【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-4简单的三角恒等变换作业

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文档介绍

【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-4简单的三角恒等变换作业

‎[基础达标]‎ ‎1.计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C.原式=sin 15°cos 15°‎ ‎=×2sin 15°cos 15°‎ ‎=sin 30°=.‎ ‎2.已知f(x)=2tan x-,则f的值为(  )‎ A.4 B. C.4 D.8‎ 解析:选D.因为f(x)=2=2×=2×=,所以f==8.‎ ‎3.若sin=,则cos等于(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:选D.因为sin=,‎ cos=sin 2α=-cos ‎=-cos 2 ‎=- ‎=2sin2-1=-.‎ ‎4.已知α,β均为锐角,(1+tan α)(1+tan β)=2,则α+β为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.由(1+tan α)(1+tan β)=2得 tan α+tan β=1-tan αtan β,‎ 所以tan(α+β)===1.‎ 因为0<α,β<,所以0<α+β<π,所以α+β=.‎ ‎5.(2019·台州质检)4sin 80°-等于(  )‎ A. B.- C. D.2-3‎ 解析:选B.依题意,因为sin 80°=cos 10°,‎ 所以4sin 80°- ‎= ‎= ‎= ‎= ‎==-,选B.‎ ‎6.已知cos+sin θ=,则sin的值是(  )‎ A. B. C.- D.- 解析:选C.因为cos+sin θ=,所以cos θ+sin θ=,即=,‎ 即sin=,所以sin=,‎ 所以sin=-sin=-.故选C.‎ ‎7.-=________.‎ 解析:原式= ‎==tan 30°=.‎ 答案: ‎8.(2019·温州中学高三模考)已知向量a=(sin α+cos α,1),b=(1,-2cos α),a·b=,α∈,则sin α=________,cos α=________.‎ 解析:由题设可得sin α+cos α-2cos α=,即sin α-cos α=,联立sin2α+cos2α=1,由此可得sin α=,cos α=.‎ 答案:  ‎9.已知=,tan(α-β)=,则tan β=________.‎ 解析:因为=,所以=,=1,所以tan α=1,又因为tan(α-β)=,‎ 所以tan β=tan[α-(α-β)]===.‎ 答案: ‎10.(2019·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:________________________.‎ 解析:两个图的阴影部分面积相等,题图1中大矩形面积为:S=(cos α+cos β)(sin α+sin β)=sin(α+β)+sin αcos α+sin βcos β,减去四个小直角三角形的面积得S1=S-sin αcos α-sin βcos β=sin(α+β),题图2中阴影部分面积为S2=sin αcos β+cos αsin β.‎ 答案:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ‎11.已知tan α=-,cos β=,α∈,β∈,求tan(α+β)的值,并求出α+β的值.‎ 解:由cos β=,β∈,‎ 得sin β=,tan β=2.‎ 所以tan(α+β)= ‎==1.‎ 因为α∈,β∈,‎ 所以<α+β<,‎ 所以α+β=.‎ ‎12.已知tan 2θ=-2,π<2θ<2π,求的值.‎ 解:原式==,‎ 又+=,‎ 所以原式==tan=.‎ 因为tan 2θ==-2,‎ 解得tan θ=-或tan θ=,‎ 又π<2θ<2π,所以<θ<π,所以tan θ=-,‎ 所以原式==3+2.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.已知sin α=且α为第二象限角,则tan=(  )‎ A.- B.- C.- D.- 解析:选D.由题意得cos α=-,则sin 2α=-,cos 2α=2cos2α-1=,所以tan 2α=-,所以tan===-.‎ ‎2.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割均为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin 18°,若m2+n=4,则=(  )‎ A.8 B.4‎ C.2 D.1‎ 解析:选C.因为m=2sin 18°,‎ 若m2+n=4,‎ 则n=4-m2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,‎ 所以====2.‎ ‎3.(2019·台州市书生中学检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知a-b=2,c=4,sin A=2sin B,则△ABC的面积为________,sin(2A-B)=________.‎ 解析:由sin A=2sin B得,a=2b,结合已知可知,a=c=4,b=2,则cos A=,sin A=,‎ S=bcsin A=,‎ cos B==,‎ sin B=,‎ sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B ‎=2sin Acos Acos B-(cos2A-sin2A)sin B ‎=2×××-× ‎=.‎ 答案:  ‎4.设α∈,β∈,且5sin α+5cos α=8,sin β+cos β=2,则cos(α+β)的值为________.‎ 解析:由5sin α+5cos α=8,得sin=,‎ 因为α∈,α+∈,‎ 所以cos=.‎ 又β∈,β+∈,由已知得 sin=.‎ 所以cos=-.‎ 所以cos(α+β)=sin ‎=sin ‎=sincos+cossin ‎=-.‎ 答案:- ‎5.已知sin β=msin(2α+β),求证:tan(α+β)=·tan α.‎ 证明:因为sin β=msin(2α+β),‎ 所以sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α],‎ 所以sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α ‎=m[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α],‎ 所以(1-m)sin(α+β)cos α=(1+m)cos(α+β)sin α,‎ 所以tan(α+β)=·tan α,所以原式成立.‎ ‎6.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画,根据该设施的外观,设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成,其中C,O,A在一条直线上,∠ACB=,记该设施平面图的面积为S(x)m2,∠AOB=x rad,其中
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