2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第16讲导数与函数的单调性课件
第
16
讲 导数与函数的单调性
课标要求
考情风向标
1.
结合实例，借助几何直观探索并了解函
数的单调性与导数的关系；能利用导数研
究函数的单调性，会求不超过三次的多项
式函数的单调区间
.
2.
结合函数的图象，了解函数在某点取得
极值的必要条件和充分条件；会用导数求
不超过三次的多项式函数的极大值、极小
值，以及闭区间上不超过三次的多项式函
数最大值、最小值；体会导数方法在研究
函数性质中的一般性和有效性
本节复习时，应理顺
导数与函数的关系，
体会导数在解决函
数有关问题时的工
具性作用
.
本节知识往往与其
他知识结合命题，如
不等式知识等，还应
注意分类讨论思想
的应用
1.
函数的单调性
函数
y
＝
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内可导，则：
单调递减
(1)
若
f
′(
x
)>0
，则
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内单调递增；
(2)
若
f
′(
x
)<0
，则
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内
__________.
2.
函数的极值
f
′
(
x
)
＜
0
f
′
(
x
)
＞
0
(1)
判断
f
(
x
0
)
是极值的方法：
一般地，当函数
f
(
x
)
在点
x
0
处连续时，
①
如果在
x
0
附近的左侧
f
′
(
x
)
＞
0
，右侧
f
′
(
x
)
＜
0
，那么
f
(
x
0
)
是极大值；
②
如果在
x
0
附近的左侧
____________
，右侧
___________
，那么
f
(
x
0
)
是极小值
.
(2)
求可导函数极值的步骤：
①
求
f
′
(
x
)
；
②
求方程
f
′
(
x
)
＝
0
的根；
极小值
③
检查
f
′
(
x
)
在方程
f
′(
x
)
＝
0
的根的左、右值的符号
.
如果
左正右负，那么
f
(
x
)
在这个根处取得极大值；如果左负右正，那
么
f
(
x
)
在这个根处取得
__________
；如果左右两侧符号一样，那
么这个根不是极值点
.
3.
函数的最值
(1)
函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上有最值的条件：
如果在区间
[
a
，
b
]
上，函数
y
＝
f
(
x
)
的图象是一条连续不断
的曲线，那么它必有最大值和最小值
.
(2)①
若函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上单调递增，则
f
(
a
)
为函数的最小
值，
f
(
b
)
为函数的最
大值；
②
若函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上单调递减，则
f
(
a
)
为函数的最大值，
f
(
b
)
为函数的最小值
.
(3)
求
y
＝
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上的最大
(
小
)
值的步骤：
①
求函数
y
＝
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内的极值；
极值
②
将函数
y
＝
f
(
x
)
的各
________
与端点值比较，其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值
.
1.
如图
2-16-1
是函数
f
(
x
)
的导函数
f
′
(
x
)
的图象，则下列判
断中正确的是
(
)
A
图
2-16-1
A.
函数
f
(
x
)
在区间
(
－
3,0)
上是减函数
B.
函数
f
(
x
)
在区间
(1,3)
上是减函数
C.
函数
f
(
x
)
在区间
(0,2)
上是减函数
D.
函数
f
(
x
)
在区间
(3,4)
上是增函数
D
2.
函数
f
(
x
)
＝
(
x
－
3)e
x
的单调递增区间是
(
)
A.(
－∞，
2)
B.(0,3)
D.(2
，＋∞
)
C.(1,4)
解析：
f
′
(
x
)
＝
(
x
－
3)
′
e
x
＋
(
x
－
3)(e
x
)
′
＝
(
x
－
2)e
x
，令
f
′
(
x
)>0
，解得
x
>2
，故选
D.
3.
函数
f
(
x
)
＝
x
2
－
2ln
x
的单调递减区间是
(
)
B.(1
，＋∞
)
A.(0,1)
C.(
－∞，
1)
D.(
－
1,1)
A
1<
x
0
，
即
x
2
＋
2
x
－
3<0.
解得－
3<
x
<1.
∴
f
(
x
)
的单调递增区间为
(
－
3,1).
故
选
D.
答案：
D
(3)
在
R
上可导的函数
f
(
x
)
的图象如图
2-16-3
，则关于
x
的
不等式
xf
′(
x
)<0
的解集为
(
)
图
2-16-3
A.(
－∞，－
1)∪(0,1)
B.(
－
1,0)∪(1
，＋∞
)
C.(
－
2
，－
1)∪(1,2)
D.(
－∞，－
2)∪(2
，＋∞
)
解析：
在
(
－∞，－
1)
和
(1
，＋∞
)
上，
f
(
x
)
递增，∴
f
′(
x
)>0
，
使
xf
′(
x
)<0
的范围为
(
－∞，－
1)
；
在
(
－
1,1)
上，
f
(
x
)
递减，∴
f
′(
x
)<0
，使
xf
′(
x
)<0
的范围为
(0,1).
综上，关于
x
的不等式
xf
′(
x
)<0
的解集为
(
－∞，－
1)∪
(0,1).
答案：
A
【
规律方法
】
求函数的单调区间与函数的极值时要养成列
表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能
.
如果一个
函数在给定的定义域上单调区间不止一个，这些区间之间一般
不能用并集符号
“
∪
”
连接，只能用
“
，
”
或
“
和
”
字隔开
.
