【数学】2020届一轮复习人教B版16-1　相似三角形的判定及有关性质学案

【数学】2020届一轮复习人教B版16-1　相似三角形的判定及有关性质学案

第十六章　几何证明选讲 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 ‎　　1.了解平行线截割定理.‎ ‎2.会证明并应用直角三角形射影定理.‎ ‎3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明.‎ ‎4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明.‎ ‎5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).‎ ‎6.了解下面的定理.‎ 定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：‎ ‎①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；‎ ‎②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；‎ ‎③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.‎ ‎7.会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F，E)证明上述定理①的情形：‎ 当β＞α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.‎ ‎(图中，上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A)‎ ‎8.会证明以下结果：‎ ‎①在7.中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在的平面为π′.‎ ‎②如果平面π与平面π′的交线为m，在6.①中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率).‎ ‎9.了解定理6.③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果.‎ ‎　　本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中.‎ 本章难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握.‎ ‎　　本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.‎ 第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力.第三讲内容是新增内容，在新课程高考下，要求很低，只作了解.‎ 知识网络 ‎16.1　相似三角形的判定及有关性质 典例精析 题型一　相似三角形的判定与性质 ‎【例1】 如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.‎ ‎(1)求证：△ABC∽△FCD；‎ ‎(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长.‎ ‎【解析】(1)因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.‎ 又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.‎ ‎(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以＝()2＝4，又因为S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因为S△ABC＝BC·AM，BC＝10，所以20＝×10×AM，所以AM＝4.又因为DE∥AM，所以＝，因为DM＝DC＝，BM＝BD＋DM，BD＝BC＝5，所以＝，所以DE＝.‎ ‎【变式训练1】如右图，在△ABC中，AB＝‎14 cm，＝，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝‎12 cm.求△ADE的面积和周长.‎ ‎【解析】由AB＝‎14 cm，CD＝‎12 cm，CD⊥AB，得S△ABC＝‎84 cm2.‎ 再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE.由＝()2可求得S△ADE＝ cm2.利用勾股定理求出BC，AC，再由相似三角形性质可得△ADE的周长为‎15 cm.‎ 题型二　探求几何结论 ‎ ‎【例2】如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动.‎ ‎(1)若＝，求证：3EF＝BC＋2AD；‎ ‎(2)若＝，试判断EF与BC，AD之间的关系，并说明理由；‎ ‎(3)请你探究一般结论，即若＝，那么你可以得到什么结论？‎ ‎【解析】 过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G、H.‎ ‎(1)因为＝，所以＝，‎ 又EG∥BH，所以＝＝，即3EG＝BH，‎ 又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝(BC－HC)＋AD，‎ 所以EF＝BC＋AD，即3EF＝BC＋2AD.‎ ‎(2)EF与BC，AD的关系式为5EF＝2BC＋3AD，理由和(1)类似.‎ ‎(3)因为＝，所以＝，‎ 又EG∥BH，所以＝，即EG＝BH.‎ EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝(BC－AD)＋AD，‎ 所以EF＝BC＋AD，‎ 即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.‎ ‎【点拨】 在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.‎ ‎【变式训练2】如右图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边上中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得以Q，C，P为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】设存在满足条件的实数k，‎ 则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，‎ 由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得＝或＝，‎ 由此解得CQ＝1或CQ＝.‎ 从而k＝0或k＝.‎ 题型三　解决线的位置或数量关系 ‎【例3】(2009江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC△BAD，求证：AB∥CD.‎ ‎【证明】 由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，所以A、B、C、D四点共圆，‎ 所以∠CAB＝∠CDB.‎ 再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，‎ 所以∠DBA＝∠CDB，即AB∥CD.‎ ‎【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1，△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为　　　.‎ ‎【解析】因为AB∥A1B1且AB＝A1B1，所以△AOB∽△A1OB1‎ 因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.‎ 所以△A1OB1的外接圆直径为2.‎ 总结提高 ‎1.相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.‎ 相似三角形的性质主要有对应线的比值相等(边长、高线、中线、周长、内切圆半径等)，对应角相等，面积的比等于相似比的平方.‎ ‎2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线.‎