ( )f b ( )f b ( )f c ( )f a A． 或 B. 或 C. D. 8、函数 f (x) =A sin(2x 部分图象如图所示， 且 f (a) =f (b) =0，对不同的 [a, b] ，若 f (x1 ) =f (x2 ) ， 有 f ( ) =1，则 f (x) （ ） A．在 上是增函 B.在 上是减函数 C.在 上是增函 D. 在 上是减函数 9、函数 f (x) 且 图象过定点 (b, f (b)) ，则 的展开式 中 x 的系数是（ ） A． B. C. D. 10、△ ABC 中 AB =2, AC =3, ∠BAC= ，点 D 为 BC 的三等分点（靠近点 C ）即 ， 则 的取值范围为 A． B. C. D. 11、设连续正整数的集合 I = {1, 2,3, ,119,120} ，若 T 是 I 的子集且满足条件：当 x T 时， 5x T ，则集合 T 中元素的个数最多是（ ） A． B. C. D. 12、已知 ，若存在 使得 ，则 的 取值范围为（ ） A． B. C. D. 二．填空题: 本大题共 4 小题，每小题 5 分 13、过抛物线 y 2=8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，交直线 x =2 于点 P ， ，则 。 14、若变量 x, y 满足约束条件 ，则 z =2x + y 最小值为___________。 15、三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面 2 4 3 5+ 3 5− 2 3 )ϕ+ (0 , 0)2 A πϕ< < > 1 2,x x ∈ 1 2x x+ 5( , )6 6 π π− 5( , )6 6 π π− 7( , )12 12 π π 7( , )12 12 π π ( 1)log 1( 0x a a− + > 1)a ≠ 2 4( 3 )x x b− + 240− 96− 0 96 θ 2BD DC=  AD BC   240− 96− 0 96 ∈ ∉ 96 99 100 101 2 1,0 1( ) 3 , 1x x xf x x− − ≤ <=  ≥ 2 1 0,x x> ≥ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2( )x f x 1[ ,0)4 − 2[ ,0)9 − 1 2[ , ]4 9 − − 1[ ,2)3 , ( , )PA AF PB BF Rλ µ λ µ= = ∈    _____λ µ+ = 2 2 2 2 1 0 1 0 x y x y x y  + − − + ≤ − − ≤ 1 1 1ABC A B C− 1 1 60BAA CAA °∠ = ∠ = 直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为_______。 三．解答题: 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分 12 分）绵阳农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品 种发芽多 少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日 的每天昼夜温 度与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下数据： 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x （ C ） 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 26 32 26 16 绵阳农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数 据求线性 回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验． (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率； (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日这两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 y = bx + a； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 1 颗，则认为 得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？ 18、（本小题满分 12 分）已知各项都是正数的正项数列 {an } 满足： a1 = 1 ， an2+1 − an+1 = an2 + an , n ∈ N∗ ，数列{bn } 的前 n 项和为 Sn ， Sn = 9 − (13)n−2 , n ∈ N∗ . (1)求数列{an } ，{bn } 的通项公式； (2)设 cn = an ⋅bn ， n ∈ N∗ ，求数列{cn } 的前 n 项和 Tn . 19. （本小题满分 12 分）三棱锥 A − BCD 中， ∆BCD 是正三角形， BD ⊥ AC ， AC = BD = 2 ， AB ⊥ AD ，点 O 为 BD 中点. (1)求证： OA ⊥ 面 BCD ； (2)求二面角 B − AC − D 的平面角的余弦值. 