高考数学考点25三视图与直观图试题解读与变式

高考数学考点25三视图与直观图试题解读与变式

考点 25 三视图与直观图 一、 知识储备汇总与命题规律展望 1.知识储备汇总: 1.1 棱柱的结构 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 图形 定 义 有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形 对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形 平行于底面的截面 的形状 与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 1.2 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什 么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 1.3 棱锥、棱台的结构 名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 图形 定义 有一个面是多 边形，其余各面 是有一个公共 顶点的三角形 的多面体 底面是正多边 形，且顶点在底 面的射影是底 面的射影是底 面和截面之间 用一个平行于 棱锥底面的平 面去截棱锥，底 面和截面之间 的部分 由正棱锥截得 的棱台 的部分 侧棱 相交于一点但 不一定相等 相交于一点且 相等 延长线交于一 点 相等且延长线 交于一点 侧面的 形状 三角形 全等的等腰三 角形 梯形 全等的等腰梯 形 对角面 的形状 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于 底的截 面形状 与底面相似的 多边形 与底面相似的 正多边形 与底面相似的 多边形 与底面相似的 正多边形 其他性 质 高过底面中心； 侧棱与底面、侧 面与底面、相邻 两侧面所成角 都相等 两底中心连线 即高；侧棱与底 面、侧面与底 面、相邻两侧面 所成角都相等 1.4 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜 边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面. 1.5.圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的 底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴 1.6.球 （1）定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体， 简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径. （2）球的性质 球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径 R，截面圆的 半径 r ，球心到截面圆的距离为 d ，则 222 drR  . 1.7.长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.8 正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体. 设正四面体的棱长为 a ，则高为 6 3 a ，斜高 3 2 a 为，对棱间的距离为 2 2 a ，体积为 32 12 a . 1.9 空间几何体的直观图 （1）斜二测画法 ①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐标系； ②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 O’X’,O’Y’,使 ' ' 'X OY =450（或 1350），它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X‘轴，且长度保持 不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y‘轴，且长度变为原来的一 半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）. 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦 确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可 以归结为确定点的位置的画法. （2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一 点. 1.10 简单几何体三视图 （1）三视图 ①正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度； ②侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度； ③俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度. （2）三视图画法规则 高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等 （3）.解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图 的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”．也就是说正 视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度， 侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线 都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三 视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”． （4）要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征， 熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观 图． （5）解答三视图题目时： ①可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确； ②视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚； ③视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等． 1.11 几何体中计算问题的方法与技巧： ①在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算 往往与两者相关； ②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外， 要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来； ③研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可 以在轴截面中得到； ④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段． 2.命题规律展望：空间几何体的三视图与直观图是高考的重点和热点，主要考查简单几何体 三视图识别、由三视图画出对应的几何体的直观图并计算其体积与表面积、由三视 图画出对应的几何体的直观图并其外接球或内切球的体积或表面积，题型为选择题 或填空题，难度为容易题或中档题，分值为 5 分. 二、题型与相关高考题解读 1.空间几何体的三视图 1.1 考题展示与解读 例 1 【2014 高考湖北卷理第 5 题】在如图所示的空间直角坐标系 xyzO  中，一个四面体 的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四 个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② 【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及空间想象能力，是基础题. 