【数学】2019届一轮复习人教A版第11章计数原理随机变量及分布列第3课时二项式定理学案

【数学】2019届一轮复习人教A版第11章计数原理随机变量及分布列第3课时二项式定理学案

第 3 课时 二项式定理（对应学生用书（理）174 175 页） 近几年高考二项式定理在理 加试部分考查， 以后高考将会考查学生应用基础知识、解决 实际问题的能力，难度适中. ① 掌握二项式定理及二项展开式的通项公 式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某 些特定的项、项数或系数，特别要注意有关 二项式系数与项的系数的区别.② 能用计数 原理证明二项式定理，会用二项式定理解决 与二项展开式有关的简单问题. 1.（选修23P32练习2改编）（x－2y）7的展开式中，第4项的二项式系数为 Ｗ. （用数字作答） 答案：35 解析：第 4 项的二项式系数为 C3 7＝35. 2. （选修 23P32 练习 5 改编）在（ x－2）4 的展开式中，x 的系数为 Ｗ. 答案：24 解析：由题意可知 Tr＋1＝Cr 4（ x）4－r（－2）r＝Cr 4（－2）rx 4－r 2 ，令4－r 2 ＝1 解得 r＝2， 所以展开式中 x 的系数为 C2 4·（－2）2＝24. 3. （选修 23P35 练习 4 改编）已知 C0 n＋2C1 n＋22C2 n＋23C3 n＋…＋2nCn n＝729，则 C1 n＋C2 n＋C3 n＋… ＋Cn n＝ Ｗ. 答案：63 解析：逆用二项式定理得 C0 n＋2C1 n＋22C2 n＋23C3 n＋…＋2nCn n＝（1＋2）n＝3n＝729，即 3n＝ 36，所以 n＝6，所以 C1 n＋C2 n＋C3 n＋…＋Cn n＝26－C0 n＝64－1＝63. 4. （选修 23P36 习题 13 改编）如果（2x－1）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么 a1＋a2 ＋…＋a6＝ Ｗ. 答案：0 解析：令 x＝0，有 1＝a0；令 x＝1，有 1＝a0＋a1＋…＋a6，∴ a1＋a2＋…＋a6＝0. 5. （1＋x）8（1＋y）4 的展开式中 x2y2 的系数是 Ｗ. 答案：168 解析：展开式中 x2y2 的项是由（1＋x）8 展开式中 x2 项与（1＋y）4 展开式中 y2 项相乘得 到的，所以 x2y2 的系数为 C2 8C2 4＝168. 1. 二项式定理 （a＋b）n＝C0 nan＋C1 nan－1b＋…＋Cr nan－rbr＋…＋Cn nbn（n∈N ）Ｗ. 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）n 的二项展开式，其中的系数 Cr n（r ＝0，1，2，…，n）叫做第 r＋1 项的二项式系数Ｗ.式中的 Cr nan－rbr 叫做二项展开式的第 r ＋1 项（通项），用 Tr＋1 表示，即展开式的第 r＋1 项；Tr＋1＝Cr nan－rbrＷ. 2. 二项展开式形式上的特点 （1） 项数为 n＋1Ｗ. （2） 各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. （3） 字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排 列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. （4） 二项式的系数从 C0 n，C1 n，一直到 Cn－1 n ，Cn n. 3. 二项式系数的性质 （1） 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. （2） 如果二项式的幂指数是偶数，则中间项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大. （3） 二项式系数的和等于 2n，即 C0 n＋C1 n＋…＋Cn n＝2nＷ. （4） 二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 C0 n＋C2 n＋…＝C1 n＋C3 n＋…＝2n－1Ｗ.