【数学】2019届一轮复习人教A版指数与指数函数学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版指数与指数函数学案

第六节指数与指数函数 ‎1.有理数指数幂 ‎(1)幂的有关概念:‎ ‎①正分数指数幂:‎ a=(a>0,m,n∈N*,且n>1).‎ ‎②负分数指数幂:‎ a-==(a>0,m,n∈N*,且n>1).‎ ‎③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义.‎ ‎(2)有理数指数幂的性质:‎ ‎①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);‎ ‎②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);‎ ‎③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).‎ ‎2.指数函数的图象与性质 函数 y=ax(a>0,且a≠1)‎ 图象 a>1‎ ‎00时,y>1‎ 当x<0时,y>1;‎ 当x>0时,00,且a≠1),则m0,且a≠1)的图象必经过点(  )‎ A.(0,1) B.(1,1)‎ C.(2,0) D.(2,2)‎ 解析:选D 由f(2)=a0+1=2,知f(x)的图象必过点(2,2).‎ ‎4.函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的图象可能是(  )‎ 答案:C ‎5.函数y= 的定义域是________.‎ 解析:要使该函数有意义,则解得x>0,所以定义域为(0,+∞).‎ 答案:(0,+∞)‎ ‎6.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为________.‎ 解析:∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴00,则下列等式成立的是(  )‎ A.(-2)-2=4      B.‎2a-3= C.(-2)0=-1 D.(a)4= 解析:选D 对于A,(-2)-2=,故A错误;对于B,‎2a-3=,故B错误;对于C,(-2)0=1,故C错误;对于D,(a)4=,故D正确.‎ ‎2.化简:=________.‎ 解析:原式==a·b=.‎ 答案: ‎3.化简:0+2-2×-(0.01)0.5=________.‎ 解析:原式=1+×-=1+×-=1+-=.‎ 答案: ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1.指数幂运算的一般原则 ‎(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.‎ ‎(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.‎ ‎(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.‎ ‎(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.‎ ‎2.易错提醒 ‎(1)分数指数幂中的指数不能随便约分,例如要将a写成a时必须认真考查a的取值才能决定,如(-1)==1,而(-1)=无意义.‎ ‎(2)结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有负分数指数幂,形式力求统一.‎      指数函数的图象是指数函数的基础,研究指数函数的关键是研究其图象.高考以考查其 图象辨析及应用为主,以选择题、填空题的形式考查,属于基础题.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(  )‎ A.a>1,b<0    ‎ B.a>1,b>0‎ C.00 ‎ D.01时,指数函数的图象呈上升趋势;当01时,代入不成立.故a的值为.‎ 答案: ‎3.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为________.‎ 解析:∵f(x)为偶函数,‎ 当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-4.‎ ‎∴f(x)= 当f(x-2)>0时,有或 解得x>4或x<0.‎ ‎∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}.‎ 答案:{x|x>4或x<0}‎ 角度(三) 探究指数型函数的性质 ‎4.已知函数f(x)=.‎ ‎(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)有最大值3,求a的值.‎ 解:(1)当a=-1时,f(x)=-,‎ 令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=t在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).‎ ‎(2)令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=g(x),‎ 由于f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,‎ 因此必有 解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.‎ ‎[题“根”探求]‎ 看个性 角度(一)是利用指数函数的性质比较幂值的大小,其方法是:先看能否化成同底数,能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小,不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小;‎ 角度(二)是利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式,其方法是:先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解;‎ 角度(三)是指数函数性质的综合应用,其方法是:首先判断指数型函数的性质,再利用其性质求解 找共性 以上问题都是指数型函数问题,关键应判断其单调性,对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:‎ ‎(1)若a>1,函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间;‎ ‎(2)若01,所以b0时,f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,此时-x<0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,此时-x>0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).