【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）二项式定理学案

【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）二项式定理学案

第3讲　二项式定理 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　二项式定理的内容 ‎1．(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．‎ ‎2．第r＋1项，Tr＋1＝Can－rbr.‎ ‎3．第r＋1项的二项式系数为C(r＝0,1，…，n)．‎ 考点2　二项式系数的性质 ‎1．0≤k≤n时，C与C的关系是相等．‎ ‎3．各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝2n－1，C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n＋1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为 n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C，C，…一直到C，C.‎ ‎2．二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如(a＋bx)n的展开式中，第k＋1项的二项式系数是C，而该项的系数是Can－kbk.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(　　)‎ ‎(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)‎ ‎(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)‎ ‎(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(　　)‎ ‎(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎2．[课本改编]若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)‎ A．9 B．8 ‎ C．7 D．6‎ 答案　B 解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.‎ ‎3．[课本改编]二项式6的展开式中常数项为(　　)‎ A．－15 B．15 ‎ C．－20 D．20‎ 答案　B 解析　依题意，二项展开式的通项公式Tr＋1＝Cx6－r·(－x)r＝(－1)rCx，令6－r－＝0，得r＝4，所以常数项为(－1)4C＝15.‎ ‎4．[2018·抚州模拟]若n展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x2的系数为(　　)‎ A．－21 B．－35 ‎ C．35 D．21‎ 答案　C 解析　由已知得2n＝128，n＝7，所以Tr＋1＝Cx2(7－r)·r＝C(－1)rx14－3r，令14－3r＝2，得r＝4，所以展开式中x2的系数为C(－1)4＝35.故选C.‎ ‎5．[2017·山东高考]已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.‎ 答案　4‎ 解析　(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r.令r＝2，得T3＝9Cx2.由题意得9C＝54，解得n＝4.‎ ‎6．[2018·吉林模拟](x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________．‎ 答案　179‎ 解析　(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，本题求x10的系数，只要求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数Tr＋1＝Cx10－r·2r 取r＝2，r＝0得x8的系数为C×22＝180，‎ x10的系数为C＝1，‎ ‎∴所求系数为180－1＝179.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　二项展开式中特定项或系数问题 例　1　(1)(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．‎ 答案　6‎ 解析　由二项展开式的通项可得Tr＋1＝C(x·)4－r·(－y)r＝(－1)rCx·y.‎ 令解得r＝2，所以展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.‎ ‎(2)[2016·山东高考]若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　Tr＋1＝a5－rCx，令10－r＝5，解之得r＝2，所以a3C＝－80，a＝－2.‎ 触类旁通 求二项展开式中的项或项的系数的方法 ‎(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．‎ ‎(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．‎ ‎【变式训练1】　(1)[2018·广东测试]6的展开式中，常数项是(　　)‎ A．－ B. ‎ C．－ D. 答案　D 解析　Tr＋1＝C(x2)6－rr＝rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.∴常数项为4C＝.故选D.‎ ‎(2)8的展开式中的有理项共有________项．‎ 答案　3‎ 解析　∵Tr＋1＝C()8－rr ‎＝rCx，‎ ‎∴r为4的倍数，故r＝0,4,8共3项．‎ 考向　二项式系数的和或各项系数的和 例　2　二项式(2x－3y)9的展开式中，求：‎ ‎(1)二项式系数之和；‎ ‎(2)各项系数之和；‎ ‎(3)所有奇数项系数之和；‎ ‎(4)各项系数绝对值之和．‎ 解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.‎ ‎(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.‎ ‎(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，‎ 令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.‎ ‎(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①‎ 令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，②‎ ‎①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，此即为所有奇数项系数之和．‎ ‎(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9，‎ 令x＝1，y＝－1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝59，此即为各项系数绝对值之和．‎ 触类旁通 二项式定理中赋值法的应用 ‎(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．‎ ‎(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，‎ 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，‎ 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎【变式训练2】　(1)[2018·温州调研]已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，则a2＋a3＋…＋a9＋a10的值为(　　)‎ A．