[备课札记] 1 求二项展开式中特定项或特定项的系数) 1 在二项式 x＋ 1 2 4 x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中 的有理项和二项式系数最大的项. 解：∵ 二项展开式的前三项的系数分别是 1，n 2 ，1 8 n（n－1），∴ 2·n 2 ＝1＋1 8 n（n－1）， 解得 n＝8 或 n＝1（不合题意，舍去）， ∴ Tr＋1＝Cr 8x 8－r 2 1 2 x－1 4 r ＝Cr 82－rx4－3 4 r， 当 4－3 4 r∈ 时，Tr＋1 为有理项. ∵ 0≤r≤8 且 r∈ ，∴ r＝0，4，8 符合要求. 故有理项有 3 项，分别是 T1＝x4，T5＝35 8 x，T9＝ 1 256 x－2. ∵ n＝8，∴ 展开式中共 9 项，中间一项即第 5 项的二项式系数最大且为 T5＝35 8 x. 变式训练 若二项式 x＋1 x n （n∈N ）的展开式中各项的系数和为 32，则该展开式中含 x 项的系 数为 Ｗ. 答案：5 解析：令 x＝1，得 x＋1 x n 的展开式中各项的系数和为 2n，即 2n＝32，所以 n＝5， x＋1 x 5 展开式的通项为 Tr＋1＝Cr 5（ x）5－r 1 x r ＝Cr 5x 5－3r 2 ，令5－3r 2 ＝1，得 r＝1，所以该 展开式中含 x 项的系数为 C1 5＝5. , 2 多项式展开式中的特定项或特定系数问题) , 2) （1） 在（1－x）5＋（1－x）6＋（1－x）7＋（1－x）8 的展开式中， 含 x3 项的系数是 Ｗ. （2） 设二项式 x－ 1 3 x 5 的展开式中常数项为 A，则 A＝ Ｗ. 答案：（1） －121 （2） －10 解析：（1） （1－x）5＋（1－x）6＋（1－x）7＋（1－x）8＝（1－x）5[1－（1－x）4] 1－（1－x） ＝ （1－x）5－（1－x）9 x ，（1－x）5 中 x4 的系数为 C4 5＝5，－（1－x）9 中 x4 的系数为－C4 9＝－ 126，－126＋5＝－121. （2） Tr＋1＝Cr 5（ x）5－r· － 1 3 x r ＝Cr 5x 5－r 2 ·（－1）r·x－r 3 ＝（－1）rCr 5x5－r 2 －r 3 ＝ （－1）rCr 5x 15－5r 6 . 令 15－5r＝0，得 r＝3，所以 A＝（－1）3C3 5＝－C2 5＝－10. 变式训练 （1）在（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）的展开式中，含 x4 项的系数是 Ｗ. （2） 在二项式 x2－1 x 5 的展开式中，含 x4 的项的系数是 Ｗ. 答案：（1） －15 （2） 10 解析：（1） 当第 1 个括号取－1 时，其他括号内只能取 x；当第 2 个括号取－2 时，其 他括号内也只能取 x；当第 3 个括号取－3 时，其他括号内也只能取 x；当第 4 个括号取－4 时，其他括号内也只能取 x；当第 5 个括号取－5 时，其他括号内也只能取 x.因此含 x4 项的 系数为（－1）＋（－2）＋（－3）＋（－4）＋（－5）＝－15. （2） 对于 Tr＋1＝Cr 5（x2）5－r －1 x r ＝（－1）rCr 5x10－3r，令 10－3r＝4，∴ r＝2，则 x4 项的系数是 C2 5（－1）2＝10. , 3 二项式系数的和与各项的系数和问题) , 3) （1） 若（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9（x＋1） 9，且（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，则实数 m 的值为 ； （2） 若（x＋1）2（x＋2）2 016＝a0＋a1（x＋2）＋a2（x＋2）2＋…＋a2 018（x＋2）2 018， 则a1 2 ＋a2 22＋a3 23＋…＋a2 018 22 018＝ Ｗ. 