【数学】2019届一轮复习人教A版解答题的解法学案

【数学】2019届一轮复习人教A版解答题的解法学案

‎【概述】 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．因此，抓住解答题得分要点，是高考决胜的必要条件.复习的后期要特别注意以下几点 ‎ ‎1.高考阅卷速度以秒计，规范答题少丢分 高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.‎ ‎2.不求巧妙用通法，通性通法要强化 高考注重通性通法的考查，高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.‎ ‎3.干净整洁保得分，简明扼要是关键 高考已实行 上阅卷，若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分.‎ ‎4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题 ‎(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.‎ ‎【模板和细则】 “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；‎ 评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．‎ 模板一 三角函数与解三角形 例1【2017·全国卷Ⅰ)】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ ‎【答案】（1）.(2)3＋.‎ ‎【命题意图】本题主要考查三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式，意在考查考生分析问题、解决问题的能力，以及运算求解能力．‎ ‎【解题思路】(1)首先利用三角形的面积公式可得asinB＝，然后利用正弦定理，把边转化成角可得sinBsinC的值；(2)首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcosC＝1，结合两角和的余弦公式求出B＋C，进而求出A，然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值，最后利用余弦定理求出b＋c，进而求出△ABC的周长．‎ ‎【评分细则】‎ ‎1．利用面积公式，得等式，2分．‎ ‎2．利用正弦定理，得边角关系，2分．‎ ‎3．利用公式化简，2分. ‎ ‎4．利用已知条件，结合(1)的结论求出角A,2分．‎ ‎5．利用题设，结合余弦定理，求b＋c,3分．‎ ‎6．求得周长，1分．‎ ‎【高考状元满分心得】‎ ‎1．牢记公式，正确求解 在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理．如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式．学 ‎ ‎2．注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解．‎ ‎3．写全得分关键 在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出 的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出 则不得分，只有将面积转化为得分点才得分．‎ ‎【趁热打铁】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.‎ ‎【答案】(1)C＝.(2)5＋.‎ ‎ ‎ ‎(2)由余弦定理及C＝得 ‎7＝a2＋b2－2ab·，8分 即(a＋b)2－3ab＝7，‎ 又S＝ab·sin C＝ab＝，‎ 所以ab＝6，10分 所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，11分 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.‎ ‎12分 ‎ 模板二 立体几何 例2【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明 平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）－.‎ 以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系F－xy .‎ 由(1)及已知可得A（，0,0），P（0,0，），‎ B（，1,0），C（－，1,0），2分 所以＝（－，1，－），＝(，0,0)，学 ‎ ‎【命题意图】本题主要考查直线与平面垂直的判定、面面垂直的判定，以及二面角余弦值的求解，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力．‎ ‎【解题思路】(1)由题意易证出AB垂直平面PAD，从而证明面面垂直；(2)首先在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F，从而建立空间直角坐标系，然后求出平面PCB与平面PAB的法向量，最后求出二面角A－PB－C的余弦值．‎ ‎【评分细则】‎ ‎1．利用线面垂直的判定定理，3分．‎ ‎2．利用面面垂直的判定定理，1分．‎ ‎3．建系得各点坐标，2分．‎ ‎4．求出法向量n,2分 ‎5．求出法向量m,2分 ‎6．利用公式求出二面角的余弦值，2分 ‎【高考状元满分心得】‎ ‎1．写全得分步骤 在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写．如第(1)问中的AB⊥AP，AB⊥PD，AP∩PD＝P；第(2)问中的建系及各点坐标，两平面法向量的坐标．学 ‎ ‎2．注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，立体几体解答题的第(2)问建系，要用到第(1)问中的垂直关系时，可以直接用，有时不用第(1)问的结果无法建系，如本题即是在第(1)问的基础上建系．‎ ‎3．写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分．所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出判断AB⊥平面PAD的三个条件，写不全则不能得全分，如OH∩EF＝H一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出cos〈m，n〉＝这个公式，而直接得出余弦值，则要扣1分． ‎ ‎【趁热打铁】【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明 平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题解析 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．‎ 设CD=1．‎ 在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，‎ 在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，‎ 在Rt△MQH中，QH=，MQ=， ‎ 所以sin∠QMH=， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是．‎ 模板三 函数与导数 例3【2017课标1，理21】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)(i)若a≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减. ‎ ‎(ii)若a＞0， f(x)在(－∞，－ln a)单调递减，在(－ln a，＋∞)单调递增.