－20 B．0 ‎ C．1 D．20‎ 答案　D 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C×21×(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20.‎ ‎(2)在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为________．‎ 答案　9‎ 解析　令x＝1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.‎ 所以二项展开式的通项Tr＋1＝C()3－rr＝3rCx ，显然当r＝1时，Tr＋1是常数项，值为3C＝9.‎ 考向　项的系数的最值问题 例　3　[2018·宜昌高三测试]已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.‎ ‎(1)求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项．‎ 解　令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.‎ 又展开式中二项式系数和为2n.∴＝2n＝32，n＝5.‎ ‎(1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，‎ T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.‎ ‎(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，‎ 则由Tk＋1＝C(x)5－k(3x2)k＝3kCx，‎ 得∴≤k≤，∴k＝4，‎ ‎ 即展开式中系数最大的项为T5＝C(x)(3x2)4＝405x.‎ 触类旁通 ‎1．求二项式系数最大项 ‎(1)如果n是偶数，那么中间一项(第项)的二项式系数最大；‎ ‎(2)如果n是奇数，那么中间两项(第项与第项)的二项式系数相等并最大．‎ ‎2．求展开式系数最大项 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k 项系数最大，应用 从而解出k来，即得．‎ ‎【变式训练3】　(1)若n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)‎ A．180 B．120 ‎ C．90 D．45‎ 答案　A 解析　只有第6项的二项式系数最大，可知n＝10，于是展开式通项为Tr＋1＝C()10－rr＝2rC·x，令5－＝0，得r＝2，所以常数项为22C＝180.故选A.‎ ‎(2)若x∈(0，＋∞)，则(1＋2x)15的二项展开式中系数最大的项为第________项．‎ 答案　11‎ 解析　Tr＋1＝C2rxr，由 解得≤r≤，故r＝10，所以第11项的系数最大．‎ 考向　二项式定理的应用 命题角度1　n个多项式积的展开式问题 例　4　[2017·全国卷Ⅰ](1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)‎ A．15　 B．20　 ‎ C．30　 D．35‎ 答案　C 解析　因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.‎ 因为C＋C＝2C＝2×＝30，‎ 所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.‎ 故选C.‎ ‎【变式训练4】　[2017·全国卷Ⅲ](x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－40 ‎ C．40 D．80‎ 答案　C 解析　因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，‎ x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.‎ 所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C.‎ 命题角度2　与整除有关的问题 例　5　[2018·潍坊模拟]设a∈Z，且0≤a<13，若512018＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．1 ‎ C．11 D．12‎ 答案　D 解析　由于51＝52－1，(52－1)2018＝C522018－C522017＋…－C521＋1，又由于13整除52，所以只需13整除1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.‎ 命题角度3　求近似值的问题 例　6　求0.9986的近似值，使误差小于0.001.‎ 解　0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，‎ ‎∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00006<0.001，‎ 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，‎ ‎∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，‎ 即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.‎ 触类旁通 二项式定理应用的题型及解法 ‎(1)对于多项式积的特定项问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏．‎ ‎(2)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．‎ ‎(3)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.‎ ‎【变式训练5】　99100＋1除以1000的余数是________．‎ 答案　2‎ 解析　99100＋1＝(100－1)100＋1‎ ‎＝C×100100＋(－C×10099)＋…＋(－C×100)＋C×1＋1‎ ‎＝100100－100×10099＋…－10000＋2，‎ 从第一项到倒数第二项都能被1000整除，‎ ‎∴余数是2.‎ 核心规律 ‎1.二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数时，要根据通项公式讨论对k的限制．‎ ‎2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以，在解题时，根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．‎ 满分策略 ‎1.注意(a＋b)n与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．‎ ‎2.解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．‎ ‎3.切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念.‎ 板块三　启智培优·破译高考 题型技法系列17——拆分法破解三项展开式中特定项(系数)问题 ‎ [2015·全国卷Ⅰ](x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ 解题视点　利用拆分法，(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，将(x2＋x)看作一项，应用二项式定理求解．‎ 解析　由二项展开式通项易知Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由Tt＋1＝C(x2)3－t·xt＝Cx6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.