答案：（1） 1 或－3 （2） 1 2 2 018 解析：（1） 令 x＝0，得到 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2＋m）9， 令 x＝－2，得到 a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9， 所以有（2＋m）9m9＝39，即 m2＋2m＝3， 解得 m＝1 或 m＝－3. （2） 依题意，令 x＝－2 得 a0＝0，再令 x＝－3 2 ，得 －3 2 ＋1 2 －3 2 ＋2 2 016 ＝a0＋a1 －3 2 ＋2 ＋a2 －3 2 ＋2 2 ＋…＋a2 018 －3 2 ＋2 2 018 ， 即a1 2 ＋a2 22＋a3 23＋…＋a2 018 22 018＝ 1 2 2 018 . 备选变式（教师专享） （1） 若将函数 f（x）＝x5 表示为 f（x）＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a5（1 ＋x）5，其中 a0，a1，a2，…，a5 为实数，则 a3＝ Ｗ. （2） 在（a＋x）（1＋x）4 的展开式中，x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a＝ Ｗ. 答案：（1） 10 （2） 3 解析：（1） 由题可知 x5＝[（1＋x）－1]5，故 a3 为[（1＋x）－1]5 的展开式中（1＋x） 3 的系数.由二项展开式的通项公式，得 Tr＋1＝Cr 5（1＋x）5－r·（－1）r.令 r＝2，得 T3＝C2 5（1 ＋x）3·（－1）2＝10（1＋x）3.故 a3＝10. （2） 设（a＋x）（1＋x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令 x＝1，得 16（a＋1）＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 ①， 令 x＝－1，得 0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5 ②. ①－②，得 16（a＋1）＝2（a1＋a3＋a5），即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1＋ a3＋a5＝8（a＋1），所以 8（a＋1）＝32，解得 a＝3. , 4 二项式定理的综合应用) , 4) 设 n∈N ，n≥3， ∈N . （1） 求值： ① Ck n－nCk－1 n－1； ② 2Ck n－n（n－1）Ck－2 n－2－nCk－1 n－1（ ≥2）； （2） 化简：12C0 n＋22C1 n＋32C2 n＋…＋（ ＋1）2Ck n＋…＋（n＋1）2Cn n. 解：（1） ① Ck n－nCk－1 n－1＝ × n！ k！（n－k）！ －n× （n－1）！ （k－1）！（n－k）！ ＝ n！ （k－1）！（n－k）！ － n！ （k－1）！（n－k）！ ＝0. ② 2Ck n－n（n－1）Ck－2 n－2－nCk－1 n－1＝ 2× n！ k！（n－k）！ －n（n－1）× （n－2）！ （k－2）！（n－k）！ －n× （n－1）！ （k－1）！（n－k）！ ＝ × n！ （k－1）！（n－k）！ － n！ （k－2）！（n－k）！ － n！ （k－1）！（n－k）！ ＝ n！ （k－2）！（n－k）！ k k－1 －1－ 1 k－1 ＝0. （2） （解法 1）由（1）可知当 ≥2 时， （ ＋1）2Ck n＝（ 2＋2 ＋1）Ck n＝ 2Ck n＋2 Ck n＋Ck n ＝[n（n－1）Ck－2 n－2＋nCk－1 n－1]＋2nCk－1 n－1＋Ck n ＝n（n－1）Ck－2 n－2＋3nCk－1 n－1＋Ck n， 故 12C0 n＋22C1 n＋32C2 n＋…＋（ ＋1）2Ck n＋…＋（n＋1）2Cn n ＝（12C0 n＋22C1 n）＋n（n－1）（C0 n－2＋C1 n－2＋…＋Cn－2 n－2）＋3n（C1 n－1＋C2 n－1＋…＋Cn－1 n－1）＋（C2 n ＋C3 n＋…＋Cn n）＝（1＋4n）＋n（n－1）2n－2＋3n（2n－1－1）＋（2n－1－n）＝2n－2（n2＋5n ＋4）. （解法 2）当 