数学北师大版（2019）必修第二册：5-2-1 复数的加法与减法 学案与作业

数学北师大版（2019）必修第二册：5-2-1 复数的加法与减法 学案与作业

2.1 复数的加法与减法 (15 分钟 35 分) 1.若复数 z 满足 z+(3-4i)=1,则 z 的虚部是 ( ) A.-2 B.4 C.3 D.-4 【解析】选 B.z=1-(3-4i)=-2+4i. 2.在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,若向量 、 对 应的复数分别是 3+i、-1+3i,则 对应的复数是 ( ) A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i 【解析】选 D.依题意有 = = - ,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即 对 应的复数为 4-2i. 3.设 z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 ( ) A.0 B.1 C. D. 【解析】选 C.由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数 z 对应的点的轨迹是 以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线 y=-x,而|z+i|表 示直线 y=-x 上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线 y=-x 的距离即为 . 4.(2020· 青 岛 高 一 检 测 ) 已 知 i 为 虚 数 单 位 , 设 z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且 z1+z2=5-6i,则 z1-z2= . 【解析】因为 z1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以 即 所以 z1=2+2i,z2=3-8i,所以 z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i. 答案:-1+10i 5.已知 z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β且 z1-z2= + i,则 cos(α+β)的值为 . 【解析】因为 z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β, 所以 z1-z2=(cos α-cos β)+i(sin α+sin β)= + i, 所以 ①2+②2 得 2-2cos(α+β)=1,即 cos(α+β)= . 答案: 6.(2020·天津高一检测)已知复数 z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若 z1+z2 是纯 虚数,求实数 a. 【解析】由条件知 z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又 z1+z2 是纯虚数,所以 解得 a=3. (20 分钟 40 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 15 分) 1.(2020·全国Ⅰ卷)若 z=1+2i+i3,则|z|= ( ) A.0 B.1 C. D.2 【解析】选 C.因为 z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i, 所以|z|= = . 2.设 f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则 f(z1-z2)等于 ( ) A. B.5 C. D.5 【解析】选 D.因为 z1-z2=5+5i,所以 f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5 . 3.(2020·泸县高一检测)z∈C,若|z|- =1+2i,则 z= ( ) A. -2i B. +2i C.2+2i D.2-2i 【 解 析 】 选 B. 设 z=a+bi, 则 |z|- = -a+bi=1+2i, 故 ,故 ,故 z= +2i. 【补偿训练】 已知 z∈C 且 =1,则 (i 为虚数单位)的最小值是 ( ) A.2 -1 B.2 +1 C. D.2 【解析】选 A.因为|z|=1 且 z∈C,作图如图: 因为|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点 M 到复平面上的点 P(2,2)的 距离, 所以|z-2-2i|的最小值为:|OP|-1=2 -1. 二、多选题(共 5 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的 得 0 分) 4.对任意复数 z=a+bi(a,b∈R),i 为虚数单位,则下列结论中正确的是 ( ) A.z- =2a B.|z|=| | C.z+ =2a D.z+ =2bi 【解析】选 BC.已知 z=a+bi 则 =a-bi 选 项 A,z- = - =2bi ≠ 2a, 错 误 . 选 项 B,|z|= ,| |= = , 正 确 . 选 项 C,z+ =2a,故 C 正确,D 错误. 【补偿训练】 1.已知复数 z1=2+ai,z2=a+i ,且复数 z1-z2 在复平面内对应的 点位于第二象限,则 a 的取值可以是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选 CD.由题得 z1-z2=(2-a)+(a-1)i, 因为复数 z1-z2 在复平面内对应的点位于第二象限,所以 ,所 以 a>2.故 CD 正确. 2.(2020·苏州高一检测)已知 i 为虚数单位,下列说法中正确的是 ( ) A.若复数 z 满足|z-i|= ,则复数 z 对应的点在以(1,0)为圆心, 为 半径的圆上 B.若复数 z 满足 z+|z|=2+8i,则复数 z=15+8i C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是 复数对应的向量的模 D. 复 数 z1 对 应 的 向 量 为 , 复 数 z2 对 应 的 向 量 为 , 若 = ,则 ⊥ 【解析】选 CD.满足|z-i|= 的复数 z 对应的点在以(0,1)为圆心, 为半径的圆上,A 错误; 在 B 中,设 z=a+bi(a,b∈R),则|z|= . 由z+|z|=2+8i,得a+bi+ =2+8i,所以 解 得 所以 z=-15+8i,B 错误;由复数的模的定义知 C 正确;由 = 的几何意义知,以 , 为邻边的平行四边形为矩 形,从而两邻边垂直,D 正确. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,则 z= . 【 解 析 】 设 z=x+yi(x,y ∈ R), 则 |z|= . 所 以 x+yi+ =2+i. 所以 解得 所以 z= +i. 答案: +i 6.若|z|=2,则|z-1|的最小值是 . 【解析】|z-1|≥||z|-1|=|2-1|=1. 答案:1 四、解答题 7.(10 分)已知复数 z 满足|z|=2,求复数 1+ i+z 的模的最大值、最小 值. 【解析】由已知,复数 z 对应的点 Z 在复平面内以原点为圆心,半径为 2 的圆上,设 w=1+ i+z,所以 z=w-1- i,所以|z|=|w-(1+ i)|=2. 于是复数 w 对应的点在复平面内以(1, )为圆心,半径为 2 的圆上,如 图所示,此时圆上的点 A 对应的复数 wA 的模有最大值,圆上的点 B 对应 的复数 wB 的模有最小值,故|1+ i+z|max=4, =0. 【补偿训练】 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 已 知 , 对 应 的 复 数 分 别 为 z1=3+5i,z2=-1+2i. (1)求 对应的复数; (2)求 对应的复数; (3)求平行四边形 ABCD 的面积. 【解析】(1)由于 = + = + ,所以 = - .故 对应的复数为 z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i. (2)由于 = - = - , 所以 对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形 ABCD 中, = =(-1,2), = =(4,3), 所以 cos∠DAB= = = . 因此 sin∠DAB= = . 于是平行四边形 ABCD 的面积 S▱ABCD=| || |sin∠DAB= ×5× =11. 关闭 Word 文档返回原板块