江苏省南京市江宁区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

江苏省南京市江宁区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

江宁区 2020-2021 上学期高二年级期末考试试卷 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.抛物线 21 3y x 的焦点坐标是 （ ） A． 3( ,0)4 B． 1( ,0)6 C． 1( ,0)12 D． 3(0, )4 2．已知 1cos 4 32       ，则 sin  （ ） A． 7 9 B． 1 9 C．－ 1 9 D．－ 7 9 3. 直线 3y+1 0x   与圆 2 21 1x y   的位置关系是（ ） A．直线过圆心 B．相切 C．相离 D．相交 4.函数 1 4 2  x xy 的图象大致为( ) .A .B .C .D 5.设 Ra ，则“ 2a  ”是“ 2 2a  ”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 6.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每 人多十六，要将第八数来言”．题意是：把 992 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺 序依次分绵，年龄小的比年龄大的多 16 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是（ ） A. 174 斤 B. 184 斤 C. 180 斤 D. 181 斤 7.已知 1 2x  ，则 23 2 1x x   的最小值是（ ） A． 3 2 B． 33 2  C． 3+2 D． 32 3+ 2 8.已知函数 )(xf 的定义域为 R ，且       )0()1( )0(12)( xxf xxf x ，若方程 axxf )( 有两个不同的 实根，则 a 的取值范围为( ) .A  1, .B  1, .C  1,0 .D   , 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．每小题给出的四个选项中，都有多个 选项是正确的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，选错或不答的得 0 分．请把正确的选项 填涂在答题卡相应的位置上． 9．先将函数 ( ) cos(2 )3f x x   的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,再将其向左 平移 3  得到函数 ( )y g x 的图象,则函数 ( )g x 的对称轴方程可能是( ) A． 7 3x  B． 3x  C． 2x  D． 0x  10.等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积 可能为( ) .A 2 .B )21(  .C 22 .D )22(  11.在递增的等比数列 na 中，已知公比为 q， nS 是其前 n 项和，若 1 4 32a a  ， 2 3 12a a  ，则 下列说法正确的是（ ） A． 2q  B．数列 2nS  是等比数列 C． 8 510S  D．数列 lg na 是公差为 2 的等差数列 12.设椭圆 12: 2 2  yxC 的左右焦点为 1F ， 2F ， P 是C 上的动点，则下列结论正确的是 .A 离心率 2 6e .B 21 PFPF  的最小值为 0 .C 21FPF 面积的最大值为 2 .D 以线段 21FF 为直径的圆与直线 02  yx 相切 .)( nmxf   三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上 13.一元二次不等式 0132 2  xx 的解集为___________. 14.已知函数 ( ) sin 2f x x ，则该函数的对称轴方程为__________. 15．记 n 项正项数列为 1 2 3, , , , na a a a… ，其前 n 项积为 nT ，定义 1 2lg lg lg NT T T  …… 为“相对 积叠加和”，如果有 2020 项的正项数列 1 2 3 2020, , , ,a a a a… 的“相对积叠加和”为 2020，则有 2021 项的数列 1 2 3 202010, , , , ,a a a a… 的“相对积叠加和”为 . 16. 已知三棱锥 S ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，且 SA SB SC  , 3, 4, 5SA SB SC   ,则该三棱锥的体积为 ，球O 的表面积 为 . 四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定②②区域内作答，解答时应写出文字 说明、 证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分 10 分）已知集合 2{ | 4 3 0},A x x x    B  ______ 若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，给出如下三个条件： 请从中任选一个补充到横线上。若问题中的 a 存在，求出 a 的取值范围； 18.（本小题满分 12 分） 已知向量 ， ，记 （1）若 ，求 的值； （2）在锐角 ,中 角 A,B,C 的对边分别是 且满足 ，求 的取值范 围． 19 .（本小题满分 12 分）如图，在正方体 中，E 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 20.（本小题满分 12 分）新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品. 此药品的年固定成本为 180 万元，每生产 x 千件需另投入成本为  C x .当年产量不足 40 千件时，   21 103C x x x  （万元）.当年产量不小于 40 千件时，   08031 420C x x x    （万元）.每千件 商品售价为 30 万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完. （1）写出年利润  L x （万元）关于年产量 x （千件）的函数解析式； （2）该公司决定将此药品所获利润的10% 用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品 的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？ 21.（本小题满分 12 分）已知等差数列 }{ na 的前 n 项和 nS ，且 65 a ， .1493  aa （1）求 ;, nn Sa （2）设 ,1 nSb n n  设 }{ nb 的前 n 项和为 nT ，若 mTn  恒成立，求 m 的取值范围； 22.（本小题满分 12 分）已知O 为坐标原点，椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左右焦点分别为 1 2,F F ， 1 2| | 2F F  ， P 为椭圆的上顶点，以 P 为圆心且过 1 2,F F 的圆与直线 2x   相切. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知直线l 交椭圆C 于 ,M N 两点. （ⅰ）若直线l 的斜率等于1，求 OMN 面积的最大值； （ⅱ）若 1OM ON   uuuur uuur ，点 D 在l 上，OD l .证明：存在定点W ，使得| |DW 为定值. 江宁区 2020~2021 上学期高二年级期末考试试卷答案 一、 单项选择题： 1.D 2.D 3.B 4. A 5.A 6.C 7.D 8.A 二、多项选择题： 9.AB 10.AB 11.ABC 12.BD 三、填空题： 13. ]1,2 1[ 14. ,( )2 4 kx k Z    15.4041 16. 