n≥3 时，由二项式定理，有（1＋x）n＝1＋C1 nx＋C2 nx2＋…＋Ck nx ＋…＋Cn nxn， 两边同乘 x，得（1＋x）nx＝x＋C1 nx2＋C2 nx3＋…＋Ck nx ＋1＋…＋Cn nxn＋1， 两边对 x 求导，得（1＋x）n＋n（1＋x）n－1x＝1＋2C1 nx＋3C2 nx2＋…＋（ ＋1）Ck nx ＋…＋ （n＋1）Cn nxn， 两边再同乘 x，得 （1＋x）nx＋n（1＋x）n－1x2＝x＋2C1 nx2＋3C2 nx3＋…＋（ ＋1）Ck nx ＋1＋…＋（n＋1）Cn nxn ＋1， 两边再对 x 求导，得（1＋x）n＋n（1＋x）n－1x＋n（n－1）（1＋x）n－2x2＋2n（1＋x）n －1x＝1＋22C1 nx＋32C2 nx2＋…＋（ ＋1）2Ck nx ＋…＋（n＋1）2Cn nxn. 令 x＝1，得 2n＋n2n－1＋n（n－1）2n－2＋2n2n－1＝1＋22C1 n＋32C2 n＋…＋（ ＋1）2Ck n＋…＋ （n＋1）2Cn n， 即 12C0 n＋22C1 n＋32C2 n＋…＋（ ＋1）2Ck n＋…＋（n＋1）2Cn n＝2n－2（n2＋5n＋4）. 备选变式（教师专享） （2017·苏北四市期中）设 n∈N ，f（n）＝3n＋7n－2. （1） 求 f（1），f（2），f（3）的值； （2） 求证：对任意正整数 n，f（n）是 8 的倍数. （1） 解：代入求出 f（1）＝8，f（2）＝56，f（3）＝368. （2） 证明：f（n）＝3n＋7n－2＝（4－1）n＋（8－1）n－2 ＝4n－C1 n4n－1＋…＋（－1）n－2Cn－2 n 42＋（－1）n－1Cn－1 n 4＋（－1）nCn n＋8n－C1 n8n－1＋…＋（－ 1）n－2Cn－2 n 82＋（－1）n－1·Cn－1 n 8＋（－1）nCn n－2＝[4n－C1 n4n－1＋…＋（－1）n－2·Cn－2 n 42＋8n－ C1 n8n－1＋…＋（－1）n－1Cn－1 n 8]＋[（－1）n－1·Cn－1 n 4＋2（－1）nCn n－2]， 显然，前一个中括号中的数是 8 的倍数，令（－1）n－1Cn－1 n 4＋2（－1）nCn n－2＝M，则 当 n 为偶数时，M＝－4n 也是 8 的倍数，所以 f（n）是 8 的倍数. 当 n 为奇数时，M＝4n－4＝4（n－1）也是 8 的倍数，所以 f（n）是 8 的倍数. 综上所述，对任意正整数 n，f（n）是 8 的倍数. （注：本题亦可以用数学归纳法进行证明） 1. （2017·新课标Ⅰ）在 1＋1 x2 （1＋x）6 的展开式中，含 x2 项的系数为 Ｗ. 答案：30 解析：因为 1＋1 x2 （1＋x）6＝（1＋x）6＋1 x2·（1＋x）6，则（1＋x）6 的展开式中含 x2 项的为 C2 6x2＝15x2，1 x2·（1＋x）6 的展开式中含 x2 项的为1 x2·C4 6x4＝15x2，故 x2 的系数为 15＋ 15＝30. 2. （2017·浙江模拟改编）已知多项式（x＋1）3（x＋2）2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x1 ＋a5，则 a1＋a2＋a3＋a4＝ . 答案：67 解析：当 x＝0 时，得 a5＝4. 当 x＝1 时，得（x＋1）3（x＋2）2＝72＝1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，又 a5＝4，得 a1＋a2＋ a3＋a4＝67. 3. （2017·新课标Ⅲ）在（x＋y）（2x－y）5 的展开式中，含 x3y3 项的系数为 Ｗ. 答案：40 解析：（x＋y）（2x－y）5＝x（2x－y）5＋y（2x－y）5， 由（2x－y）5 展开式的通项公式：Tr＋1＝Cr 5（2x）5－r（－y）r 可得： 当 r＝3 时，x（2x－y）5 展开式中 x3y3 的系数为 C3 5×22×（－1）3＝－40， 当 r＝2 时，y（2x－y）5 展开式中 x3y3 的系数为 C2 5×23×（－1）2＝80， 则 x3y3 的系数为 80－40＝40. 4. 