【数学】2018届一轮复习人教A版 对数与对数函数 学案
第6讲 对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.
知 识 梳 理
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0
1时，y>0；
当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若logax>logbx，则a0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a>1，c>1
B.a>1，01
D.00，即logac>0，所以0b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b
解析 ∵01.
∴c>a>b.
答案 D
4.(2017·湖州调研)已知a>0且a≠1，若a＝，则a＝________；loga＝________.
解析 ∵a>0且a≠1，∴由a＝得a＝＝＝；loga＝log＝2.
答案 2
5.(2015·浙江卷)计算：log2＝________；2log23＋log43＝________.
解析 log2＝log2－log22＝－1＝－；
2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2＝3.
答案 － 3
6.若loga<1(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________.
解析 当01时，loga1.
答案 ∪(1，＋∞)
考点一 对数的运算
【例1】 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B.10 C.20 D.100
(2)计算：÷100－＝________.
解析 (1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.
(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
答案 (1)A (2)－20
规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【训练1】 (1)(2017·北京东城区综合练习)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为( )
A.24 B.16 C.12 D.8
(2)(2015·安徽卷)lg＋2lg 2－＝________.
解析 (1)因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.
(2)lg＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.
答案 (1)A (2)－1
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2017·郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
(2)(2017·金华调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，
∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称.
因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距.
由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.
答案 (1)B (2)a>1
规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【训练2】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)当01时，不符合题意，舍去.
所以实数a的取值范围是.
答案 (1)C (2)B
考点三 对数函数的性质及应用(多维探究)
命题角度一 比较对数值的大小
【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0cb
解析 由y＝xc与y＝cx的单调性知，C、D不正确.
∵y＝logcx是减函数，得logca0且a≠1，故必有a2＋1>2a，
又loga(a2＋1)1，∴a>.综上，a∈.
答案 C
命题角度三 对数型函数的性质
【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a∈(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数t(x)为减函数.
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( )
A.a>c>b B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析 (1)a＝log32log22＝1，
所以，c最大.
由1，即a>b，
所以c>a>b.
(2)当a>1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－2a)>1，
解之得11在区间[1，2]上恒成立，
则f(x)min＝loga(8－a)>1，且8－2a>0.
∴a>4，且a<4，故不存在.
综上可知，实数a的取值范围是.
答案 (1)D (2)
[思想方法]
1.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
[易错防范]
1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.
2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数).
3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