(2)(0,1).‎ ‎ (2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点.1分 ‎(ii)若a＞0，由(1)知，当x＝－ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(－ln a)＝1－＋ln a.‎ ‎①当a＝1时，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一个零点；1分 ‎②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln a＞0，‎ 即f(－ln a)＞0，故f(x)没有零点；1分 ‎③当a∈(0,1)时，1－＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0.‎ 又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，‎ 故f(x)在(－∞，－ln a)有一个零点．‎ 设正整数n0满足n0＞ln－1，‎ 则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0.‎ 由于ln－1＞－ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)有一个零点．‎ 综上，a的取值范围为(0,1).4分 ‎【命题意图】本题主要考查导数的运算以及导数的应用，函数的单调性，函数的零点等知识，意在考查考生的运算求解能力、分析问题与解决问题的能力．‎ ‎【解题思路】(1)对函数求导，导函数含有参数，需要对参数进行分类讨论， 判断函数的单调性；(2)结合第一问函数的单调性，判断函数存在两个零点的条件，进而确定参数的范围．‎ ‎【评分细则】‎ ‎1．求出定义域、导数，2分．‎ ‎2．讨论a≤0,1分．‎ ‎3．讨论a>0时，利用f′(x)>0，f′(x)<0求单调区间，2分．‎ ‎4．利用(1)得a≤0时零点个数，1分 ‎ ‎5．当a＝1时，零点个数为1，不符合题意，1分．‎ ‎6．当a>1时，零点个数为0，不符合题意，1分．‎ ‎7．当0b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明 l过定点.‎ ‎【答案】(1)＋y2＝1. (2)以l过定点(2，－1).‎ ‎ ‎ ‎(2)设直线P‎2A与直线P2B的斜率分别为 1， 2.‎ 如果l与x轴垂直，设l x＝t，由题设知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，－）.‎ 则 1＋ 2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．‎ ‎2分 ‎【命题意图】本题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等知识，是一道综合能力较强的题，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．‎ ‎【解题思路】(1)利用椭圆的性质，容易排除点P1(1,1)不在椭圆上，从而求出椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的方程得出根与系数的关系，从而使问题得解，在解题中要注意斜率不存在的情形．‎ ‎【评分细则】‎ ‎1．利用椭圆的性质排除P1,1分．‎ ‎2．由已知列出关于a2，b2的方程，求出椭圆方程，4分．‎ ‎3．当 不存在时，求t，判断与题不符，2分．‎ ‎4.将直线x1方程，代入椭圆，得方程，用韦达定理表示，2分．‎ ‎5．求出 与m的关系式，3分．‎ ‎6．求出定点，1分．‎ ‎【高考状元满分心得】‎ ‎1．正确使用圆锥曲线的定义 牢记圆锥曲线的定义及性质，用解方程的方法求出a2、b2，如本题第(1)问就涉及椭圆的性质 判断点在不在椭圆上．‎ ‎2．注意分类讨论 当用点斜式表示直线方程时，应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解，易出现忽略斜率不存在的情况，导致扣分，如本题第(2)问中首先要求出斜率不存在时的情况．‎ ‎3．写全得分关键 在解析几何类解答题中，直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程，根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积，弦长，目标函数，……等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．‎ ‎【趁热打铁】【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．‎ ‎（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题解析 ‎ ‎（Ⅰ）设直线AP的斜率为 ，则，∵，∴直线AP斜率的取值范围是．‎ ‎（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是，因为|PA|==‎ ‎|PQ|= ，所以|PA||PQ|=‎ 令，因为，所以 f( )在区间上单调递增，上单调递减，因此当 =时，取得最大值．‎ 模板五 数列 例5【2017天津，理18】已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，. ‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】 （1）..（2）.‎ ‎【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列及前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力．‎ ‎【解题思路】(Ⅰ)运用基本量法先求出等比数列的公比，从而求出{bn}的通项公式，然后用基本量法求出等差数列{an}的公差和首项，从而求出其通项公式；(Ⅱ)数列{a2nb2n－1}是由等差数列与等比数列对应相乘而得到的，运用错位相减法求出数列{a2nb2n－1}的前n项和．‎ ‎【评分细则】‎ ‎1．利用等比数列通项公式列出方程，求q及通项，2分．‎ ‎2．利用等差数列通项公式及前n项和公式求a，d及通项，2分．‎ ‎3．由(Ⅰ)的结论，求出a2n，b2n－1，求出a2n·b2n－11分．‎ ‎4．列出Tn及4Tn,2分．‎ ‎5．利用错位相减法求－3Tn,3分．‎ ‎6．求得Tn,2分．‎ ‎【高考状元满分心得】‎ ‎1．牢记等差、等比数列的an及Sn公式．求等差、等比数列的基本量，首先考虑性质的运用，如果不能用性质，才考虑使用基本量法，在使用错位相减法求和时，一定要弄清楚参与运算的项数和没有参与运算的项数．‎ ‎2．注意利用第(1)问的结果 在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得an，bn.‎ ‎3．写全得分关键 写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要充分体现等差(比)数列基本量的运算．第(2)问利用错位相减法求Tn，计算要求更高，往往很多学生计算出错导致失分．‎ ‎【趁热打铁】【2016高考浙江理数】设数列满足，．‎ ‎（I）证明 ，；‎ ‎（II）若，，证明 ，．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．‎ ‎ ‎ ‎[ | ]‎ ‎（II）任取，由（I）知，对于任意，‎ ‎，‎ 故 ‎．‎ 从而对于任意，均有