设 f（x，n）＝（1＋x）n，n∈N . （1） 求 f（x，6）的展开式中系数最大的项； （2） n∈N 时，化简 C0 n4n－1＋C1 n4n－2＋C2 n4n－3＋…＋Cn－1 n 40＋Cn n4－1； （3） 求证：C1 n＋2C2 n＋3C3 n＋…＋nCn n＝n×2n－1. （1） 解：展开式中系数最大的项是第四项为 C3 6x3＝20x3. （2） 解：C0 n4n－1＋C1 n4n－2＋C2 n4n－3＋…＋Cn－1 n 40＋Cn n4－1 ＝1 4 [C0 n4n＋C1 n4n－1＋C2 n4n－2＋…＋Cn－1 n 4＋Cn n] ＝1 4 （4＋1）n＝5n 4 . （3） 证明：因为 Ck n＝nCk－1 n－1， 所以 C1 n＋2C2 n＋3C3 n＋…＋nCn n＝n（C0 n－1＋C1 n－1＋C2 n－1＋…＋Cn－1 n－1）＝n×2n－1. , 10. 谨防混淆二项展开式的系数与二项式系数致误) 典例 已知 1 2 ＋2x n . （1） 若展开式中第 2 项系数是最后一项系数的 28 倍，求展开式中二项式系数最大的 项的系数； （2） 若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项. 易错分析：解答此题时易将项的系数与二项式系数混淆，从而导致计算错误. 解：（1） 由题意，C1 n 1 2 n－1 ×2＝28× 1 2 n ，即 4n＝28， ∴ n＝7，展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. ∴ T4 的系数为 C3 7 1 2 4 23＝35 2 ， T5 的系数为 C4 7 1 2 3 24＝70. （2） ∵ C0 n＋C1 n＋C2 n＝79，∴ n2＋n－156＝0. ∴ n＝12 或 n＝－13（舍去）. 设第 r＋1 项的系数最大， ∵ 1 2 ＋2x 12 ＝ 1 2 12 （1＋4x）12， ∴ Cr 124r≥Cr－1 12 4r－1， Cr 124r≥Cr＋1 12 4r＋1， ∴ 9.4≤r≤10.4. 又 r∈N ，∴ r＝10.∴ 展开式中系数最大的项为第 11 项， T11＝C10 12· 1 2 2 ·210·x10＝16 896x10. 特别提醒：区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.（ax＋b）n 项的系数 与 a，b 有关，可正可负，二项式系数只与 n 有关，恒为正.另外，也要注意项与项的系数， 项的系数与项的系数绝对值的区别与联系. （1） 对于（ax＋b）n 展开式中，第 r＋1 项的二项式系数是指 Cr n，第 r＋1 项的系数是 Cr nan－rbr. （2） 对于（ax＋b）n 展开式中各项系数之和，令 x＝1 即得（a＋b）n；（ax＋b）n 展开 式的二项式系数之和为 C0 n＋C1 n＋…＋Cn n＝2n. 1. （2017·山东卷）已知（1＋3x）n 的展开式中含有 x2 项的系数是 54，则 n＝ Ｗ. 答案：4 解析：由二项式定理的通项公式 Tr＋1＝Cr n（3x）r＝Cr n3rxr，令 r＝2，得 C2 n·32＝54，解得 n＝4. 2. 已知二项式（2x＋1）n 展开式的各项系数和为 729，则（x2＋x＋1） 2x－1 x n 的展开 式中常数项为 Ｗ. 答案：－100 解析：由题知 3n＝729，解得 n＝6， 2x－1 x 6 的通项为 Tr＋1＝Cr 6（2x）6－r －1 x r ＝26－r（－ 1）rCr 6x6－2r，由题知，6－2r＝－2 或 6－2r＝－1 或 6－2r＝0（r∈N，r≤6），解得 r＝4 或 3， 所以常数项为 26－4（－1）4C4 6＋26－3（－1）3C3 6＝－100. 3. 已知 2x－ 1 x n （n∈N ）的展开式中二项式系数的和为 256，则该展开式中含1 x 项的 系数为 Ｗ. 答案：112 解析：由题知 2n＝256，所以 n＝8，所以 Tr＋1＝Cr 8（2x）8－r（－1）rx－r 2 ＝（－1）r28－rCr 8x8 －3r 2 ，所以 8－3 2 r＝－1，解得 r＝6，所以该展开式中含1 x 项的系数为（－1）628－6C6 8＝112. 