【数学】2020届一轮复习人教B版（文）5-3等比数列及其前n项和作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）5-3等比数列及其前n项和作业

课时作业30　等比数列及其前n项和 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2019·益阳市，湘潭市高三调研]已知等比数列{an}中，a5＝3，a‎4a7＝45，则 的值为(　　)‎ A．3 B．5‎ C．9 D．25‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4a7＝·a5q2＝9q＝45，‎ 所以q＝5，＝＝q2＝25.故选D.‎ 答案：D ‎2．[2019·湖北华师一附中联考]在等比数列{an}中，a‎2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)‎ A．1 B．±1‎ C．2 D．±2‎ 解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝＝1，故选A.‎ 答案：A ‎3．[2019·山东淄博模拟]已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝‎8a3，数列的前n项和为Tn，则T5＝(　　)‎ A. B．31‎ C. D．7‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a6＝8a3，∴q3＝8，解得q＝2.∴an＝2n－1.∴＝n－1.∴数列是首项为1，公比为的等比数列．则T5＝＝.故选A.‎ 答案：A ‎4．[2019·福建厦门模拟]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，则λ＝(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．1 D．2‎ 解析：解法一　当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时＝＝2.‎ 因为{an}是等比数列，所以＝2，即＝2，‎ 解得λ＝－2.故选A.‎ 解法二　依题意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，‎ 因为{an}是等比数列，所以a＝a1·a3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.‎ 解法三　Sn＝2n＋1＋λ＝2×2n＋λ，易知q≠1，因为{an}是等比数列，所以Sn＝－qn，据此可得λ＝－2.故选A.‎ 答案：A ‎5．[2019·湖南湘潭模拟]已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－，则当Tn取最大值时，n的值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ 解析：等比数列{an}的前n项积为Tn，由a1＝－24，a4＝－，可得q3＝＝，解得q＝，∴Tn＝a1a2a3…an＝(－24)n·q1＋2＋…＋(n－1)＝(－24)n·，当Tn取最大值时，可得n为偶数，当n＝2时，T2＝242·＝192；当n＝4时，T4＝244·6＝；当n＝6时，T6＝246·15＝，则T66，且n为偶数时，Tn0)，因为a2 018＝，所以a2 017＝＝，a2 019＝a2 018q＝q，则有＋＝q＋＝q＋≥2＝4，当且仅当q2＝2，即q＝时取等号，故所求最小值为4.‎ 答案：4‎ ‎8．[2019·石家庄高中摸底考试]设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，则m＋n的值是________．‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a2，a5，a11成等比数列，所以a＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)·d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化简得(m＋n＋3)·(m－n)＝12，因为m>n>0，m，n∈N*，所以或解得或(舍去)，所以m＋n＝9.‎ 答案：9‎ 三、解答题 ‎9．[2017·全国卷Ⅱ]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.‎ ‎(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若T3＝21，求S3.‎ 解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.‎ 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①‎ ‎(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②‎ 联立①和②解得(舍去)， 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.‎ ‎(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.‎ 解得q＝－5或q＝4.‎ 当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.‎ 当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.‎ ‎10．[2018·全国卷Ⅲ]等比数列{an}中，a1＝1，a5＝‎4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.‎ 解析：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.‎ 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.‎ 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.‎ ‎(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.‎ 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．‎ 若an＝2n－1，设Sn＝2n－1.‎ 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.‎ 综上，m＝6.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2019·武汉市武昌区高三调研]等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为(　　)‎ A．－3 B．1‎ C．－3或1 D．1或3‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，‎ 所以Sn＝，Sn＋2＝，‎ 代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或 故a1＝1或－3，故选C.‎ 答案：C ‎12．[2018·北京卷]“十二平均律”‎ 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)‎ A.f B.f C.f D.f 解析：本题主要考查等比数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用．‎ 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝f，故选D.‎ 答案：D ‎13．[2018·浙江卷]已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，则(　　)‎ A．a1a3，a2a4 D．a1>a3，a2>a4‎ 解析：本小题考查等比数列的概念和性质，利用导数求函数的单调性和最值，不等式的性质和分类讨论思想．‎ 设f(x)＝lnx－x(x>0)，则f′(x)＝－1＝，‎ 令f′(x)>0，得01，‎ ‎∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，‎ ‎∴f(x)≤f(1)＝－1，即有lnx≤x－1.‎ 从而a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，∴a4<0，又a1>1，∴公比q<0.‎ 若q＝－1，则a1＋a2＋a3＋a4＝0，ln(a1＋a2＋a3)＝lna1>0，矛盾．‎ 若q<－1，则a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)<0，而a2＋a3＝a2(1＋q)＝a1q(1＋q)>0，‎ ‎∴ln(a1＋a2＋a3)>lna1>0，‎ 也矛盾．∴－10，∴a1>a3.‎ 同理，∵＝q2<1，a2<0，∴a4>a2.选B.‎ 答案：B