【数学】2020届北京一轮复习通用版9-1直线方程与圆的方程作业

【数学】2020届北京一轮复习通用版9-1直线方程与圆的方程作业

专题九　平面解析几何 ‎【真题典例】‎ ‎9.1　直线方程与圆的方程 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.直线的倾斜角、斜率与方程 ‎1.理解直线的倾斜角和斜率的概念 ‎2.掌握过两点的直线斜率的计算公式 ‎3.掌握确定两直线位置的几何要素以及求直线方程的几种形式 ‎4.了解斜截式与一次函数的关系 ‎2017北京,14‎ ‎2012北京,8‎ 直线的斜率 统计图的理解 ‎★★★‎ ‎2.直线与直线的位置关系 ‎1.能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系 ‎2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标 ‎3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离 ‎2018北京,7‎ 点到直线的距离公式 三角函数辅助角公式 ‎★★☆‎ ‎2016北京文,5‎ 圆的方程与直线的方程 ‎3.圆的方程 ‎1.掌握确定圆的几何要素 ‎2.掌握圆的标准方程与一般方程 ‎3.会用待定系数法和数形结合法求圆的方程 ‎2015北京文,2‎ 求圆的方程 此题考查内容简单,无关联考点 ‎★★★‎ 分析解读　　从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想是历年高考考查的重点.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　直线的倾斜角、斜率与方程 ‎1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为‎3‎‎4‎”的(　　)‎ A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是　　　　　　. ‎ 答案　x-2y+3=0‎ 考点二　直线与直线的位置关系 ‎3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为(　　)‎ A.1　　　　B.‎2‎　　　　C.2　　　　D.2‎‎2‎ 答案　B　‎ ‎4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为(　　)‎ A.4　　　　B.-4　　　　C.2　　　　D.-2‎ 答案　A　‎ ‎5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=‎1‎‎2‎”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ 考点三　圆的方程 ‎6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为(　　)‎ A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2‎ 答案　B　‎ ‎7.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎4‎=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为　　　　. ‎ 答案　x-‎‎3‎‎2‎‎2‎+y2=‎‎25‎‎4‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　直线方程的求法 ‎1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(　　)‎ A.x+y-2=0　　　　B.x-y+2=0　　　　C.x+y-3=0　　　　D.x-y+3=0‎ 答案　D　‎ 方法2　两直线平行与垂直问题的解决策略 ‎2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是(　　)‎ A.2　　　　B.8　　　　C.‎17‎‎5‎　　　　D.‎‎17‎‎10‎ 答案　A　‎ ‎3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为π‎4‎,则a=　　　　;若l1⊥l2,则a=　　　　;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为　　　　. ‎ 答案　-1;1;2‎‎2‎ 方法3　关于对称问题的求解策略 ‎4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为(　　)‎ A.(x-1)2+y2=1　　　　B.x2+(y+1)2=1　　　　C.x2+(y-1)2=1　　　　D.(x+1)2+y2=1‎ 答案　C　‎ 方法4　圆的方程的求法 ‎5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　x2+y2-2x=0‎ ‎6.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.‎ 解析　圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).‎ 因为圆N与x轴相切,与圆M外切,‎ 所以00)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解析　(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=‎4k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 由题设知‎4k‎2‎+4‎k‎2‎=8,解得k=-1(舍去),或k=1,‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y‎0‎‎=-x‎0‎+5,‎‎(x‎0‎+1‎)‎‎2‎=‎(y‎0‎-x‎0‎+1‎‎)‎‎2‎‎2‎+16.‎解得x‎0‎‎=3,‎y‎0‎‎=2‎或x‎0‎‎=11,‎y‎0‎‎=-6.‎ 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ 方法总结　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.‎ ‎4.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点O在圆M上;‎ ‎(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.‎ 解析　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.‎ 由x=my+2,‎y‎2‎‎=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.‎ 又x1=y‎1‎‎2‎‎2‎,x2=y‎2‎‎2‎‎2‎,故x1x2=‎(‎y‎1‎y‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎=4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y‎1‎x‎1‎·y‎2‎x‎2‎=‎-4‎‎4‎=-1,所以OA⊥OB.‎ 故坐标原点O在圆M上.‎ ‎(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.‎ 故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=‎(m‎2‎+2‎)‎‎2‎+‎m‎2‎.‎ 由于圆M过点P(4,-2),因此 AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,‎ 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.‎ 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.‎ 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-‎1‎‎2‎.‎ 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为‎10‎,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.‎ 当m=-‎1‎‎2‎时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为‎9‎‎4‎‎,-‎‎1‎‎2‎,圆M的半径为‎85‎‎4‎,圆M的方程为x-‎‎9‎‎4‎‎2‎+y+‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎85‎‎16‎.‎ 解后反思　直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎　　　　B.‎2‎‎3‎　　　　C.‎2‎‎2‎　　　　D.1‎ 答案　C　‎ ‎2.(2014福建,6,5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(　　)‎ A.x+y-2=0　　　　B.x-y+2=0　　　　C.x+y-3=0　　　　D.x-y+3=0‎ 答案　D　‎ ‎3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[-5‎2‎,1]‎ ‎4.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,‎5‎)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为‎4‎‎5‎‎5‎,则圆C的方程为　　　　　　. ‎ 答案　(x-2)2+y2=9‎ ‎5.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.‎ ‎(1)圆C的标准方程为　　　　　　　　; ‎ ‎(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为　　　　. ‎ 答案　(1)(x-1)2+(y-‎2‎)2=2　(2)-‎2‎-1‎ ‎6.(2014湖北,17,5分)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则 ‎(1)b=　　　　; ‎ ‎(2)λ=　　　　. ‎ 答案　(1)-‎1‎‎2‎　(2)‎‎1‎‎2‎ ‎7.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;‎ ‎(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.‎ 解析　(1)由已知得,圆C1的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).‎ ‎(2)由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线段AB的中点M(x0,y0)其中x‎0‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,y‎0‎=‎y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎,‎ 将y=tx代入圆C1的方程,整理得(1+t2)x2-6x+5=0.‎ 则有x1+x2=‎6‎‎1+‎t‎2‎,‎ 所以x0=‎3‎‎1+‎t‎2‎,代入直线l的方程,得y0=‎3t‎1+‎t‎2‎.‎ 因为x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=‎9‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎+‎9‎t‎2‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎=‎9(1+t‎2‎)‎‎(1+‎t‎2‎‎)‎‎2‎=‎9‎‎1+‎t‎2‎=3x0,‎ 所以x‎0‎‎-‎‎3‎‎2‎‎2‎+y‎0‎‎2‎=‎9‎‎4‎.‎ 又因为方程(1+t2)x2-6x+5=0有两个不相等的实根,‎ 所以Δ=36-20(1+t2)>0,解得t2<‎4‎‎5‎,所以‎5‎‎3‎

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