4. 在杨辉三角形中，从第 3 行开始，除 1 以外，其他每一个数值是它上面的二个数值 之和，这个三角形数阵开头几行如下图所示. （1） 在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为 3∶4∶5？若存 在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由. （2） 已知 n，r 为正整数，且 n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数 Cr n，Cr＋1 n ，Cr＋2 n ， C r＋3 n 不能构成等差数列. （1） 解：杨辉三角形的第 n 行由二项式系数 Ck n， ＝0，1，2，…，n 组成. 如果第 n 行中有Ck－1 n Ck n ＝ k n－k＋1 ＝3 4 ， Ck n Ck＋1 n ＝k＋1 n－k ＝4 5 ， 那么 3n－7 ＝－3，4n－9 ＝5， 解这个联立方程组，得 ＝27，n＝62. 即第 62 行有三个相邻的数 C26 62，C27 62，C 28 62的比为 3∶4∶5. （2） 证明：若有 n，r（n≥r＋3），使得 Cr n，Cr＋1 n ，Cr＋2 n ，C r＋3 n 成等差数列，则 2Cr＋1 n ＝ Cr n＋Cr＋2 n ，2Cr＋2 n ＝Cr＋1 n ＋Cr＋3 n ， 即 2·n！ （r＋1）！（n－r－1）！ ＝ n！ r！（n－r）！ ＋ n！ （r＋2）！（n－r－2）！ ， 2·n！ （r＋2）！（n－r－2）！ ＝ n！ （r＋1）！（n－r－1）！ ＋ n！ （r＋3）！（n－r－3）！ . 故 2 （r＋1）（n－r－1） ＝ 1 （n－r－1）（n－r） ＋ 1 （r＋1）（r＋2） ， 2 （r＋2）（n－r－2） ＝ 1 （n－r－2）（n－r－1） ＋ 1 （r＋2）（r＋3） ， 经整理得到 n2－（4r＋5）n＋4r（r＋2）＋2＝0，n2－（4r＋9）n＋4（r＋1）（r＋3） ＋2＝0. 两式相减可得 n＝2r＋3， 于是 Cr 2r＋3，Cr＋1 2r＋3，Cr＋2 2r＋3，C r＋3 2r＋3成等差数列， 而由二项式系数的性质可知 Cr 2r＋3＝Cr＋3 2r＋3＜Cr＋1 2r＋3＝Cr＋2 2r＋3， 这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立. 1. 二项展开式的通项主要用于求二项式的指数、项和系数，在运用公式时要注意以下 几点： （1） Tr＋1＝Cr nan－rbr 是第 r＋1 项，而不是第 r 项. （a＋b）n 与（b＋a）n 虽然相同，但 若求它们展开式的第几项时是不同的，需注意顺序. （2） 求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列出方程求出 r，再求所需的某项（有 时需先求 n）.计算时要注意 n，r 的取值范围及它们的大小关系. （3） 求展开式的某一项的系数，先要准确地写出通项，特别要注意符号问题，然后将 通项中的系数和字母分离. 2. 要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别.在（a＋b）n 的展开式中，系 数最大的项是中间项；但当 a，b 的系数不是 1 时，系数最大的项的位置就不一定在中间， 需要利用通项公式，根据系数的增减性具体讨论而定. 3. 对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决（有些题 目也可转化为计数问题解决），转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意项 与项结合的合理性和简捷性. 4. 二项式定理的应用方法 （1） “赋值法”和“构造法”是解决二项展开式中“系数和”问题的基本思路，也是 证明有关组合数恒等式的重要方法. （2） “配凑法”和“消去法”是解决“整除性问题”或“余数问题”的重要方法. （3） 有些不等式的证明问题，也常借助二项式定理进行“放缩”处理.