‎ 答案　C 答题启示　二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解.‎ 跟踪训练 ‎(1)(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为(　　)‎ A．－210 B．210 ‎ C．30 D．－30‎ 答案　A 解析　(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，所以含x3项的系数为：－CC＋C(－C)＝－210.故选A.‎ ‎(2)[2018·安徽安庆模拟]将3展开后，常数项是________．‎ 答案　－160‎ 解析　3＝6展开后的通项是 C()6－k·k＝(－2)k·C()6－2k.‎ 令6－2k＝0，得k＝3.‎ 所以常数项是C(－2)3＝－160.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．已知n(n∈N*)的展开式中含a3的项为第3项，则n的值为(　　)‎ A．2 B．6 ‎ C．12 D．24‎ 答案　C 解析　∵T3＝Ca2＝Ca，∴－3＝3，得n＝12.故选C.‎ ‎2．[2018·湖北模拟]若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)‎ A．2 B. ‎ C．1 D. 答案　C 解析　Tr＋1＝C·(2x)7－r·r＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1.故选C.‎ ‎3．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)‎ A．56 B．84 ‎ C．112 D．168‎ 答案　D 解析　因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为C，(1＋y)4的展开式中y2的系数为C，所以x2y2的系数为CC＝168.故选D.‎ ‎4．已知(1－2x)n展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为(　　)‎ A．71 B．70 ‎ C．21 D．49‎ 答案　B 解析　因为奇数项的二项式系数之和为2n－1，所以2n－1＝64，n＝7，因此(1－2x)n(1＋x)的展开式中含x2项的系数为C(－2)2＋C(－2)＝70.故选B.‎ ‎5．若5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(　　)‎ A．－40 B．－20 ‎ C．20 D．40‎ 答案　D 解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.‎ ‎∴5的通项为Tr＋1＝C·(2x)5－r·r＝(－1)r·25－r·C·x5－2r.‎ 令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.‎ ‎∴展开式的常数项为(－1)2×23·C＋(－1)3· 22·C＝80－40＝40.‎ ‎6．[2018·遵义四中月考](2－)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　)‎ A．－1 B．0 ‎ C．1 D．2‎ 答案　B 解析　二项式的通项Tk＋1＝C28－k(－1)k()k＝C28－k·(－1)kx，令k＝8，则T9＝C(－1)8x4＝x4，∴x4的系数为1，令x＝1，得展开式的所有项系数和为(2－1)8＝1，∴不含x4项的系数的和为0.选B.‎ ‎7．[2018·衡水模拟]已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于(　　)‎ A．180 B．90 ‎ C．－5 D．5‎ 答案　A 解析　(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝C210－r·(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．∴a8＝C22(－1)8＝180.故选A.‎ ‎8．设a＝sinxdx，则二项式6展开式中的常数项是________．‎ 答案　－160‎ 解析　a＝sinxdx＝(－cosx)|＝2，‎ Tr＋1＝C(2)6－rr＝C26－r(－1)rx3－r，‎ 令3－r＝0，则r＝3.‎ 所以二项展开式中常数项为－C·23＝－160.‎ ‎9．[2018·唐山模拟]S＝C＋C＋…＋C除以9的余数为________．‎ 答案　7‎ 解析　依题意S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1＝9×(C×98－C×97＋…＋C)－2.∵C×98－C×97＋…＋C是正整数，∴S被9除的余数为7.‎ ‎10．[2015·全国卷Ⅱ](a＋x)(1＋x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.‎ 答案　3‎ 解析　设f(x)＝(a＋x)(1＋x)4，则其展开式的所有项的系数和为f(1)＝(a＋1)·(1＋1)4＝(a＋1)×16，∵展开式中x的奇数次幂项的系数和为[f(1)－f(－1)]，又f(－1)＝0，∴×(a＋1)×16＝32，∴a＝3.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．[2018·山西四校联考]若n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于(　　)‎ A．3 B．4 ‎ C．5 D．6‎ 答案　C 解析　Tr＋1＝C(x6)n－rr＝Cx，当Tr＋1是常数项时，6n－＝0，即n＝，又n∈N*，故n的最小值为5.故选C.‎ ‎2．[2018·福建厦门联考]在10的展开式中，x2的系数为(　　)‎ A．10 B．30 ‎ C．45 D．120‎ 答案　C 解析　因为10＝10＝(1＋x)10＋C(1＋x)9＋…＋C10，所以x2只出现在(1＋x)10的展开式中，所以含x2的项为Cx2，系数为C＝45.故选C.‎ ‎3．[2017·浙江高考]已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.‎ 答案　16　4‎ 解析　a4是x项的系数，由二项式的展开式得 a4＝C·C·2＋C·C·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4.‎ ‎4．已知n的展开式中前三项的系数成等差数列．‎ ‎(1)求n的值；‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项．‎ 解　(1)由题设，得C＋·C＝2×·C，‎ 即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，n＝1(舍去)．‎ ‎(2)设第r＋1的系数最大，则 即解得2≤r≤3.‎ 所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x.‎ ‎5．[2018·焦作模拟]已知n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.‎ ‎(1)求展开式中各项系数的和；‎ ‎(2)求展开式中含x的项；‎ ‎(3)求展开式中二项式系数最大的项．‎ 解　由题意知，第五项系数为C·(－2)4，‎ 第三项的系数为C·(－2)2，则有＝，‎ 化简得n2－5n－24＝0，‎ 解得n＝8或n＝－3(舍去)．‎ ‎(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.‎ ‎(2)通项公式Tk＋1＝C·()8－k·(－)k＝C·(－2)k·x，令－2k＝，则k＝1.‎ 故展开式中含x的项为T2＝－16x.‎ ‎(3)由n＝8知第五项二项式系数最大，‎ 此时T5＝1120x－6.‎