【答案】D 【解析】设 )2,2,2(),1,2,1(),0,2,2(),2,0,0( DCBA ，在坐标系中标出已知的四个点，根据三 视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选 D. 【解题能力要求】空间想象能力 【方法技巧归纳】根据点的坐标，画出简单几何体的三视图，然后根据三视图的画法规则判 断几何体的三视图. 1.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】如图，点 ,M N 分别是正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱 1 1 1 1,A B A D 的中 点，用过点 , ,A M N 和点 1, ,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正 （主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ） A. ①③④ B. ②④③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】D 【变式 2：改编结论】在下列水平放置的几何体中，正视图是如图的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】观察四个选择支的四个几何体，A、B、D 对应三个几何体的正视图都为矩形，C 对 应的几何体的正视图为等腰三角形，故选 C. 【变式 3：改编问法】一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ） 【答案】B 【解析】俯视图为几何体在底面上的投影，应为 B 中图形. 2.由三视图求对应空间几何体的表面积 2.1 考题展示与解读 例 2【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28 3  ,则它的表面积是（ ） （A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28 【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及球的表面面积与体积计算，是容易题. 【答案】A 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力 【方法技巧归纳】根据“长对正、宽相等、高平齐”的直观图画法规则，画出对应几何体的 直观图，确定几何体中个元素的量，再计算几何体的表面积. 2.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是 1 的正方形，俯视图 是直角边长为 1 的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（ ） A. 2 2 B. 3 2 C. 4 2 D. 6 【答案】B 【 解 析 】 由 已 知 得 该 几 何 体 为 三 棱 柱 ， 面 积    12 1 1 2 1 1 1 2 3 22S               ，故选 B. 【变式 2：改编结论】一个正三棱柱的主视图如图所示，则其左视图的面积是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3 【答案】C 【解析】由主视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，左视图是矩形,边长 为： 3 和 1,左视图的面积为 3 3 1 3  ，故选 C. 【变式 3：改编问法】如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面 的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 4 2 D. 4 3 【答案】C 3.由三视图求对应几何体的体积 3.1 考题展示与解读 例 3【2017 浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： cm3）是 A． 12  B． 32  C． 12 3  D． 32 3  【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及椎体的体积公式，是基础题. 【答案】A 【解析】由三视图知其对应的几何体为底面半径为 1 高为 2 的半圆锥与底面为底边长为 2 底 边 上 高 为 1 等 腰 三 角 形 高 为 2 的 三 棱 锥 组 成 的 组 合 体 ， 其 体 积 为 12)122 1 2 1(33 1 2  V ，选 A． 【解题能力要求】空间想象力、运算求解能力 【方法技巧归纳】根据“长对正、宽相等、高平齐”的直观图画法规则，画出对应几何体的 直观图，确定几何体中个元素的量，再计算几何体的体积. 3.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积等于（ ） . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体， 结合图中数据，计算它的体积为：V=V 三棱柱+V 半圆柱= ×2×2×3+•π•12×3=（6+1.5π）cm3． 故答案为：6+1.5π． 【变式 2：改编结论】一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为 2 3  的等 腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为（ ） A. 20 5 3  B. 20 3  C. 25 D. 25 5 【答案】A 【变式 3：改编问法】如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形， 若该简单几何体的体积是 ，则其底面周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高 ，因此底面积为 ，即底 面为等腰直角三角形，直角边长为 2，周长为 ，选 C. 4.与三视图有关的最值问题 4.1 考题展示与解读 例 5【2014 课标Ⅰ，理 12】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体 的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ） （A） 6 2 （B） 6 （C） 6 2 （D） 4 【命题意图探究】本题主要考查简单几何体的三视图及几何体中的最值问题，是中档题. 【答案】Ｂ 【解析】由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、 高均为 4 个单位，故可考虑置于棱长为 4 个单位的正方体中研究，如图所示，该四面体为 D ABC ，且 4AB BC  , 4 2AC  , 2 5DB DC  , 2(4 2) 4 6DA    ，故 最长的棱长为 6，选 B． 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力 【方法技巧归纳】根据“长对正、宽相等、高平齐”的直观图画法规则，画出对应几何体的 直观图，确定几何体中个元素的量，再根据几何体的直观图计算有关最值问题. 4.2【典型考题变式】 【变式 1：改编条件】如图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长 度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】几何体 ABCD 为图 1 中粗线所表示的图形，最长棱是 AC， ， 故选 C． 【变式 2：改编结论】某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 5 2 D. 6 2 【答案】C 【变式 3：改编问法】如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某多面体的三视 图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( ) A. 2 3 B. 5 2 C. 8 D. 8 3 【答案】D 【解析】由题意可得，该几何体是一个棱长为 4 的正方体中截取一个角所得的三棱锥，该三 棱 锥 的 最 大 面 是 一 个 边 长 为 4 2 的 等 边 三 角 形 ， 该 三 角 形 的 面 积 是 1 4 2 4 2 sin60 8 32     ，故选 D. 