【数学】2020届一轮复习人教B版（文）25空间几何体作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）25空间几何体作业

天天练25　空间几何体 小题狂练 一、选择题 ‎1．以下命题：‎ ‎①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案：B 解析：命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B.‎ ‎2．[2019·江西临川二中、新余四中联考]用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)‎ 答案：A 解析：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2.‎ ‎3．[2018·全国卷Ⅲ]‎ 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)‎ 答案：A 解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.‎ ‎4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如右图所示)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为(　　)‎ 答案：C 解析：过点A，E，C1的平面与棱DD1，相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如下图所示，则其正视图应为选项C.‎ ‎5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)‎ A．3 B. C．7 D. 答案：B 解析：由三视图可知该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得，长方体的长、宽、高分别为2,1,2，体积为2×1×2＝4，切去的三棱锥的体积为××1×2×1＝，所以该几何体的体积为4－＝.‎ ‎6．[2019·淮北月考]一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．21＋ B．18＋ C．21 D．18‎ 答案：A 解析：由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6×＋2××()2＝21＋.故选A.‎ ‎7．[2018·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案：C 解析：由三视图得到空间几何体，如图所示，‎ 则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．‎ 故选C.‎ ‎8．[2019·四川成都七中二诊]一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是(　　)‎ A．9π B. C．36π D．18π 答案：‎ B 解析：由三视图可知，棱锥为三棱锥，放在长方体中，为如图所示的三棱锥A－BCD.该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线的长，所以球的半径R＝×＝，则外接球的体积V＝π×3＝.故选B.‎ 二、非选择题 ‎9．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的表面积为________．‎ 答案：(5＋)π 解析：由题意得几何体如图所示，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.‎ ‎10．[2019·天津滨海新区七所重点学校联考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．‎ 答案：4＋6π 解析：由三视图可知，几何体由半个圆柱和一个三棱锥的组合体，故体积为π×22×3＋××4×2×3＝4＋6π.‎ ‎11．如图是一个几何体的三视图，若其正视图的面积等于8 cm2，俯视图是一个面积为4 cm2的正三角形，则其侧视图的面积等于________．‎ 答案：4 cm2‎ 解析：易知三视图所对应的几何体为正三棱柱，设其底面边长为a，高为h，则其正视图的长为a，宽为h，故其面积为S1＝ah＝8；①‎ 而俯视图是一个底面边长为a的正三角形，其面积为S2＝a2＝4.②‎ 由②得a＝4，代入①得h＝2.‎ 侧视图是一个长为a，宽为h的矩形，其面积为S3＝ah＝4 (cm2)．‎ ‎12．[2019·贵州遵义模拟]已知边长为的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为该球半径的一半，则该球的表面积为________．‎ 答案： 解析：如图，设OO′⊥平面ABC，垂足是点O′.设球的半径为r.∵边长为的正三角形ABC的三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距离为该球半径的 一半，∴AO′＝××＝1，OA＝r，OO′＝r.‎ ‎∵OA2＝O′A＋OO′2，即r2＝1＋，解得r2＝，∴球O的表面积S＝4πr2＝.‎ 课时测评 一、选择题 ‎1．[2019·四川资阳联考]给出下列几个命题，其中正确命题的个数是(　　)‎ ‎①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻的两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案：B 解析：①错误，只有这两点的连线平行于轴线时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④不正确．故选B.‎ ‎2．[2019·福州适应性测试]在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为(　　)‎ 答案：D 解析：由俯视图和正视图可知，该几何体可看成是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，且三棱锥的一个面恰为半圆锥的最大轴截面，故相应的侧视图可以为选项D.‎ ‎3．[2019·保定模拟]一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1‎ 的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是(　　)‎ A．①② B．①③‎ C．③④ D．②④‎ 答案：D 解析：蚂蚁由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，若把平面BCC1B1展开到与平面ABB1A1在同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过BB1的中点，故此时的正视图为②.若把平面ABCD展开到与平面CDD1C1在同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过CD的中点，此时正视图为④. 其他几种展形方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了．故选D.‎ ‎4．[2019·黑龙江哈尔滨三中模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为(　　)‎ A．4 B．2‎ C. D. 答案：D 解析：由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，则该几何体的体积为××2×2×1＝.故选D.‎ ‎5．[2019·宁夏吴忠联考]某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x是(　　)‎ A．2 B．4.5‎ C．1.5 D．3‎ 答案：C 解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S＝×(1＋2)×2＝3.由该几何体的体积V＝×3x＝，解得x＝1.5.故选C.‎ ‎6．[2018·全国卷Ⅲ]设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D ABC体积的最大值为(　　)‎ A．12 B．18 C．24 D．54 答案：B 解析：由等边△ABC的面积为9可得AB2＝9，所以AB＝6，‎ 所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.‎ 设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.‎ 所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，‎ 所以三棱锥DABC体积的最大值为×9×6＝18.故选B.‎ ‎7．[2019·安徽马鞍山模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(　　)‎ A．25π B．26π C．32π D．36π 答案：C 解析：由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥．如图，三棱锥A－BCD即为该几何体，且AB＝BD＝4，CD＝2，BC＝2，则BD2＝BC2＋CD2，即∠BCD＝90°.故底面外接圆的直径2r＝BD＝4.‎ 易知AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径．设球的半径为R，则由勾股定理得4R2＝AB2＋4r2＝32，故该几何体的外接球的表面积为4πR2＝32π.故选C.‎ ‎8．[2019·长春质量监测(一)]《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．12‎ 答案：B 解析：‎ 如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF，过E，F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为，高为2的三棱柱，所以VABCDEF＝2V四棱锥E－ADHG＋V三棱柱EHG－FNM＝2××3×1＋×2＝5，故选B.‎ 二、非选择题 ‎9．[2019·福建莆田九中模拟]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，在底面△ABC中，C＝60°，AB＝，则此直三棱柱的外接球的表面积为________．‎ 答案：16π 解析：由题意可知，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC的外接圆的半径R＝×＝1.两个底面中心的连线的中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为＝2，外接球的表面积为4π×22＝16π.‎ ‎10．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．‎ 答案：40π 解析：‎ 如图，∵SA与底面成45°角，‎ ‎∴△SAO为等腰直角三角形．‎ 设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝r.‎ 在△SAB中，cos∠ASB＝，‎ ‎∴sin∠ASB＝，‎ ‎∴S△SAB＝SA·SB·sin∠ASB ‎＝(r)2·＝5，‎ 解得r＝2，‎ ‎∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，‎ ‎∴S圆锥侧＝πr·l＝π×2×4＝40π.‎ ‎11.‎ 如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．‎ 解析：根据斜二测直观图画法规则可知，‎ 该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．‎ 由于C′B′＝A′D′＝2.所以CB＝4.‎ 故平面图形的实际面积为×(6＋4)×4＝20.‎