20 、（本小题满分 12 分）已知椭圆 C : =1(a > b > 0) 的焦距为 2 ，点 0) 在直线 l : x = 3 上. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 O 为坐标原点，P 为直线 l 上一动点，过点 P 作直线 l′ 与椭圆相切于点 A ， 求 ∆POA 面积 S 的最小值. 21、（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = (1)求函数 f (x) 的单调区间和极值； (2)证明：当 a ∈[ , 2] 时，函数 f (x) 没有零点.（提示： ln 2 ≈ 0.69 ） 请考生在 22、23 题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选 题目题号后的方 框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 2 2 2 2 x y a b + 2 2 2 ( ,aQ a b− 1( )ln ( 0)a x a x ax a a + − − > 1 2 两种坐标系中取相同的长度单位，直线 l 的参数方程为 ，圆 C 的极坐 标方程为 (1)求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程； (2)设曲线 C 与直线 l 交于 A, B 两点，若 P 点的直角坐标为 (2,1) ，求 的值。 23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ，记 的最小值为 k， （1）解不等式 f (x) < m；(m ∈ R) （2）是否存在正数 a, b 同时满足： ？并说明理由 绵阳南山中学 2017 年春季高 2017 届 2 月入学理科数学答案 一．选择题：每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B A B C D A B A C A 二．填空题: 每小题 5 分，共 20 分 13、 ; 14、 ; 15、 ; 16、 . 三．解答题: 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分 12 分） 解：（1）恰好是不相邻的 2 天数据的概率是 ………………………4 分 （2）由数据得： ； 2 3 1 4 x t y t = +  = + 4 2 sin( )4 πρ θ= + PA PB− ( ) 3 2f x x x= − + − ( )f x 2 12 , 9a b k a b + = + = 0 1 6 6 3A π= 2 5 4 31 .5C − = 3 1 11 26 13 32 12 26 1014i i i x y = = × + × + × =∑ ， ， ； . ， ； . ； . 故 关于 的线性回归方程 . ………………………10 分 (3)当 时 ; 当 时 ,故得到的线性回归方程是可靠的． ……12 分 18、（本小题满分 12 分） 解：（1） ， ， . ………………………4 分 （2） . , ………………………12 分 19. （本小题满分 12 分） 证明：（1）连结 ， 是正三角形，则 又 ， ， 面 ， 面 ， ， ，点 为 中点， . ， 1 (11 13 12) 123x = + + = 1 (26 32 26) 283y = + + = 3 3 12 28 1008x y⋅ = × × = 3 1 1 3 1014 1008 6 n i i i i i i x y nx y x y x y = = ∴ − ⋅ = − ⋅ = − =∑ ∑ 3 2 2 2 2 1 11 13 12 434i i x = = + + =∑ 2 23 3 12 432x = × = 32 22 2 1 1 3 434 432 2 n i i i i x n x x x = = ∴ − ⋅ = − ⋅ = − =∑ ∑ 3 1 1 32 22 2 1 1 3 6 323 n i i i i i i n i i i i x y n x y x y x y b x n x x x = = = = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ∴ = = = = − ⋅ − ⋅ ∑ ∑ ∑ ∑   28 3 12 8a y bx= − = − × = − y x 3 8y x= − 10x = 3 8 3 10 8 22, 22 23 1y x ∧ = − = × − = − ≤ 8x = 3 8 3 8 8 16, 16 16 1y x ∧ = − = × − = − ≤ na n= 2 2 3n nb − = Nn ∗∈ 212 ( ) , N3 n n n nc a b n n− ∗= ⋅ = ∈ 1 0 1 2 2 1 2 3 42( )3 3 3 3 3n n nT − −= + + + + + 0 1 2 2 1 1 1 2 3 12( )3 3 3 3 3 3n n n n nT − − −= + + + + + 2 1 1 112 3 32[3 ]13 31 3 n n n nT − − − ⋅ ∴ = + − − 2 27 2 3 2 2 3n n nT − +∴ = − × OC BCD∆ BD OC⊥ BD AC⊥ AC OC C= BD∴ ⊥ AOC OA ⊂ AOC BD OA∴ ⊥ AB AD⊥ O BD 2BD = 1, 2OA AB AD∴ = = = 在 中， 即 ， ， ， ， 面 . ………………………6 分 （2）法一：由（1）知 两两互相垂直，以点 为原点， 分别为 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 设 平 面 的 法 向 量 ， 则 由 ， 得 ， 取 ； 设 平 面 的 法 向 量 ， 则 由 ， 得 ， 取 ； ； 而二面角 平面角为钝角，故二面角 平面角的余弦值为 . …12 分 法二： ，过点 作 交 于点 ，连结 ，则 为 平面角.