三、课本试题探源 必修 2 第 1 章 P30 页练习 第 3 题：下面是一个几何体的三视图（单位：cm）,画出它的 直观图，并求出它的表面积和体积. 【解析】由三视图知该几何体是上下底面边长分别为 6 和 10 高为 8 的正棱台，其直观图如 图 所 示 ， 则 侧 棱 长 为 142)2325(8 22  ， 侧 面 上 斜 高 为 132)35()142( 22  ， 所 以 该 几 何 体 的 表 面 积 2 132)106(4610 22  = 1416136  ， 体 积 为 )15161088(3 18)10610036(3 1 V . 四．典例高考试题演练 1.【2018 届湖南省益阳市、湘潭市 9 月调研】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线 画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ） A. 2 3 B. 4 3 C. 8 3 D. 4 【答案】B 【解析】如图所示：如图所示，三棱锥 P ABC 即为所求. 1 1 1 42 2 23 3 2 3P ABC ABCV S h         ，故选 B. 2.【2018 届四川省成都市龙泉驿区一中 9 月】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为 A. ＋2π B. C. D. 【答案】D 【解析】恢复原几何体为一个圆柱与一个半圆锥组成的组合体，圆柱的底面半径为 1，高为 2，半圆锥的底面半径为 1，高位 1，所以体积为 ，选 D. 3.【2017 届广西省上期教诊断性联合考】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的 是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ） A. 16 4 B. 16 2 C. 48 4 D. 48 2 【答案】B 【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为 1 4 4 33     21 1 2 3 16 22 3       ，故选 B. 4.【2018 届湖南省永州市上期一模】已知某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥中， 最长的棱长为（ ） A. 5 B. 2 2 C. 3 D. 3 2 【答案】C 【解析】 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥 P ABC ，图中长方体中 2, 1PB AB AC   ， 由 图 知 三 棱 锥 的 棱 长 1,2 5 2 2 3， ， ， ， 其 中 最 长 棱 为 2 2 22 2 1 3PC     ，故选 C. 5.【2018 届吉林省长春市一模】《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈， 袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格 纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为 1 丈），那么该刍甍的体积为 （ ） A. 4 立方丈 B. 5 立方丈 C. 6 立方丈 D. 12 立方丈 【答案】B 【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为 3，四棱锥的体 积为 2，则刍甍的体积为 5.故选 B. 6.【2018 届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】一个几何体的三视图如图，则它的表 面积为（ ） A. 28 B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，三视图所对应的几何体是长宽高分别为 2,2,3 的长方体去掉一个三棱柱 后的棱柱：ABIE-DCJH，该几何体的表面积为： ，故选 D. 7.【2016 届福建省高三总复习单元过关立体几何形成性测试】已知某几何体的正视图和侧 视图（如图所示），则该几何体的俯视图不可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A 选项是个三棱锥，下图 1，B 选项也是三棱锥，下图 2，D 选项是四棱锥，下图 3. 选 C. 8.【2017 届贵州省贵阳市一中月考（七）】如图为体积是 3 的几何体的三视图，则正视图的 x 值是（ ） A. 2 B. 9 2 C. 3 2 D. 3 【答案】D 【解析】几何体是一个四棱锥，如图，  1 11 2 ·2 3 32 3S V Sx    底面 ， ， ∴ 3x  ，故选 D． 9.【2018 届广东省深圳市宝安中学一模】如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 1 2 ．则该几何体的俯视图可以是（ ） 【答案】C 【解析】由该几何体的正视图、俯视图，得该几何体为一个柱体，且高为 1，则底面面积为 ，结合选项，得只有选项 C 的面积为 ；故选 C． 10.【2017 届武汉市蔡甸区汉阳一中五模拟】下图中，小方格是边长为 1 的正方形，图中粗 线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的 表面积为 A. B. C. D. 【答案】C 11.【2017 届安徽省宣城市二调】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三 棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. 25 B. 25 4  C. 29 D. 29 4  【答案】D 12.【2017 届吉林省实验中学八模】若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体 的体积为 3 6  ，则其表面积为 A. 3 32   B. 3 2  C. 3 2 34   D. 3 34   【答案】A 【解析】该几何体是半个圆锥， 21 1 332 3 6V r r      ， 1r  ，母线长为 2l r ， 所以其表面积为 21 1 1 2 32 2 2S rl r r r      23 33 32 2r        ，故选 A． 13.【2017 届福建省莆田六中一模】在体积为V 的球内有一个多面体，该多面体的三视图是 如图所示的三个斜边都是 2 的等腰直角三角形，则V 的最小值是（ ） A. 4 3 B. 3 2  C. 3 D. 12 【答案】B 14.【2018 届安徽省巢湖一中等十校联盟摸底考】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥 的四个面中最大的面积为__________． 【答案】 3 2 【解析】由题意知，该三棱锥的直观图如图中的 A BCD 所示，则 1 1 2 12BCDS     ， 1 2 2 22ACDS     ， 1 55 12 2ABCS     ， 1 3 2 322 2 2ABDS     ，故 其四个面中最大的面积为 3 2 . 15.【2017 届江西省赣州市二模】某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的体积为 _________. 【答案】 41 41 π48 【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图所示，再取点 Q，可得直三棱柱，高 为 2 ， 在 三 角 形 PBC 中 ， PC=2 ， PB=BC= 5 ， 由 余 弦 定 理 可 得 3cos 5PBC  ， 则 4sin 5PBC  ，由正弦定理可得三角形 PBC 的外接圆的直径 2r= 5 sin 2 PC PBC  ，又四棱 锥的球心到平面 PBC 的距离为 1，所以外接球的半径 R= 2 411 4r   ,则外接球的体积 V= 34 41 41π π3 48R 