高中数学人教版选修1-2课时提升作业一1-1回归分析的基本思想及其初步应用精讲优练课型word版含答案

高中数学人教版选修1-2课时提升作业一1-1回归分析的基本思想及其初步应用精讲优练课型word版含答案

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 一 回归分析的基本思想及其初步应用 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1.下列四个命题中正确的是( ) ①在线性回归模型中，e 是 b x+a 预报真实值 y 的随机误差，它是一个观测的量；②残差平 方和越小的模型，拟合的效果越好；③用 R2 来刻画回归方程，R2 越小，拟合的效果越好；④ 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区 域宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 【解析】选 B.e 是预报变量 y 的随机误差，故①不正确；R2 越接近 1，拟合的效果越好，故 ③不正确. 2.甲、乙、丙、丁 4 位同学各自对 A，B 两个变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平 方和 (yi-  iy )2 如表： 甲 乙 丙 丁 散点图 残差 平方和 115 106 124 103 哪位同学的试验结果体现拟合 A，B 两变量关系的模型拟合精度高？( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】选 D.根据线性相关的知识，散点图中各样本点带状分布越均匀，同时保持残差平 方和越小，回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好.由试验结果知，丁拟合效果较好 些. 3.关于残差的叙述正确的是( ) A.残差就是随机误差 B.残差就是方差 C.残差都是正数 D.残差可以用来判断模型拟合的效果 【解析】选 D.根据残差的意义及作用知，D 正确. 4.(2016·大连高二检测)在一次试验中，测得(x，y)的 4 组值分别为 A(1，2)，B(2，3)， C(3，4)，D(4，5)，则 y 与 x 之间的回归直线方程为( ) A. y =x+1 B. y =x+2 C. y =2x+1 D. y =x-1 【解析】选 A.由已知条件可知 = ， = ，而回归直线必经过样本点的中心 ，故选 项 A 符合题意. 5.(2016·济南高二检测)设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相 关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( ， ) C.若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58.79kg 【解题指南】根据线性相关、回归直线、样本点的中心等相关概念判断. 【解析】选 D. 选项 具体分析 结论 A x 的系数大于零，正相关 正确 B 由回归直线方程的计算公式 a = - b 可知直线 l 必过点( ， ) 正确 C 由一次函数的单调性知，x 每增加 1cm，体重平均增加 0.85kg，是估 计变量 正确 D 体重应约为 58.79kg，估计变量 不正确 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6.对于回归方程 y =257+4.75x，当 x=28 时，y 的估计值是________. 【解析】当 x=28 时， y =257+4.75×28=390， 所以 y 的估计值为 390. 答案：390 7.若对于变量 y 与 x 的 10 组数据的回归模型中，R2=0.95，又知残差平方和为 120.53.那么 (yi- )2=________. 【解析】由公式 R2=1- 得 0.95=1- 得 (yi- )2=2410.6. 答案：2410.6 8.面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某 白酒酿造企业市场部对该企业 9 月份的产品销量 x(单位：千箱)与单位成本 y(单位：元)的 资料进行线性回归分析，结果如下： = ， =71， =79， xiyi=1481. 则销量每增加 1000 箱，单位成本下降________元. 【解析】由题意知 b = ≈-1.8182， a =71-(-1.8182)× ≈77.36， y =-1.8182x+77.36，销量每增加 1 千箱，则单位成本下降 1.8182 元. 答案：1.8182 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9.(2016·武汉高二检测)某公司有 6 名推销员，其工作年限与年推销金额数据如下： 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限 x(年) 3 5 6 7 9 年推销金额 y(万元) 2 3 3 4 5 (1)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程. (2)若第 6 名推销员工作年限为 11 年，试估计他的年推销金额. 【解析】(1)设所求的回归方程为 y = b x+ a ， 则 b = = =0.5， a = - b =0.4. 所以年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为 y =0.5x+0.4. (2)当 x=11 时， y =0.5×11+0.4=5.9(万元)， 所以可以估计第 6 名推销员的年推销金额为 5.9 万元. 10.已知某校在一次考试中，5 名学生的数学和地理成绩如表： 学生的编号 i 1 2 3 4 5 数学成绩 x 80 75 70 65 60 地理成绩 y 70 66 68 64 62 (1)根据上表，利用最小二乘法，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = b x+ a (其中 b =0.36). (2)利用(1)中的线性回归方程，试估计数学 90 分的同学的地理成绩(四舍五入到整数). (3)若从 5 人中选 2 人参加数学竞赛，其中 1、2 号不同时参加的概率是多少？ 【解析】(1) = (80+75+70+65+60)=70， = (70+66+68+64+62)=66， b =0.36，所以 a = - b =40.8， 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y =0.36x+40.8. (2)若 x=90，则 y=0.36×90+40.8≈73， 即数学 90 分的同学的地理成绩估计为 73 分. (3)五人中选两人的不同选法有(1，2)，(1，3)，(1，4)， (1，5)，(2，3)，(2，4)，(2， 5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共 10 种不同选法.