【数学】2020届一轮复习（理）通用版 7-3基本不等式 作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版 7-3基本不等式 作业

课时跟踪检测(三十九)　基本不等式 一、题点全面练 ‎1．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　B. C．－1 D．0‎ 解析：选D　f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，‎ 当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，‎ 所以f(x)在上的最小值是0.‎ ‎2．(2018·哈尔滨二模)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A．[0,2] B．[－2,0]‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 解析：选D　由1＝2x＋2y≥2，变形为2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．‎ ‎3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．4‎ 解析：选C　因为＋＝，所以a＞0，b＞0，‎ 由＝＋≥2 ＝2 ，‎ 所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，‎ 所以ab的最小值为2.‎ ‎4．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)‎ A．9 B．12‎ C．18 D．24‎ 解析：选B　由＋≥，‎ 得m≤(a＋3b)＝＋＋6.‎ 又＋＋6≥2＋6＝12，‎ ，‎ ‎∴m≤12，∴m的最大值为12.‎ ‎5．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[3，＋∞) B．(－∞，3]‎ C．(－∞，6] D．[6，＋∞)‎ 解析：选D　因为a＞0，b＞0，＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，‎ 即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，‎ 令f(x)＝x2－4x－2＝(x－2)2－6，‎ 所以f(x)的最小值为－6，‎ 所以－6≥－m，即m≥6.‎ ‎6．(2019·青岛模拟)已知x＞0，y＞0，(lg 2)x＋(lg 8)y＝lg 2，则＋的最小值是________．‎ 解析：因为(lg 2)x＋(lg 8)y＝lg 2，所以x＋3y＝1，则＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故＋的最小值为4.‎ 答案：4‎ ‎7．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为________．‎ 解析：30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，‎ 即30≥15xy，所以xy≤2，‎ 当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立．‎ 故xy的最大值为2.‎ 答案：2‎ ‎8．规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．‎ 解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，‎ 解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.‎ 又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，‎ 当且仅当＝，即x＝1时取等号，‎ 故函数f(x)的最小值为3.‎ 答案：1　3‎ ‎9．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1.‎ 又x＞0，y＞0，‎ 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，‎ 当且仅当＝，即x＝16且y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝(x＋y)‎ ‎＝10＋＋≥10＋2 ＝18.‎ 当且仅当＝，即x＝12且y＝6时等号成立，‎ 所以x＋y的最小值为18.‎ ‎10．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；‎ ‎(2)设0＜x＜2，求函数y＝的最大值．‎ 解：(1)y＝(2x－3)＋＋ ‎＝－＋.‎ 当x＜时，有3－2x＞0，‎ ‎∴＋≥2 ＝4，‎ 当且仅当＝，即x＝－时取等号．‎ 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.‎ ‎(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，‎ ‎∴y＝＝·≤ ·＝，‎ 当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，‎ ‎∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．已知a＞b＞1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为(　　)‎ A．3 B. C．2 D. 解析：选A　令logab＝t，由a＞b＞1得0＜t＜1,2logab＋3logba＝2t＋＝7，得t＝，即logab＝，a＝b2，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.‎ ‎2．若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　)‎ A．2 B. C. D．1＋ 解析：选A　由a，b为正数，且＋＝1，得b＝＞0，所以a－1＞0，‎ 所以＋＝＋＝＋ ‎≥2 ＝2，‎ 当且仅当＝和＋＝1同时成立，‎ 即a＝b＝3时等号成立，‎ 所以＋的最小值为2.‎ ‎3．函数y＝1－2x－(x＜0)的值域为________．‎ 解析：∵x＜0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2 ＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故函数y＝1－2x－(x＜0)的值域为[1＋2，＋∞)．‎ 答案：[1＋2，＋∞)‎ ‎(二)交汇专练——融会巧迁移 ‎4．[与函数交汇]已知函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，则3m＋n的最小值为(　　)‎ A．16 B．8‎ C．12 D．14‎ 解析：选B　由题意，函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)，‎ 令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1，‎ ‎∴图象恒过定点A(－3，－1)．‎ ‎∵直线＋＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，‎ ‎∴＋＝2，即＋＝1.‎ ‎∴3m＋n＝(3m＋n)＝＋＋＋≥2 ＋5＝8(当且仅当n＝m＝2时，取等号)‎ ‎∴3m＋n的最小值为8.‎ ‎5．[与数列交汇]已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N*，满足ama＝a，则＋的最小值为(　　)‎ A．1 B. C．2 D. 解析：选A　根据题意，设{an}的公比为q，‎ 则am＝qm，an＝qn，a4＝q4.‎ 由ama＝a得qm＋2n＝q8，‎ ‎∴m＋2n＝8，∴＝1.‎ 又m，n∈N*，∴＋＝＋＝＋＋＋≥＋2 ＝1，‎ 当且仅当＝，即m＝2n＝4时取“＝”，‎ ‎∴＋的最小值为1.‎ ‎6．[与解析几何交汇]若直线mx＋ny＋2＝0(m＞0，n＞0)被圆(x＋3)2＋(y＋1)2＝1所截得的弦长为2，则＋的最小值为(　　)‎ A．4 B．6‎ C．12 D．16‎ 解析：选B　圆心坐标为(－3，－1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线过圆心，所以－3m－n＋2＝0，3m＋n＝2，所以＋＝(3m＋n)＝≥＝6，当且仅当＝时取等号，因此＋的最小值为6，故选B.‎ ‎7．[与线性规划交汇]已知x，y满足z＝2x＋y的最大值为m，若正数a，b满足a＋b＝m，则＋的最小值为__________．‎ 解析：画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，‎ z＝2x＋y的几何意义为直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当直线过点M时，直线2x＋y－z＝0在y轴上的截距最大，即目标函数z＝2x＋y取得最大值，由解得M(3,0)，所以z的最大值为2×3＋0＝6，即m＝6，所以a＋b＝6，故＋＝·(a＋b)＝≥＝，当且仅当＝，即b＝4，a＝2时等号成立．‎ 答案：