10,50 四、解答题： 17.（本小题满分 10 分） 解：若填 2{ | 4 3 0},A x x x    { |1 3}A x x    .................................................3 分 ， 若“ ”是“ ”的必要不充分条件， 则集合 AB  且 AB  ..............................................6 分 则 即 a 的取值范围为 。............................................10 分 若填 2{ | 4 3 0},A x x x    { |1 3}A x x    .................................................3 分 ， 若“ ”是“ ”的必要条件， 则集合 AB  且 AB  ..............................................6 分 则 .............................................8 分 此时 ，故“ ”是“ ”的充要条件，不满足题意， 故无解．..........................................................10 分 若填 2{ | 4 3 0},A x x x    { |1 3}A x x    .................................................3 分 ， 若“ ”是“ ”的必要条件，..................................6 分 则 ，方程组无解． 即不存在 a 满足“ ”是“ ”的必要不充分条件．...............10 分 18.（本小题满分 12 分） 解： 记 ， 由 ，得 ，.......................................2 分 ；...................................4 分 ， 由正弦定理得： ， ，...................................5 分 又 ， ， ， ， 又 B 为锐角， ，................................................8 分 则 ， ， ， ， ， ，.....................................................10 分 ， 的取值范围是 ..........................................12 分 19.（本小题满分 12 分） 解： 1 由正方体的性质可知， 中，且 ， 四边形 是平行四边形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 E.......................4 分 2 以 A 为原点，AD、AB、 分别为 x、y 和 z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系， 设正方体的棱长为 a，则 0， ， 0， ， 0， ， a， ， ， ， ，........8 分 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 ， ， ，..................10 分 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．.............................12 分 20.（本小题满分 12 分） 解：（1）由题可得：     2 30 180 1 20 180,0 403 800 240, 40 L x x C x x x x x xx               .......................................................................5 分 （2）①当  0,40x 时，     2 2 1 20 1803 1 30 1203 L x x x x         ∴当 30x  时，  L x 取最大值，  max 120L x  （万元） ②当 40x  时，   800 240 800 240 L x x x x x            令   800g x x x   ，因为 40x  时，  g x 在 40 +， 上单调递增； ∴    min 40 =60g x g ， ∴  max 60 240 180L x     综合①②当  max 180L x  此时可以捐赠180 10%=18 （万元）...............................11 分 答：当年生产 40 千件时利润最大，此时可捐赠 18 万元物资款。............12 分 21.（本小题满分 12 分） 解： Ⅰ 设等差数列 的公差为 d， 由 ，可得 ， 又 ，所以 ， 又由 ，得 ， 所以 ，........................................4 分 所以 ；..............................................6 分 Ⅱ 由 ，得 ，......................8 分 所以 ，......10 分 因为 ，所以 ， 而 恒成立，故 ． 故 m 的取值范围为 ..............................................12 分 22.（本小题满分 12 分） （1）由题意知： 1( 1,0)F  ， 2 (1,0)F ， 又  0,P b ，则以 P 为圆心且过 1 2,F F 的圆的半径为 2a  ， 故 2, 1, 1a b c   ，所以椭圆C 的标准方程为： 2 2 12 x y  ..............4 分 （2）（ⅰ）设直线l 的方程为： y x t  ，    1 1 2 2, , ,M x y N x y 将 y x t  代入 2 2 12 x y  得： 2 23 4 2 2 0x tx t    ， 所以 2 1 2 1 2 4 2 2,3 3 t tx x x x     且  2 2 216 12 2 2 24 8 0t t t       ， 故 3 3t   . 又 2 2 1 2 1 2 1 2 4 3| | 2 | | 2 ( ) 4 3 tAB x x x x x x       ， 点O 到直线l 的距离 2 | | | | 21 1 t td    ， 所以 2 2 2 2 21 | | 4 3 2 2 3 2(3 ) ( )2 3 3 3 2 22AOB t t t tS t t           ， 等号当仅当 2 23t t  时取，即当 6 2t   时， OMN 的面积取最大值为 2 2 ....8 分 （ⅱ）显然直线l 的斜率一定存在， 设直线l 的方程为： y kx t  ，    1 1 2 2, , ,M x y N x y ， 由（ⅰ）知： 2 1 2 1 22 2 4 2 2, ,1 2 1 2 kt tx x x xk k      所以 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2( )( ) ( ) 1 2 t ky y kx t kx t k x x kt x x t k          ， 所以 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 11 2 t kOM ON x x y y k          ， 解得 2 1 3t  ， 3 3t   ，直线过定点 30, 3Z       或 3(0, )3  ， 所以 D 在以 OZ 为直径的圆上，该圆的圆心为 30, 6W       或 30, 6      ，半径等于 3 6 ， 所以存在定点 30, 6W       或 30, 6      ，使得| |DW 为定值 3 6 ..................12 分