其中 1，2 号不同时参加的有 9 种， 所以 1，2 号不同时参加的概率 P= . 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1.(2016·石家庄高二检测)为了研究两个变量 x 和 y 之间的线性相关关系，甲、乙两位同学 分别独立做了 100 次和 150 次试验，并且利用最小二乘法求得回归直线分别为 l1，l2.已知 两人在试验中发现变量 x 的观察数据的平均值都是 s，变量 y 的观察数据的平均值都是 t. 下列说法中正确的是( ) A. l1 和 l2 有交点(s，t) B. l1 与 l2 相交，但交点不一定是(s，t) C. l1 与 l2 必平行 D. l1 与 l2 必重合 【解析】选 A.由题意知，(s，t)是甲、乙两位同学所做试验的样本点的中心，而回归直线 恒过样本点的中心，故 A 正确. 2.在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据，现准备用下列四个函数中 的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y=2x B.y=log2x C.y= (x2-1) D.y=2.61cosx 【解析】选 B.作散点图，从图中观察可知，应为对数函数模型. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 3.(2016·福州高二检测)某人收集统计近几年来春节期间的平均气温 x 与某取暖商品销售额 y 的有关数据(如表)： 平均气温(℃) -2 -3 -5 -6 销售额(万元) 20 23 27 30 根据上述数据，用线性回归的方法，求得销售额 y 与平均气温 x 之间的线性回归方程为 y = x+ 中系数 =-2.4，预测平均气温为-8℃时，该商品的销售额大约为________万元. 【解析】 =-4， =25，即这组数据的样本点的中心为(-4，25)，将 =-2.4 代入回归直线方 程且回归直线过样本点中心得 =15.4.故回归直线方程为 y =-2.4x+15.4.当 x=-8 时， y =-2.4×(-8)+15.4=34.6. 答案：34.6 4.对具有线性相关关系的变量 x 和 y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为 6.5，且 恒过(2，3)点，则这条回归直线的方程为________. 【解析】由题意知 =2， =3， a =6.5，所以 a = - b =3-6.5×2=-10，即回归直线的方程 为 y =-10+2x. 答案： y =-10+2x 三、解答题 5.(10 分)(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传 费 x(单位：千元)对年销售量 y(单位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的年宣 传费 xi 和年销售量 yi(i=1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量 的值. (xi- )2 (wi- )2 (xi- )(yi- ) (wi- )(yi- ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi= ， = wi. (1)根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回 归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程. (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为： = ， = - . 【解析】(1)由散点图的变化趋势可以判断，y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型. (2)令 w= ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于 = = =68， = - =563-68×6.8=100.6， 所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y =100.6+68w，因此 y 关于 x 的回归方程为 y =100.6+68 . (3)①由(2)知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 y =100.6+68 =576.6， 年利润 z 的预报值 =576.6×0.2-49=66.32. ②根据(2)的结果知，年利润 z 的预报值 =0.2(100.6+68 )-x=-x+13.6 +20.12. 所以当 = =6.8，即 x=46.24 时， 取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大. 【补偿训练】(2016·济宁高二检测)假定小麦基本苗数 x 与成熟期有效穗 y 之间存在相关关 系，现测得 5 组数据如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 (1)以 x 为解释变量，y 为预报变量作出散点图. (2)求 y 与 x 之间的回归方程，对基本苗数 56.7 预报有效穗. (3)计算各组残差，并计算残差平方和. (4)求 R2，说明回归模型的拟合效果. 【解析】(1)散点图如图所示： (2)由(1)中的图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此 可以用线性回归方程刻画它们之间的关系. 设回归方程为 y = x+ ， =30.36， =43.5， =5101.56， =1320.66， 2=921.7296， xiyi=6746.76. 由 = ≈0.29， = - ≈34.70， 故所求的回归直线方程为 y =34.70+0.29x. 当 x=56.7 时， y =34.70+0.29×56.7=51.143. 估计成熟期有效穗为 51.143. (3)由于  iy = xi+ ，可以算得 ie =yi-  iy ，分别为 1e =0.35， 2e =0.718， 3e =-0.5， 4e =-2.214， 5e =1.624， 残差平方和： ≈8.43. (4) (yi- )2=50.18， 故 R2=1- ≈0.832. 故回归模型拟合效果较好. 关闭 Word 文档返回原板块