设 中点 ， ，由 得 ， 在 中， ，由余弦定理得 . 故二面角 平面角的余弦值为 . ………………………12 分 OB D C A y x z OB D C A N OB D C A M AOC∆ 1, 3, 2OA OC AC= = = 2 2 21 ( 3) 2+ = 2 2 2OA OC AC+ = OA OC∴ ⊥ OA BD⊥ OA OC⊥ BD OC O= OA∴ ⊥ BCD , ,OC OD OA O , ,OC OD OA   , ,x y z (0,0,1), (0, 1,0), ( 3,0,0), (0,1,0)A B C D− ( 3,0,1)CA∴ = − ( 3, 1,0)CB = − − ( 3,1,0)CD = − ABC 1 1 1 1( , , )n x y z= 1 1 0 0 n CA n CB  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 3 0 3 0 x z x y − + = − − = 1 (1, 3, 3)n = − ADC 2 2 2 2( , , )n x y z= 2 2 0 0 n CA n CD  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 2 3 0 3 0 x z x y − + = − + = 1 (1, 3, 3)n = 1 2 1 2 1 2 1cos , 7| || | n nn n n n ⋅∴ < >= =      B AC D− − B AC D− − 1 7 − BAC DAC∆ ≅ ∆ B BM AC⊥ AC M MD BMD∠ B AC D− − AB N 14 2CN = AB CN AC BM⋅ = ⋅ 7 2BM = BMD∆ 7 , 22BM DM BD= = = 1cos 7BMD∠ = − B AC D− − 1 7 − 20、（本小题满分 12 分） 解：（1）椭圆 的焦距为 2， ，又点 在直 线 上 ， ， . 故 椭 圆 的 标 准 方 程 是 . ………………………4 分 （2）由题意直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,设 , . 由 得 ,相切 ,且 ， . 则 ,又 方程: ,点 到直线 的距离 , . 当 时 , , 又 ， , 令 ，则 由 得 , 在 上单减,在 单增, .即当 的斜率为 时, 面积 的最小值为 同理当 时, ，当 的斜率为 时, 面积 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1c∴ = 2 2 2 ( ,0)aQ a b− : 3l x = 2 3a∴ = 2 2b∴ = C 2 2 13 2 x y+ = l l y kx m= + 0(3, )P y 1 1( , )A x y 2 22 3 6 y kx m x y = +  + = 2 2 2(2 3 ) 6 3 6 0k x kmx m+ + + − = 2 224(2 3 ) 0k m∆ = + − = 2 22 3k m∴ + = 1 12 2 3 2,2 3 2 3 km mx yk k −= =+ + 0 3y k m= + 2 0| | 9OP y= + OP 0 3 yy x= A OP 0 1 1 2 0 | 3 | 9 y x yd y −= + 0 1 1 1 1| | | 3 |2 2OPAS OP d y x y∆∴ = = − 2 2 1 3 2| (3 ) 3 |2 2 3 2 3 km mk m k k −= + × − ×+ + 2 2 3 (3 2)| |2 2 3 m k km k + += + 2 2 3 ( ) 3| | | |2 2 m m km k mm += == + 2 22 3k m+ = 22 3m k∴ = ± + 22 3m k= + OPAS∆ 23 | 2 3 |2 k k= + + 2 22 3 3 | |k k k+ > > 22 3 0k k+ + > OPAS∆∴ 23 ( 2 3 )2 k k= + + 23( ) ( 2 3 )2f k k k= + + ( )k R∈ 2 2 2 3 3 3 2 3 3( ) (1 ) ( )2 22 3 2 3 k k kf k k k + +′ = + = + + ( ) 0f k′ = 3 3k = − ( )f k 3( , )3k ∈ −∞ − 3( , )3k ∈ − +∞ min 3( ) ( ) 33f k f∴ = − = l 3 3 − POA∆ S 3. 22 3m k= − + OPAS∆ 23 ( 2 3 )2 k k= − + + l 3 3 POA∆ S 的最小值为 综上： 面积 的最小值为 ………………………12 分 21、（本小题满分 12 分） 解 ： （ 1 ） ， 所 以 .（ ） 所以当 时 ，当 时 . 所以函数 的单调递增区间为 ，单调减区间为 . 当 时 ， 取 得 极 小 值 . ………………………5 分 （ 2 ） 法 一 ： 由 （ 1 ） ： 当 时 取 得 极 小 值 , 亦 即 最 小 值 . ， 又 ，所以 ． 