【数学】2018届一轮复习人教A版 命题及其关系充分条件与必要条件 学案

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第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎———————————————————————————————— ‎ ‎[考纲传真]　1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．‎ ‎1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．‎ ‎2．四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 图121‎ ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎3．充分条件与必要条件 ‎(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．‎ ‎(3)如果pDq，且qDp，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎4．集合与充要条件 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：‎ ‎(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．‎ ‎(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．‎ ‎(3)若A＝B，则p是q的充要条件．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<‎0”‎是命题．(　　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)‎ ‎(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)‎ ‎(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．‎ ‎(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．‎ ‎(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．‎ ‎(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)命题“若α＝，则tan α＝‎1”‎的逆否命题是(　　)‎ A．若α≠，则tan α≠1‎ B．若α＝，则tan α≠1‎ C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ C　[“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则 綈p”，显然綈q：tan α ‎≠1，綈p：α≠，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．]‎ ‎3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝‎3”‎是“A⊆B”的(　　) ‎ ‎【导学号：31222005】‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.‎ 但A⊆B时，a＝2或3.‎ ‎∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]‎ ‎4．命题“若a＞－3，则a＞－‎6”‎以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　 B．2 ‎ C．3　　　　 D．4‎ B　[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－‎3”‎是假命题，从而其否命题也是假命题．‎ 因此4个命题中有2个假命题．]‎ ‎5．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C　[当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；‎ 若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y. ‎ 所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．]‎ 四种命题的关系及其真假判断 ‎　(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝‎4”‎的逆否命题及其真假性为 ‎(　　)‎ A．“若x＝4，则x2－3x－4＝‎0”‎为真命题 B．“若x≠4，则x2－3x－4≠‎0”‎为真命题 C．“若x≠4，则x2－3x－4≠‎0”‎为假命题 D．“若x＝4，则x2－3x－4＝‎0”‎为假命题 ‎(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，假，真　　　　 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 ‎(1)C　(2)B　[(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．‎ ‎(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．‎ 当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．]‎ ‎[规律方法]　1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．‎ ‎2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．‎ ‎3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．‎ ‎[变式训练1]　原命题为“若＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)‎ A．真，真，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 A　[由＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an.‎ 所以当＜an时，必有an＋1＜an，‎ 则{an}是递减数列．‎ 反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，‎ 从而有＜an.‎ 所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]‎ 充分条件与必要条件的判断 ‎　(1)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则(　　)‎ A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎(2)设x∈R，则“1＜x＜‎2”‎是“|x－2|＜‎1”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(1)C　(2)A　[(1)当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，‎ 比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．‎ 由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.‎ 综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．‎ ‎(2)|x－2|＜1⇔1＜x＜3.‎ 由于{x|1＜x＜2}是{x|1＜x＜3}的真子集，‎ 所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要条件．]‎ ‎[规律方法]　充分条件、必要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．‎ ‎(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．‎ ‎(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．‎ ‎[变式训练2]　(2016·武汉模拟)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝‎1”‎是“N⊆M”的(　　) 【导学号：31222006】‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若a＝1，则集合N＝{1}，此时满足N⊆M.若N⊆M，则a2＝1或2，所以a＝±1或a＝±.故“a＝‎1”‎是“N⊆M”的充分不必要条件．]‎ 充分条件、必要条件的应用 ‎　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．‎ ‎[解]　由x2－8x－20≤0得 ‎－2≤x≤10，‎ ‎∴P＝{x|－2≤x≤10}.3分 ‎∵x∈P是x∈S的必要条件，‎ 则S⊆P，‎ ‎∴∴0≤m≤3.8分 综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.12分 ‎[迁移探究1]　本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．‎ ‎[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.2分 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，‎ ‎∴8分 ‎∴ 这样的m不存在.12分 ‎[迁移探究2]　本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．‎ ‎∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，‎ ‎∴P⇒S且SDP，4分 ‎∴[－2,10][1－m,1＋m]，‎ ‎∴或8分 ‎∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞).12分 ‎[规律方法]‎ ‎　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2017·长沙模拟)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．‎ ‎(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．‎ ‎(1)(0,3)　(2)a≤0或a＝1　[(1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|00，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)‎ A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0‎ B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0‎ C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0‎ D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0‎ D　[根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤‎0”‎．]‎ ‎2．(2017·杭州调研)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的(　　) 【导学号：31222007】‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]‎ ‎3．“x＝‎1”‎是“x2－2x＋1＝‎0”‎的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A　[因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝‎1”‎是“x2－2x＋1＝‎0”‎的充要条件．]‎ ‎4．给出下列命题：‎ ‎①“若a21，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．‎ 其中正确的命题是(　　)‎ A．③④ B．①③ ‎ C．①② D．②④‎ A　[对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－‎12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]‎ ‎5．(2017·南昌调研)m＝－1是直线mx＋(‎2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋9＝0垂直的(　　) 【导学号：31222008】‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由直线mx＋(‎2m－1)y＋1＝0与3x＋my＋9＝0垂直可知‎3m＋m(‎2m－1)＝0，∴m＝0或m＝－1，∴m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．]‎ ‎6．设p：11，则p是q成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由2x>1，得x>0，所以p⇒q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．]‎ ‎7．已知条件p：x2－2ax＋a2－1>0，条件q：x>2，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)‎ A．a≥1 B．a≤1‎ C．a≥－3 D．a≤－3‎ B　[条件p：x>a＋1或x2，‎ 又q是p的充分不必要条件，‎ 故q⇒p，pDq，所以a＋1≤2，即a≤1.]‎ 二、填空题 ‎8．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc‎2”‎与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________. ‎ ‎【导学号：31222009】‎ ‎2　[由a＞bac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.‎ 所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．‎ 从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]‎ ‎9．“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．‎ 充分不必要　[x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，‎ 即m≤，因为m＜⇒m≤，反之不成立．‎ 故“m＜”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]‎ ‎10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(4，＋∞)　[A＝{x|x＜4}，由题意知AB，所以a＞4.]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·西安调研)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝‎0”‎的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.‎ 由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立．]‎ ‎2．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x>1，且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[∵∴x＋y>2，即p⇒q.‎ 而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即qD⇒/p.故p是q的充分不必要条件．]‎ ‎3．有下列几个命题：‎ ‎①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；‎ ‎②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；‎ ‎③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎②③　[①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b‎2”‎错误．‎ ‎②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．‎ ‎③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．]‎ ‎4．已知不等式|x－m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则实数m的取值范围是________. 【导学号：31222010】‎ 　[由|x－m|＜1得－1＋m＜x＜1＋m，‎ 由题意知{x|－1＋m＜x＜1＋m}，‎ 所以解得－≤m≤，‎ 所以实数m的取值范围是.]‎