2020-2021学年北师大版数学选修2-2课时作业：第四章 定积分 单元质量评估
第四章单元质量评估
时限：120 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．已知 错误!f(x)dx＝m，则 错误!nf(x)dx＝( C )
A．m＋n B．m－n
C．mn D．mn
解析：根据定积分的性质，错误!nf(x)dx＝n错误!f(x)dx＝mn.
解析：∵|x|是偶函数，
3．由曲线 y＝f(x)(f(x)≤0)，x∈[a，b]，直线 x＝a，x＝b(a
0)及 x 轴所围成的 x 轴上方的
图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( C )
A．2πa2 B．4πa2
C．12πa3 D．14πa3
解析：
6．由抛物线 y＝－x2 与直线 y＝2x－3 所围成的图形的面积是
( B )
A.5
3 B.32
3
C.64
3 D．9
解析：如图所示，由 y＝－x2，
y＝2x－3
得到 x＝1 或 x＝－3.
7．如图所示的阴影部分的面积是( C )
A．e＋1
e B．e＋1
e
－1
C．e＋1
e
－2 D．e－1
e
解析：S＝错误!(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)|10＝e＋e－1－(e0＋e0)＝e＋1
e
－
2.
8．定积分错误![ 1－x－12－x]dx＝( A )
A.π－2
4 B.π－2
2
C.π－1
4 D.π－1
2
解析：错误![ 1－x－12－x]dx
＝错误! 1－x－12dx－错误!xdx
＝π
4
－1
2
＝π－2
4 .
9．已知自由落体运动的速率 v＝gt，则落体运动从 t＝0 到 t＝t0
所走的路程为( C )
A．gt20 B.gt20
3
C.gt20
2 D.gt20
6
解析：
10．物体 A 以速度 v＝(3t2＋1) m/s 在直线 l 上运动，物体 B 在直
线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v＝10t(m/s)的速度与 A
同向运动，出发后物体 A 追上物体 B 所用的时间 t(s)为( C )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：因为物体 A 在 t 秒内运动的路程为错误!(3t2＋1)dt，物体 B
在 t 秒内运动的路程为 错误!10tdt，所以错误!(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－
5t2)|t0＝t3＋t－5t2＝5，所以(t－5)(t2＋1)＝0，所以 t＝5.
①f(x)＝sin1
2x，g(x)＝cos1
2x；
②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；
③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：
12．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以
速度 v(t)＝7－3t＋ 25
1＋t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止．在
此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( C )
A．1＋25ln5 B．8＋25ln11
3
C．4＋25ln5 D．4＋50ln2
解析：由 v(t)＝0 得 t＝4(舍负)，
故刹车距离为 s＝错误!v(t)dt＝错误!
7－3t＋ 25
1＋t dt
＝ －3
2t2＋7t＋25ln1＋t |40＝4＋25ln5.
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案
填写在题中横线上)
解析：
14．如果 错误!f(x)dx＝1，错误!f(x)dx＝－1，则 错误!f(x)dx＝－2.
解析：∵错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx，
∴错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx－错误!f(x)dx＝－1－1＝－2.
15．已知函数 y＝f(x)的图像是折线段 ABC，其中 A(0,0)，B
1
2
，5 ，
C(1,0)．函数 y＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与 x 轴围成的图形的面积为5
4.
解析：由题意可得 f(x)＝
10x，0≤x≤1
2
，
10－10x，1
20)，
代入点 B 的坐标，得 p＝25
4
，
故抛物线的方程为 y＝ 2
25x2.
从而曲边三角形 OEB 的面积为 错误! 2
25x2dx＝2x3
75
|50＝10
3 .
又 S△ABE＝1
2
×2×2＝2，
故曲边三角形 OAB 的面积为4
3
，
从而图中阴影部分的面积为8
3.
又易知等腰梯形 ABCD 的面积为6＋10
2
×2＝16，
则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 16
16－8
3
＝1.2.
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤)
17．(10 分)计算下列定积分：
解：
18．(12 分)求函数 f(a)＝错误!(6x2＋4ax＋a2)dx 的最小值．
解：f(a)＝错误!(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)|10＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1，
则 f(a)的最小值为 1.
19．(12 分)求由曲线 y＝x2＋2 与直线 y＝3x，x＝0，x＝2 所围成
的平面图形的面积．
解：在坐标轴中画出 y＝x2＋2 与 y＝3x 的图像(图略)，由图可知
S＝错误!(x2＋2－3x)dx＋错误!(3x－x2－2)dx
＝
1
3x3－3
2x2＋2x 10＋ －1
3x3＋3
2x2－2x |21
＝1
3
－3
2
＋2＋－1
3
×8＋3
2
×4－4－－1
3
＋3
2
－2
＝5
6
－2
3
＋5
6
＝5
3
－2
3
＝1.
20．(12 分)求由曲线 y＝1
2x2 与 y＝ 2x所围成的平面图形绕 x 轴
旋转一周所得旋转体的体积．
解：由曲线 y＝1
2x2 与 y＝ 2x所围成的平面图形如图阴影部分所
示．
设所求旋转体的体积为 V，根据图像可以看出 V 等于由曲线 y＝
2x，直线 x＝2 与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体
的体积(设为 V1)减去由曲线 y＝1
2x2，直线 x＝2 与 x 轴所围成的平面
图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为 V2)．
21．(12 分)如图，设点 P 从原点沿曲线 y＝x2 向点 A(2,4)移动，
记直线 OP，曲线 y＝x2 及直线 x＝2 所围成的面积分别为 S1，S2，若
S1＝S2，求点 P 的坐标．
解：
整理得 1
2kx20－1
3x30＝8
3
－2k－
1
3x30－1
2kx20 ，
解得 k＝4
3
，即直线 OP 的方程为 y＝4
3x，
所以点 P 的坐标为
4
3
，16
9 .
22．(12 分)一物体按规律 x＝bt3(b>0，且 b 为常数)做直线运动，
式子中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，
比例系数为 k＝ 7.试求物体由 x＝0 运动到 x＝a 时阻力所做的功．
解：物体的速度 v＝(bt3)′＝3bt2.媒质阻力 F＝kv2＝ 7(3bt2)2＝