即函数f(x)是奇函数,且单调递增,故选C.‎ ‎7.若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点A,则f(-1)=________.‎ 解析:依题意可知a2=,解得a=,‎ 所以f(x)=x,‎ 所以f(-1)=-1=.‎ 答案: ‎8.若函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=________.‎ 解析:当a>1时,f(x)=ax-1在[0,2]上为增函数,则a2-1=2,所以a=±.又因为a>1,所以a=.‎ 当0<a<1时,f(x)=ax-1在[0,2]上为减函数,又因为f(0)=0≠2,所以0<a<1不成立.‎ 综上可知,a=.‎ 答案: ‎9.不等式2>x+4的解集为________.‎ 解析:不等式2>x+4可化为 >x+4,等价于x2-2x0,且a≠1,若函数y=|ax-2|与y=‎3a的图象有两个交点,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:①当01时,作出函数y=|ax-2|的图象如图(2),若直线y=‎3a与函数y=|ax-2|(a>1)的图象有两个交点,则由图象可知0<‎3a<2,此时无解.‎ 所以实数a的取值范围是.‎ 答案: ‎6.已知函数f(x)=|x|-a.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)的最大值是,求a的值.‎ 解:(1)令t=|x|-a,则f(x)=t,不论a取何值,t在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,‎ 又y=t是单调递减的,‎ 所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0],‎ 单调递减区间是[0,+∞).‎ ‎(2)由于f(x)的最大值是,‎ 且=-2,‎ 所以g(x)=|x|-a应该有最小值-2,‎ 从而a=2.‎ ‎7.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若不等式x+x-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)∵f(x)=b·ax的图象过点A(1,6),B(3,24),‎ ‎∴ ‎②÷①得a2=4,又a>0且a≠1,‎ ‎∴a=2,b=3,‎ ‎∴f(x)=3·2x.‎ ‎(2)由(1)知x+x-m≥0在(-∞,1]上恒成立可转化为m≤x+x在(-∞,1]上恒成立.‎ 令g(x)=x+x,‎ 则g(x)在(-∞,1]上单调递减,‎ ‎∴m≤g(x)min=g(1)=+=,‎ 故所求实数m的取值范围是.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1.(2017·全国卷Ⅰ)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(  )‎ A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 解析:选D 设2x=3y=5z=k>1,‎ ‎∴x=log2k,y=log3k,z=log5k.‎ ‎∵2x-3y=2log2k-3log3k=- ‎===>0,‎ ‎∴2x>3y;‎ ‎∵3y-5z=3log3k-5log5k=- ‎===<0,‎ ‎∴3y<5z;‎ ‎∵2x-5z=2log2k-5log5k=- ‎===<0,‎ ‎∴5z>2x.∴5z>2x>3y.‎ ‎2.若函数f(x)=2|x+a|(a∈R)满足f(1-x)=f(1+x),f(x)在区间[m,n]上的最大值记为f(x)max,最小值记为f(x)min,若f(x)max-f(x)min=3,则n-m的取值范围是________.‎ 解析:因为函数f(x)=2|x+a|(a∈R)满足f(1-x)=f(1+x),所以f(x) 的图象关于直线x=1对称,‎ 所以a=-1,‎ 所以f(x)=2|x-1|.‎ 作出函数y=f(x)的图象如图所示.‎ 当m<n≤1或1≤m<n时,离对称轴越远,m与n差越小,由y=2x-1与y=21-x的性质知极限值为0.当m<1<n时,函数f(x)在区间[m,n]上的最大值与最小值的差为f(x)max-f(x)min=2|±2|-20=3,则n-m取得最大值是2-(-2)=4,所以n-m的取值范围是(0,4].‎ 答案:(0,4]‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1.化简4a·b÷的结果为(  )‎ A.-         B.- C.- D.-6ab 解析:选C 原式=4÷ab ‎=-6ab-1=-,故选C.‎ ‎2.函数y=的值域是(  )‎ A.(-∞,4) B.(0,+∞)‎ C.(0,4] D.[4,+∞)‎ 解析:选C 设t=x2+2x-1,则y=t.‎ 因为0<<1,所以y=t为关于t的减函数.‎ 因为t=(x+1)2-2≥-2,‎ 所以0<y=t≤-2=4,‎ 故所求函数的值域为(0,4].‎ ‎3.若函数f(x)=2x+b-1(b∈R)的图象不经过第二象限,则b的取值范围为(  )‎ A.[1,+∞) B.(-∞,1]‎ C.[0,+∞) D.(-∞,0]‎ 解析:选D 因为当x<0时,y=2x∈(0,1).‎ 又函数f(x)=2x+b-1(b∈R)的图象不经过第二象限,‎ 则有b-1≤-1,解得b≤0.故选D.‎ ‎4.(2018·湖北四市联考)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是(  )‎ 解析:选B y=|f(x)|=|2x-2|=易知函数y=|f(x)|的图象的分段点是x=1,且过点(1,0),(0,1),|f(x)|≥0.又|f(x)|在(-∞,1)上单调递减,故选B.‎ ‎5.已知函数f(x)=的值域是[-8,1],则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-3] B.[-3,0)‎ C.[-3,-1] D.{-3}‎ 解析:选B 当0≤x≤4时,f(x)∈[-8,1],当a≤x<0时,f(x)∈,所以-,-1[-8,1],即-8≤-<-1,即-3≤a<0.所以实数a的取值范围是[-3,0).‎ ‎6.不等式2>x+4的解集为________.‎ 解析:不等式2>x+4可化为>x+4,等价于x2-2x
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