考点
2
含参数函数的单调性
例
2
：
已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
－
ax
－
1.
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性；
(2)
若
f
(
x
)
在
R
上为增函数，求实数
a
的取值范围；
(3)
若
f
(
x
)
在区间
(1
，＋∞
)
上为增函数，求实数
a
的取值
范围；
(4)
若
f
(
x
)
在区间
(
－
1,1)
上为减函数，试求实数
a
的取值
范围；
(5)
若
f
(
x
)
的单调递减区间为
(
－
1,1)
，求实数
a
的值；
(6)
若
f
(
x
)
在区间
(
－
1,1)
上不单调，求实数
a
的取值范围
.
(3)
∵
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
a
，且
f
(
x
)
在区间
(1
，＋
∞
)
上为增函数，
∴
f
′
(
x
)
≥
0
在
(1
，＋
∞
)
上恒成立，
即
3
x
2
－
a
≥
0
在
(1
，＋
∞
)
上恒成立
.
∴
a
≤
3
x
2
在
(1
，＋
∞
)
上恒成立
.
∴
a
≤
3.
即实数
a
的取值范围为
(
－
∞
，
3].
(4)
由
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
a
≤
0
在
(
－
1,1)
上恒成立，得
a
≥
3
x
2
在
(
－
1,1)
上恒成立
.
∵
－
1
＜
x
＜
1
，
∴
3
x
2
＜
3.
∴
a
≥
3.
即当实数
a
的取值范围为
[3
，＋
∞
)
时，
f
(
x
)
在
(
－
1,1)
上为减函数
.
【
规律方法
】
若可导函数
f
(
x
)
在指定的区间
D
上单调递增
(
减
)
，求参数取值范围问题：
(1)
转化为
f
′
(
x
)
≥
0[
或
f
′
(
x
)
≤
0]
恒成立问题，从而构建不等式，要注意“
＝
”
是否可以取到；
(2)
利用集合间的包含关系处理：
y
＝
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
上单调，则区
间
(
a
，
b
)
是相应单调区间的子集
.
【
跟踪训练
】
答案：
C
思想与方法
⊙
运用分类讨论思想讨论函数的单调性
例题：
(2016
年新课标
Ⅰ
)
已知函数
f
(
x
)
＝
(
x
－
2)e
x
＋
a
(
x
－
1)
2
.
(1)
讨论
f
(
x
)
的单调性；
(2)
若
f
(
x
)
有两个零点，求实数
a
的取值范围
.
解：
(1)
f
′
(
x
)
＝
(
x
－
1)e
x
＋
2
a
(
x
－
1)
＝
(
x
－
1)(e
x
＋
2
a
).
①
设
a
≥
0
，则当
x
∈
(
－
∞
，
1)
时，
f
′
(
x
)<0
；
当
x
∈(1
，＋∞
)
时，
f
′
(
x
)>0.
∴
f
(
x
)
在
(
－∞，
1)
上单调递减，在
(1
，＋∞
)
上单调递增
.
故当
x
∈(
－∞，
1)∪(ln(
－
2
a
)
，＋∞
)
时，
f
′(
x
)>0
；
当
x
∈(1
，
ln(
－
2
a
))
时，
f
′(
x
)<0.
∴
f
(
x
)
在
(
－∞，
1)
，
(ln(
－
2
a
)
，＋∞
)
上单调递增，在
(1
，
ln(
－
2
a
))
上单调递减
.
(2)①
设
a
>0
，则由
(1)
知，
f
(
x
)
在
(
－∞，
1)
上单调递减，在
(1
，＋∞
)
上单调递增
.
故
f
(
x
)
在
(1
，＋∞
)
上至多有一个零点，在
(
－∞，
1)
上至多
有一个零点
.
【
规律方法
】
本题第一问是用导数研究函数单调性，对含
有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，
要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数
取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，
越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适
当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解
.
【
跟踪训练
】
(1)
若函数
f
(
x
)
在
[1
，＋∞
)
上为增函数，求正实数
a
的取值
范围；
(2)
讨论函数
f
(
x
)
的单调性
.
1.
利用导数求函数单调区间的基本步骤是：
(1)
确定函数
f
(
x
)
的定义域；
(2)
求导数
f
′(
x
)
；
(3)
由
f
′(
x
)
＞
0(
或＜
0)
解出相应的
x
的取值范围
.
当
f
′(
x
)
＞
0
时，
f
(
x
)
在相应的区间内是单调递增函数；当
f
′(
x
)
＜
0
时，
f
(
x
)
在相应的区间内是单调递减函数
.
一般需要通过列表，写出函数的单调区间
.
2.
已知单调性求解参数取值范围的步骤为：
(1)
对含参数的函数
f
(
x
)
求导，得到
f
′(
x
)
；
(2)
若函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上单调递增，则
f
′(
x
)
≥
0
恒成立；
若函数
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
上单调递减，则
f
′(
x
)
≤
0
恒成立，得到关
于参数的不等式，解出参数取值范围；
(3)
验证参数取值范围中取等号时，是否恒有
f
′(
x
)
＝
0.
若
f
′(
x
)
＝
0
恒成立，则函数
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
上为常数函数，舍去此参
数值
.
3.
求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，
可使问题直观且有条理，减少失分的可能
.
如果一个函数在给定
定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集
符号“
∪
”
连接，只能用
“
，
”
或
“
和
”
字隔开
.
