【数学】2021届一轮复习人教版文49抛物线作业

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【数学】2021届一轮复习人教版文49抛物线作业

课时作业49 抛物线 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1.[2020·吉林辽源市田家炳中学调研]以直线x=1为准线的抛物线的标准方程为(  )‎ A.y2=2x B.y2=-2x C.y2=4x D.y2=-4x 解析:易知以直线x=1为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上,且抛物线开口向左,所以y2=-4x,故选D.‎ 答案:D ‎2.[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.8‎ 解析:由题意,知抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选D.‎ 答案:D ‎3.[2020·江西南昌一模]已知抛物线方程为x2=-2y,则其准线方程为(  )‎ A.y=-1 B.y=1‎ C.y= D.y=- 解析:由题意得,抛物线的准线方程为y=,故选C.‎ 答案:C ‎4.[2020·江西南昌高三期中]已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是(  )‎ A.2 B. C. D. 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,又p=1,‎ ‎∴x1+x2=3,∴点C的横坐标是=.故选C.‎ 答案:C ‎5.[2020·云南昆明调研]设点M为抛物线C:y2=4x的准线上一点(不同于准线与x轴的交点),过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C交于A,B两点,设MA,MF,MB的斜率分别为k1,k2,k3,则的值为(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.4 解析:‎ 不妨设点A在x轴上方,如图,由题意知,抛物线C的准线方程为x=-1,焦点F(1,0).将x=1代入抛物线C的方程得y=±2,所以A(1,2),B(1,-2).设点M的坐标为(-1,y0),则k1=,k2=,k3=,所以=2.故选A.‎ 答案:A 二、填空题 ‎6.[2020·长沙模拟]已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(3,0),P1,P2,…,P2017是抛物线C上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,x2 017,若x1+x2+…+x2 017=2 017,则|P‎1F|+|P‎2F|+…+|P2 ‎017F|=________.‎ 解析:因为抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(3,0),所以抛物线C的方程为y2=12x,其准线方程为x=-3.由抛物线的定义可得|PiF|=xi+3(i=1,2,…,2 017),所以|P1F|+|P2F|+…+|P2 017F|=(x1+3)+(x2+3)+…+(x2 017+3)=x1+x2+…+x2 017+3×2 017=8 068.‎ 答案:8 068‎ ‎7.[2020·宝安,潮阳,桂城八校联考]过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=________.‎ 解析:解法一 由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),|AF|=3,由抛物线的定义知,点A到准线x=-1的距离为3,所以点A 的横坐标为2.如图,不妨设点A在第一象限,将x=2代入y2=4x,得y2=8,所以点A的纵坐标为2,即A(2,2),所以直线AF的方程为y=2(x-1).由解得或所以点B的横坐标为,所以|BF|=.‎ 解法二 ‎ 如图,不妨设点A在第一象限,设∠AFx=θ,A(xA,yA),B(xB,yB),则由抛物线的定义知xA+1=2+3cosθ=3,解得cosθ=.又|BF|=xB+1=1-|BF|cosθ+1=2-|BF|,所以|BF|=.‎ 答案: ‎8.[2019·河北六校模拟]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线C的方程为________.‎ 解析:设圆的圆心为M(xM,yM),根据题意可知圆心M在抛物线C上.又圆的面积为36π,∴圆的半径为6,则|MF|=xM+=6,即xM=6-,又由题意可知xM=,∴=6-,解得p=8,∴抛物线C的方程为y2=16x.‎ 答案:y2=16x 三、解答题 ‎9.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为,求抛物线与双曲线的方程.‎ 解析:由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,‎ ‎∴p=‎2c.‎ 设抛物线方程为y2=4c·x,‎ ‎∵抛物线过点,‎ ‎∴6=‎4c·.‎ ‎∴c=1,故抛物线方程为y2=4x.‎ 又双曲线-=1过点,‎ ‎∴-=1.又a2+b2=c2=1,‎ ‎∴-=1.‎ ‎∴a2=或a2=9(舍去).‎ ‎∴b2=,‎ 故双曲线方程为-=1.‎ ‎10.[2020·江西南昌重点中学段考]已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.‎ ‎(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;‎ ‎(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.‎ 解析:设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,‎ 则x1+x2=2pk,x1x2=-2p. ①‎ ‎(1)由x2=2py得y′=,则A,B处的切线斜率的乘积为=-,‎ ‎∵点N在以AB为直径的圆上,∴AN⊥BN,∴-=-1,∴p=2.‎ ‎(2)易得直线AN:y-y1=(x-x1),直线BN:y-y2=(x-x2),‎ 联立,得结合①式,解得即N(pk,-1).‎ ‎|AB|=|x2-x1|==·,‎ 点N到直线AB的距离d==,‎ 则S△ABN=·|AB|·d=≥2,当且仅当k=0时,取等号,‎ ‎∵△ABN的面积的最小值为4,‎ ‎∴2=4,∴p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11.[2020·福建厦门一模]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,AF的中点坐标为(2,2),则C的方程为(  )‎ A.y2=4x B.y2=8x C.y2=10x D.y2=16x 解析:由抛物线y2=2px(p>0),可得F,由线段AF的中点坐标为(2,2),可得A,又点A在抛物线C上,代入抛物线C的方程可得16=2p,得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x,故选B.‎ 答案:B ‎12.[2020·湖南五市十校联考]在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若∠NFR=60°,则|NR|=(  )‎ A.2 B. C.2 D.3‎ 解析:‎ 如图,连接MF,QF,设准线l与x轴交于H,∵抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,∴|FH|=2,|PF|=|PQ|,∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴MN∥QF,∵PQ垂直l于点Q,∴PQ∥OR,∵|PQ|=|PF|,∠NFR=60°,∴△PQF为等边三角形,‎ ‎∴MF⊥PQ,∴F为HR的中点,∴|FR|=|FH|=2,∴|NR|=2.故选A.‎ 答案:A ‎13.[2020·郑州入学测试]抛物线y2=8x的焦点为F,点A(6,3),P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长的最小值为________.‎ 解析:‎ 由题意得抛物线的焦点F(2,0),准线方程为x=-2.∵|AF|==5,∴求△PAF周长的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值.设点P在准线上的射影为D,如图,连接PD,根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|,∴|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值.根据平面几何的知识,可得当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|取得最小值,∴|PA|+|PF|的最小值为xA-(-2)=8,∴△PAF周长的最小值为8+5=13.‎ 答案:13‎
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