【数学】2020届一轮复习(理)通用版选修4-4-1坐标系学案

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【数学】2020届一轮复习(理)通用版选修4-4-1坐标系学案

第一节坐标系 ‎1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),‎ 称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系的概念 ‎(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.‎ 极坐标系的四要素:极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向.四者缺一不可. ‎ ‎(2)极坐标 ‎①极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.‎ 由极径的意义知ρ>0时,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)建立一一对应关系.约定极点的极坐标是极径ρ=0,极角可取任意角.‎ ‎②极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.‎ ‎③极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).‎ 一般不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.‎ ‎④极坐标与直角坐标的重要区别:多值性.‎ ‎3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:‎ 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.‎ 把直角坐标化为极坐标时,一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围,以便正确求出极角,否则点的极坐标将不唯一.‎ ‎4.简单曲线的极坐标方程 曲线 极坐标方程 圆心为极点,半径为r的圆 ρ=r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0),半径为r的圆 ρ=2rcos θ 圆心为,半径为r的圆 ρ=2rsin θ(0≤θ<π)‎ 过极点,倾斜角为α的直线 θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)‎ 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ρcos θ=a 过点,与极轴平行的直线 ρsin θ=a(0<θ<π)‎ ‎[小题查验基础]‎ 一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.(  )‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.(  )‎ ‎(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.(  )‎ ‎(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ 二、选填题 ‎1.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为(  )‎ A.ρ= B.ρ= C.ρ=cos θ+sin θ D.ρ=cos θ+sin θ 解析:选A ∵y=1-x(0≤x≤1),‎ ‎∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1),‎ ‎∴ρ=.‎ ‎2.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是(  )‎ A.         B. C.(1,0) D.(1,π)‎ 解析:选B 由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.‎ ‎3.在极坐标系中,已知点P,则过点P且平行于极轴的直线方程是(  )‎ A.ρsin θ=1 B.ρsin θ= C.ρcos θ=1 D.ρcos θ= 解析:选A 先将极坐标化成直角坐标表示,P转化为直角坐标为x=ρcos θ=2cos =,y=ρsin θ=2sin =1,即(,1),过点(,1)且平行于x轴的直线为y=1,再化为极坐标为ρsin θ=1.‎ ‎4.若点P的直角坐标为(3,-),则点P的极坐标为______.‎ 解析:因为点P(3,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.‎ 答案: ‎5.在极坐标系中A,B两点间的距离为________.‎ 解析:法一:(数形结合)在极坐标系中,A,B两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6.‎ 法二:∵A,B的直角坐标为A(1,-),B(-2,2).‎ ‎∴|AB|==6.‎ 答案:6‎ 考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 [基础自学过关]‎ ‎[题组练透]‎ ‎1.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ: ‎(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标;‎ ‎(2)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l′的方程.‎ 解:(1)设点A′(x′,y′),由伸缩变换φ: 得∴ ‎∴点A′的坐标为(1,-1).‎ ‎(2)设P′(x′,y′)是直线l′上任意一点.‎ 由伸缩变换φ:得 代入y=6x,得2y′=6×=2x′,即y′=x′,‎ ‎∴y=x为所求直线l′的方程.‎ ‎2.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:(λ,μ>0),求λ,μ的值.‎ 解:将变换后的椭圆+=1改写为+=1,把伸缩变换公式φ:(λ,μ>0)代入上式,‎ 得+=1,即2x2+2y2=1,‎ 与x2+y2=1‎ 比较系数,得所以 ‎[名师微点]‎ 伸缩变换后方程的求法及注意点 ‎(1)平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下的变换方程的求法是将代入y=f(x),整理得y′=h(x′)即为所求.‎ ‎(2)解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解;二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P′(x′,y′)的坐标关系,用方程思想求解.‎ 考点二 极坐标与直角坐标的互化 [师生共研过关]‎ ‎[典例精析]‎ 在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin=(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.‎ ‎[解] (1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,‎ 故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,‎ 直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,‎ 则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,‎ 将两方程联立得解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),‎ 转化为极坐标为,‎ 故直线l与圆O的公共点的极坐标为.‎ ‎[解题技法]‎ ‎1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.‎ ‎2.极角的确定方法 由tan θ确定角θ时,应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意:当x≠0时,θ角才能由tan θ=按上述方法确定.当x=0时,tan θ没有意义,这时可分三种情况处理:当x=0,y=0时,θ可取任何值;当x=0,y>0时,可取θ=;当x=0,y<0时,可取θ=.‎ ‎[过关训练]‎ 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ 解:(1)由ρ=2知ρ2=4,‎ 所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.‎ 因为ρ2-2ρcos=2,‎ 所以ρ2-2ρ=2,‎ 所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减,‎ 得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,‎ 即ρsin=.‎ 考点三 极坐标方程的应用 [师生共研过关]‎ ‎[典例精析]‎ ‎(2019·安徽名校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为x2+(y-2)2=4.以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,且在两坐标系下长度单位相同.M为曲线C1上异于极点的动点,点N在射线OM上,且|ON|·|OM|=20,记点N的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)根据极坐标方程,判断曲线C1,C2的位置关系.‎ ‎[解] (1)曲线C1的直角坐标方程是x2+(y-2)2=4,‎ 即x2+y2=4y.‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得ρ2=4ρsin θ.‎ 故曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ.‎ 设N(ρ,θ),M(ρ1,θ),由|ON|·|OM|=20,‎ 即ρ·ρ1=20,得ρ1=.‎ 又ρ1=4sin θ,所以=4sin θ,所以ρsin θ=5.‎ 故曲线C2的极坐标方程为ρsin θ=5.‎ ‎(2)由得sin2θ=,无实数解,因此曲线C1和曲线C2没有公共点,易知曲线C1是圆,曲线C2是直线,‎ 所以C1与C2相离.‎ ‎[解题技法]‎ 利用极坐标系解决问题的技巧 ‎(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.‎ ‎(2)已知极坐标方程解答最值问题时,通常可转化为三角函数模型求最值问题,这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.‎ ‎(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时,只需联立曲线的极坐标方程得方程组,判断方程组解的情况即可.‎ ‎[提醒] 在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性.‎ ‎[过关训练]‎ ‎(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,‎ x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.‎ 由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=时,l2与C2没有公共点.‎ 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.‎ ‎ ‎1.在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程; ‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ 解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,‎ C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.‎ ‎(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,‎ 得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.‎ 故ρ1-ρ2=,即|MN|=.‎ 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.‎ ‎2.(2019·黄冈调研)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.‎ 解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),‎ 由题意知,|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=.‎ 由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ>0),化简得ρ=cos θ+sin θ,因此C2的直角坐标方程为2+2=1,但不包括点(0,0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),‎ 由题意知,|OA|=2,ρB=2cos,‎ 于是△AOB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB ‎=2cos·=2≤.‎ 当α=0时,S取得最大值.所以△AOB面积的最大值为.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ 解:(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,‎ 得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.‎ ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,‎ 由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,‎ 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.‎ 当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.‎ 所以a=1.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中,圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=5.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)在圆上找一点A,使它到直线l的距离最小,并求点A的极坐标.‎ 解:(1)x2+(y-1)2=1即x2+y2-2y=0,‎ 因为ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ2=2ρsin θ,即ρ=2sin θ.‎ ρ(cos θ+sin θ)=5即ρcos θ+ρsin θ=5,‎ 因为ρcos θ=x,ρsin θ=y,‎ 所以直线l的直角坐标方程为y=-x+5.‎ ‎(2)曲线C:x2+(y-1)2=1是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆.设圆上点A(x0,y0)到直线l:y=-x+5的距离最小,所以圆C在点A处的切线与直线l:y=-x+5平行.‎ 即直线CA与l的斜率的乘积等于-1,‎ 即×(-)=-1.①‎ 因为点A在圆上,所以x+(y0-1)2=1,②‎ 联立①②可解得x0=-,y0=或x0=,y0=.‎ 所以点A的坐标为或.‎ 又因为圆上点A到直线l:y=-x+5的距离最小,‎ 所以点A的坐标为,‎ 点A的极径为 =,极角θ满足tan θ=且θ为第一象限角,则可取θ=.‎ 所以点A的极坐标为.‎ ‎5.(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(α 为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)设l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.‎ 解:(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,‎ 即x2+y2-6x-8y=0.‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ+8sin θ.‎ ‎(2)设A,B.‎ 把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ1=4+3,‎ ‎∴A.‎ 把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ2=3+4,‎ ‎∴B.‎ ‎∴S△AOB=ρ1ρ2sin∠AOB ‎=sin ‎=12+.‎ ‎6.(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.‎ 解:(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,‎ 则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+7=0.‎ 由于直线C2过原点,且倾斜角为,‎ 故其极坐标方程为θ=(ρ∈R).‎ ‎(2)由 得ρ2-(2+2)ρ+7=0,‎ 设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,‎ 则ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,‎ ‎∴+===.‎ ‎7.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),曲线C2:+=1.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(且A,B均异于原点O),当0<α<时,求|OB|2-|OA|2的最小值.‎ 解:(1)易知曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,‎ 所以C1的极坐标方程为ρ=2cos θ,‎ C2的极坐标方程为ρ2=.‎ ‎(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=4cos2α,‎ 联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=,‎ 则|OB|2-|OA|2=-4cos2α=-4(1-sin2α)=+4(1+sin2α)-8‎ ‎≥2-8=8-8,‎ 当且仅当sin α=时取等号,‎ 所以|OB|2-|OA|2的最小值为8-8.‎ ‎8.(2019·湖南长郡中学模拟)在直角坐标系中,已知曲线M的参数方程为(β为参数),在极坐标系中,直线l1的方程为α1=θ,直线l2的方程为α2=θ+.‎ ‎(1)写出曲线M的普通方程,并指出它是什么曲线;‎ ‎(2)设l1与曲线M交于A,C两点,l2与曲线M交于B,D两点,求四边形ABCD面积的取值范围.‎ 解:(1)由(β为参数),消去参数β,得曲线M的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=8,‎ ‎∴曲线M是以(1,1)为圆心,2为半径的圆.‎ ‎(2)设|OA|=ρ1,|OC|=ρ2,‎ ‎∵O,A,C三点共线,‎ 则|AC|=|ρ1-ρ2|=(*),‎ 将曲线M的方程化成极坐标方程,得ρ2-2ρ(sin θ+cos θ)-6=0,‎ ‎∴ 代入(*)式得|AC|=.‎ 用θ+代替θ,得|BD|=,‎ 又l1⊥l2,‎ ‎∴S四边形ABCD=|AC|·|BD|‎ ‎= ‎=2,‎ ‎∵sin22θ∈[0,1],∴S四边形ABCD∈[8,14].‎
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