设 ，则 ， ，所以 在 上单调递减，且 ， ，所以 有唯一零点 ，使得 在 上单增，在 上单减，又由于 ， ,所以 恒成立.从而 恒 成立，则 恒成立. 所以当 时，函数 没有零点. ………………………12 分 法 二 ： 当 时 取 得 极 小 值 , 亦 即 最 小 值 . ， （ ） 3. POA∆ S 3. 2 21 1( ) ( )ln [ ( 1)ln ]a x af x a x x a xx a a a x = + − − = + − − 2 2 ( 1)( )'( ) x x af x ax + −= 0x > 2(0, )x a∈ '( ) 0f x < 2( , )x a∈ +∞ '( ) 0f x > ( )f x 2( , )a +∞ 2(0, )a 2x a= ( )f x 2 2 2 21( ) [ 1 ( 1)ln ]f a a a aa = + − − 2x a= ( )f x 2 2 2 21( ) [ 1 ( 1)ln ]f a a a aa = + − − 1 22 a≤ ≤ 21 44 a≤ ≤ 1( ) 1 ( 1)ln ( 4)4g x x x x x= + − − ≤ ≤ 1'( ) lng x xx = − 2 1( ) 0xg x x − −′′ = < '( )g x 1[ ,4]4 '(1) 0g > '(2) ln 04 eg = < '( )g x (1,2)m∈ ( )g x 1[ , )4 m ( ,4]m 1 5 6ln 2( ) 04 4g −= > (4) 5 6ln 2 0g = − > ( ) 0g x > 2 2 2 21( ) [ 1 ( 1)ln ] 0f a a a aa = + − − > ( ) 0f x > 1[ ,2]2a∈ ( )f x 2x a= ( )f x 2 2 21( ) [ 1 2( 1)ln ]f a a a aa = + − − 1 22 a≤ ≤ 设 ， 则 ， ， ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，又 ， 所以 在 上单调递减，而 ， ，故 使 且 在 上单调递增，在 上单调递减，又 且 ，所以 恒成立.从而 恒 成 立 ， 则 恒 成 立 . 综 上 ： 当 时 ， 函 数 没 有 零 点. ………………………12 分 22、（本小题满分 10 分） 解：（1）直线 方程： ；圆 的直角坐标方程： 或写成 . ………………………5 分 （2）点 在直线 上，且在圆 内，把 化成标准参数方程 ， 将 代 入 得 ， 设 两 实 根 为 ， 则 即 异 号 ， 所 以 …………10 分 23、（本小题满分 10 分） 解：（1） ， 当 时， 解为 ；当 时， 解为 . …………5 分 （2） ，当且仅当 即 2 2 1( ) 1 2( 1)ln ( 2)2g x x x x x= + − − ≤ ≤ 1'( ) 2( 2 ln )g x x xx = − 2 1( ) 2( 2ln 2)g x xx ′′ = − − − 3 (1 )(1 )( ) 4 x xg x x + −′′′ = × ( )g x′′ 1[ ,1)2 (1,2] (1) 6 0g′′ = − < ( )g x′ 1[ ,2]2 (1) 2 0g′ = > 1(2) 2( 4ln 2) 02g′ = − < 0 (1,2)x∃ ∈ 0( ) 0g x′ = ( )g x 0 1[ , )2 x 0( ,2]x 1 5 6ln 2( ) 02 4g −= > (2) 5 6ln 2 0g = − > ( ) 0g x > 2 2 2 21( ) [ 1 ( 1)ln ] 0f a a a aa = + − − > ( ) 0f x > 1[ ,2]2a∈ ( )f x l 4 5 3 3y x= − C 2 2 4 4 0x y x y+ − − = 2 2( 2) ( 2) 8x y− + − = (2,1)P l C 2 3 1 4 x t y t = +  = + 32 5 41 5 x t y t  = +  = + 32 5 41 5 x t y t  = +  = + 2 2 4 4 0x y x y+ − − = 2 8 7 05t t− − = 1 2,t t 1 2 1 2 8 , 7 0,5t t t t+ = = − < 1 2,t t 1 2 2 2 8|| | | || | | .5PA PB t t t t− = − = + = 2 5 ( 3) ( ) 3 2 1 (2 3) 5 2 ( 2) x x f x x x x x x − > = − + − = ≤ ≤  − < 1m > ( )f x m< 5 5( , )2 2 m m− + 1m ≤ ( )f x m< ∅ ( ) 3 2 | ( 3) (2 ) | 1f x x x x x= − + − ≥ − + − = ( 3)(2 ) 0x x− − ≥ 2 3x≤ ≤ 时取等号，故 . 假 设 存 在 正 数 , 则 由 得 ，当且仅当 时取等号， 又 ，故当 时 同时成立. 综上：存在正数 ： 同时满足： . …………………10 分. 1k = ,a b 2 1a b+ = 2 1 2 1 2 2 2 2( )(2 ) 5 5 2 9b a b aa ba b a b a b a b + = + + = + + ≥ + ⋅ = 2 2b a a b = 2 1a b+ = 1 3a b= = 2 12 1, 9a b a b + = + = ,a b 1 3a b= = 2 12 1, 9a b a b + = + =